D0 DJ DI
= cos % r -♦- COSJ
D COSJ DCOSJ D cosj
Les trois intégrales du problème sont donc :
^ — /o = 2J^ K? — J) cos l -H (t/. — I) cosj -4- e j ,
(r A^it'cosî
p=k(^-i)+^- -~^ )(y j)cost+(^- I)cosj-hei,
dont la dernière peut être mise sous la forme suivante : On en tire :
— [t — fo)= (? — J) ces f 4- (^ — I) COSJ -f-
7 ces t
7 ces t ■
(^ — I) ces; -♦-
— -l/:cosV.(«— <o)-He.
La dernière nous donne successivement :
a ces i -4-
P COS j
it
a COS t H-
P COSJ
a COS t -4-
pcos;
a (iOS l -4-
p cos;
'i-iJAcosV 2ACA-i-(C— A)A'cosV
ACifc
Les trois équations :
a COS t + p COS j
forment une solution normale du problème.
La dernière nous donne, en la conobinant avec la formule :
cos = cos i cosj — sin i sinj cos B,
[k a cos I -+- p cosj]
cos 6 = cos i COSJ — sm % sinj cos \- (t — ^o) ^ 7 '
équation qui nous fait connaître 6 en fonction explicite de ^ et comme I et J sont donnés en fonction explicite de 6, par les formules :
cos i — cosj cos B
cos I =
cos J
sinj smd
cosj — cos i cos ô
sin t sin B
il s'ensuit que les trois variables 0, 9, ^ peuvent être déterminées en fonction explicite du temps /.
L'équation:
exprime que le plan invariable coupe le plan de l'écliptique suivant une droite fixe, dont la longitude est f . En effet, on a (fig. 4) :
oa^ss oy — ar == f — J.
85. Remarque. — Il est facile de trouver les trois intégrales précédentes par un moyen plus simple.
En effet, de la formule :
, / Qrfô V = k(o cos t -+- ip cos j) -i-k / — — ' ^^ ''^ J sm4
on tire les trois intégrales du problème :
^y k I . . rQde\ ,,^
- = - ^, cos ^ ^ ^ cos; -^J^^]-=t - ^^ (A)
^y , / /"cos j cos B — COS t , \
.. = 4 y^- / i de =ra,
:^ cos « \ J Q sin e I
DV (C — A)A'cosj/ . . rQ,dB\
' : = ; « cos t 4- tt cos î -H / -: —
î)cosj 2AC/1 V ^ J sin 6/
. / /'cos * cos 6 — cos i \
^kU^ I -— dB] = p.
\ J Qsinô /
(i52) On peut facilement éliminery ^ entre (A) et (C), et il vient :
•— irf,=|£z^Ac«si.(»-M; (D)
/'COS t COS 6 Qsïne " k AC
en éliminant 9 entre (Â) et (B), on a :
et, en combinant cette dernière équation avec (D), on a :
sîn Bd$ k , , a cos t -4- ô cosj
Nous pouvons prendre les équations (B), (D) et (E) pour les trois intégrales du problème.
Si maintenant nous reprenons la formule :
ces t — cos / cos ô
cos 1 ssa : >
sin j sin d
nous en tirons :
. ^ (Il sin j sîn* ô cosj — (cos i — cosj cos é) sin j cos é
— sinl-jr= .,..,,
dô sm J sm' é
cosj — cos • cos ô
sss - — ■ ■ »
sinjsin'^ d'où:
cos t cos ô — cos j ,
sin I siii J sin' B Or, on a :
. . ,y- 7- — m /siii* ; sin' e — (cos i — cosj cos d)'
sin I =s K 1 — cos* I = \/ 1 1-
^ sin* j sin* d
\/\ — cos* t — cos*j -«- .2 cos t cosj cos e — cos*
sin j sin
donc,
sin I sin j sin 6 = — Q,
puisque Q est négatif.
Donc enfin,
cos i cos — cos ; , — (Il = ±dô;
Qsin0
( 1S3 ) de même,
COS j COS ê — COS l .
Q sin d
, sin ado a0 = — - — •
Q Les formules (B), (D), (E) deviennent alors :
Pour déterminer les limites, nous supposerons que Ton prenne pour limite inférieure de 9 une valeur qui vériûe Téquation Q=0,
c'est-à-dire :
(ces B — COS t ces j)' — sin' t sin*j = 0;
or, on satisfait à cette équation en posant :
ce qui nous donne :
et alors les équations précédentes deviennent :
f- — ^j ^cosj . (t — g = ^ — I,
k ^ a COS t -4- S COS j
Ce sont les formules que nous avons trouvées précédemment par un calcul beaucoup plus long.
Nous ferons cependant observer que la première méthode nous permet de déterminer la fonction Y, ce qui ne fait pas la méthode actuelle.
Travaux de M. Donkin.
9e. Désignons par X une fonction de 9i, 9,, ... 9. (*), et supposons Pi, Px, ... Pn définies par les équations :
