i-cosr

cos (a — 6 = : r-T

sin a sin ^

Pour appliquer ces formules au triangle abc, on doit poser :

par suite, On a alors :

COS y sss — COS 0,

(ces J — COS t)

1 — cosô

— i ^ COS t COS J

sin t sinj

(cOSy -4- COS t)*

— cos(l — J),

i -♦- COS 6

— i — COS t COS y

sin t sinj

cos(I -I- J).

Par conséquent,

sin d

=55 arc COS ( — cos 0)

(cosj — COS t) arc cos ( — cos (I — J)^

-i — (cosjf -t- cos t) arc cos f cos (ï -♦- J)^ h- K

= TT — — - (cos J — cos t) j T — (I — J) j

-+- -(cos; -4- cos t) (I -*- J; ^ K.

ss. Dans la suite des calculs que nous venons de faire, nous avons conservé au radical le signe +. En réalité, nous aurions dû prendre le signe =b. Il nous reste à examiner maintenant quel est celui des deux signes que nous devons adopter.

Mais, avant de faire cette discussion, nous devons observer que Ton peut encore donner aux expressions de ti, t;, s que nous avons trouvées précédemment (n* 99), savoir :

u = Ap sin 8 sin ^ -H Bq sin 6 cos ^ -4- Cr cos 9,

V s=sApcoS'i> — fif sîri (f' ,

s=Cr,

une forme remarquable qui nous sera utile dans quelques instants pour la discussion du signe de Q.

On a, en effet,

t; = Ap CCS ^ — Bq sin ^ \

= A cos ^ (ces ^.6'-»- sin ^ sin a. ^') -4- B sin ^ (sin ^ . e' — cos ^ sin e . f') = A cos' ^ . B'-\- B sin' «f» . e'-*- (A — B) sin + cos ^ sin e . f

. i-i-cos2^ ^ 1— cos2</' A — B . ^ . ,

= Ae h B/ 1 sin 2^ sm e . /

= e' ^ ^^ — I e cos 2<(; -f- f' sin 2+ sin e } ;

8 = Cr = C(f -f- y' cos e) ;

tt s= A/> sin 6 sin ^ + Bq sin 6 cos <f; + Gr cos 6 s= A sin 6 sin ^(cos ^ . e'-4- sin «f» sin 6 . ©') -4- B sin 8 cos «(;( — sin + 6- -f- cos ^ sin . 5>') -+- Ccos0(^'h- ç>'COS0)

= Ae'sin ^ cos ^ sin e — Be' sin i> cos ^ sin -♦- A/ sin'0 sin'^ -+- Bf sin' cos' <(/-«- C cos 0(/-f- y' cos 0)

sin*$cos2^ .f'

-^sin'e.,

sin 2+ sin . 0'-»- C cos 0{<(*'-4- f cos 0)

Jâ

f ' sin' H- C cos 0(t^'-4- y' cos 0)

— ^ — sin 0(0' sin ^^ — y' cos 2«/^ sin 0).

Cela posé, revenons à la discussion du signe de Q. A cet effet, observons d'abord que, d'après l'hypolbèse que nous avons admise, k est une quantité positive, puisque c'est une aire.

D'autre part, la formule (13) nous donne, en y faisant A =»B

Par conséquent, t; a le même signe que G'.

iO

Or, de la formule :

cos = cos t cos j — sin t s'inj cos ,

où l'on suppose, comme dans la figure 4, que les angles i et/ sonl tous les deux aigus, il résulte évidemment que 6 est compris entre i — j et t -+-/, puisque cos est compris entre -+- 1 et — 1. En effet, pour cos = -+- 1, on a :

cos 6 = cos t cosj — sin i sin j = cos (t -«- j),

et pour cos == — 1, on a :

cos 6 = cos i cosj ■+■ sin i sin y = cos (i — j).

Or, étant compris entre i — ; et i -+-/, il en résulte, puisque t et j sont aigus, que sin 6 est toujours positif. Par suite, dans Texpression de v :

sin B

le radical Q aura le même signe que v. Donc, Q aura le signe ou le signe — , suivant que 6' sera positif ou négatif, c'est-à-dire suivant que 6 croit ou décroit.

