DX DX DX

de telle sorte que Ton ait les conditions :

Nous allons démontrer que, si Ton tire des équations (1) les valeurs de q^, 9,, ... 9., en fonction de Pi^Pt^ ... p., on aura la relation :

En effet, si Ton remplace dans les seconds membres des équations (1), 91, 9,, ... 9», par leurs valeurs en fonction de Pif Pff — Pni ces équations deviennent des identités, et si l'on prend les dérivées par rapport à p,, il vient :

Dp, D9, Dpi D9j ^Il^Jk,

D9, :ipi Df/î Dp.. D9„ Dp,

^Pi ^qi ^Pi ^q% . . ^Pi ^q.

D9i dpi D9, Dp, :iq„ :ipi

(*) Philosophical Transactions, 4854, p. 75; /?cjDor/ o/" the British Association for the Advancement of Science, 1857, p. 52.

ou bien, en vertu des équations (2) :

illiplianl ces

Dr/i Dp, Dqr,

D^î ^Pi

^Pn ^n

Dqr, Dp,

Dp, Dqfi Dpi Dqr^ Dpi Dr/,.

Dgf, Dpi

mi

équations respectivement

par :

Dgf, Dqra Dpi î^P*

^Pk

et

ajoutant,

on

trouve :

^Pk

Puisque entre g,, 9^^, il existe cette relation (3) analogue à la relation (2), on en conclut le théorème suivant :

Théorème. — Si l'on déduit des équations [i ) les quantités qii Qîi ••• 9ni ^^ fonction de pi, p,, ... p„, les expressions ainsi obtenues seront les coefficients différentiels d'une fonction Y de Pn Pîi — Pn» ^l l'on aura :

dy dy dy

</, = —» 7î== — » ..., qn = — ' (^)

^Pl ^Pi ^Pn

97. Il est facile de trouver la relation qui existe entre les fonctions X et Y.

En effet, les équations (1) et (4) nous donnent :

dX = pidqi -*- pidqi +..•■+- p„(i</„,

dY = qidpi ■+- gjdpî h h q^dp^\

d'où :

rf(X -h Y) = d{piqi -*- PjÇj ^- ... -f. p„ç„),

OU bien, en intégrant et en négligeant la constante ajoutée :