Or, si nous reprenons la formule :

cos 9 = cos i cosj — sin i sin j cos ,

nous en concluons que 6 décroit ou croit, suivant que est compris entre et tt, ou non.

En effet, lorsque augmente de à tt :

!• De 0=0, à = |, COS0 diminue; donc cos 6 augmente, et, par conséquent, 6 diminue;

2*' De = f , ù = TT, cos est négatif, et il augmente en valeur numérique; donc cos 6 augmente encore, et, par suite, G diminue.

Il résulte de là que, dans le cas de la figure, puisque est <7r, 6 décroit; par suite, 9' est négatif, et, par conséquent, Q sera négatif. Donc, dans ce cas, le radical doit avoir le signe •— .

Nous aurons donc alors :

Qde cosj — cosf

/Ode ces; — cosi , ,. ^ ,

On peut choisir la quantité arbitraire K, de manière à détruire la partie constante, et Ton aura :

/Qde cosj — («est cosj-^cost ^ — = e H 1 (J — I) (I -H J) , , , sine a ^ ^ a ^ '^(«6)

= — J ces t — I ces y.

Par conséquent,

V = k(^ cosj -4- (f ces t) 4- k{& — J ces t — I ces j) )

= Arj(f — J)cost -♦- («// — I)cosj H- 0j. )\ '

Les intégrales du problème sont alors :

DV DV DV

m D cos » D cps J

84. Pour former les premiers membres de ces équations nous devons remarquer que I, J, e ne renferment pas A; k contient h et cos ;, et ne renferme pas cos t :

On a donc, en vertu de l'équation :

,,, âACA

C — (C — A) cos»;

, Dfc AC

d'où :

"D/i C — (C — A)cosV'

dA ^h

D'autre part,

D COS i

Dfc 2ACA(C— A)cos;

Dcos; )C-.(C — A)co8*;j»

(148 ) d'où :

D* 2Aa(C — A)cosj (C — A)A;»cosy

D cosj 4A'C'A* 2ACA

On a donc :

= (y ^ J) ces t + (^ — ;i) ces; -*- ® I ^ '

et la première intégrale du problème est :

t — /o = 2^ |(f — J) CCS t -♦. (^ — I) ces; -f- e j .

On a aussi, pour les deux autres intégrales :

a = ^== kU — J) — A: ces t k ces i ; -4- k ;>

D ces l d COS t d ces t d CCS t

et

P == r=^(«/' -— 1) — k cosi : — kcosj r-H h

D COS y D COS y D COS y d cosj

-«- j (î> — J) COS t -f- (f — I) COSJ -♦- B j :•

Afin de transformer ces deux dernières intégrales, nous avons besoin de certaines formules que nous allons faire connaître. De la formule :

COS a = ces 6 COS c -f- sin 6 sin c cos a,

on tire, en considérant les côlés comme des fonctions des angles <x, p, y :

— siQ a = — sm cos c cos b sm c

D COS P D COS p D cos p

-4- sm cos c COS a h COS b sm c cos a

cos 6 d cos 6

d'où :

siu a = (sin 6 cos c — sin c cos 6 cos a)

cos p ' D cos p

Oc

(sin c cos b — sin 6 cos c cos a)

d cosp

Or, on a :

sin 6 cos c — sio c cos 6 cos a = sin a cos r 9

sin c cos 6 — sin 6 cos c cos a =3 sin a cos p. En effet , de la formule :

cotg c sin 6 =3 cos 6 cos a + sin a cotg r, on lire :

sin a cos y .

cds c sin =3 cos cos a sm c h : sin c;

smr

mais, on a :

sin a sin c

= sin a,

sinr

donc :

cos c sin 6 = cos 6 cos a sin c + sin a cos r 9

donc, enfin,

Da d6 De

=— cos r H cos p

D cos P d cos 6 d cos ^

De même,

Da d6 De ,^ .

= cosr hcosp • (18)

D cos r î) cos y D cos 7

En vertu de ces formules, on a :

De dJ di

= cos i : •+• cosj

D cos t D cos t D cos t