Considérons la fonction X
X4 = fonct. («, 9,, 9„ ... 9„, 6,, 62, ... 6„),
( 159 ) et les équations :
Si, de ces dernières, on tire les 9^ en fonction des p^, les b^ restant constantes, nous aurons la fonction :
Yé = fonct. (f , pi, pî, ... p„, 6i, 6i, ... 6„).
Or, les fonctions X» et Y» sont ansilogues aux fonctions X et Y (n** 89) à la condition de remplacer p, par — p., et a^ par 6,. Nous aurons donc, en vertu des formules (10) et (H) :
(15) et
- qi.
^zx
JX»
équations (8)
et(
JX 3a,-
3X 3gf(
Pi.
nous permettent de déterminer les 2n variables q^, g,, . . 9», Pi, Pj, ... p^, en fonction des 2w constantes a^, a„ ... a„, 6^, 6,, ... 6„, et de ^ ou réciproquement, les 2n constantes en fonction de
9i» 9«) ••• 9n» Pli P«» — Pn <il '• Dans le premier cas, les variables p,, qi sont données exp/t-
citement en fonction de la variable ^, que nous pouvons considérer comme indépendante; dans le second cas, elles sont données implicitement en fonction de t.
93. Il résulte de ce qui précède que nous pourrons, dan*s la suite, faire Tune des quatre hypothèses suivantes :
l"" Les 2n variables p,, 9^, sont exprimées en fonction de ttf, 6,., t;
â"" Les 2n constantes a^, 6^, sont exprimées en fonction de P.1 9<i t\
S** Les n variables Pf sont exprimées en fonction des n variables 9o des n constantes a^ et de ^ comme dans :
A"" Les n constantes 6< sont exprimées en fonction des n variables 9,, des n constantes a^, et de ^, comme dans :
Nouvelle démonstration du théorème de Jacobi.
94. Voyons maintenant comment Ton peat obtenir le théorème de Jacobi, en se basant sur les théorèmes qui précèdent.
Soit (Z) une fonction de 91, 9,, ... q^y Oi, a^, ... a., t définie par l'équation :
et désignons par Z le résultat que l'on obtient en remplaçant dans (Z), 04, a^, ... a^ par leurs valeurs en fonction des variables, tirées des équations :
DX
Il est facile de démontrer que le système des équations :
dqi
DZ
dl
^Pi
dpi
DZ
dt
^qt
exprime le résultat de Télimination des constantes o^, 6 .entre les équations :
DX
et leurs dérivées par rapport à t.
En d'autres termes, les équations (1) forment un système d'équations différentielles simultanées du premier ordre dont les équations (2) sont les intégrales.
En effet, si Ton différentie Téquation :
— = 6„ totalement par rapport à ^ il vient :
D'X D*X dqi 0*X dq„
^afit ^afiqi dt ^aPfn dl
Mais, on a :
D*X D pX\ Dpy .
par suite, l'équation précédente devient :
D'X Dp, rfgi D/}„ rfqr, K -^ ^- -4- -. H 1- = 0; (d)
les quantités |^S ^, ... sont prises en considérant pt, p,, ... p., comme des fonctions de ai, a^, ... a., ^i, g,, ... q^ (n*" 93, 5"").
Or, (Z) étant une fonction de 91, 9., ... 9., a^ o,, ... a., /, définie par l'équation :
on a :
( i62 ) et réquation (5) nous donne :
D(Z) Dpi dq^ Dp„ dq^
Dttj Da». dt da^ (/£
Multipliant par |^ , et faisant la somme depuis i = 1, jusque =3n, il vient :
:)(Z) Dtti D(Z) Daj D{Z) Da„
ppi Dai Dpi Dttj Dp, Da„\ dqt
\Da, Dpy DOj Dpy Da„ Dpy/ rf^
Dpî Da, Dpî Das Dpj Da, \ rfq^i
Dtf, Dpy Daj Dpy Da,; Dp,/ rff
/Dp^ Do, Dp^ Doj Dp^ Da^\ dqj
XdUi ^ipj Dtfj Dp, :^a„ lipjl dt
kDa, ^pj ^a^ ^pj :ia^ T^pjl dt
Or, tous les coefficients du second membre sont nuls, excepté celui de ^ qui est égal à Tunité. Quant au premier membre, il est égal à ^, si Ton observe que Z est le résultat que l'on obtient en remplaçant dans (Z) les constantes Oi, a,, ... a. , par leurs valeurs en fonction des variables (n** os, â""), de sorte que Z est une fonction des variables seulement.
On a donc :
DZ dqj
Dpy dt
OU bien, en remplaçant la lettre / par la lettre t :
DZ ^ dqt Dpj dt
équation qui ne renferme pas les constantes.
( 165 ) On a aussi, en considérant p, comme une fonction de
dpi ipi Dp, dq, ip, dq„
dt U d^i dt D^n dt
Or, on a :
Dp;
\^il
Dt
par
conséquent,
dpi
dt
Jpj dq,
Dqr,
^q„ dt
OU bien, à cause de Féquation (5) :
dpi D(Z) Dpi DZ D/).. DZ
(/( "" Dqr.. Dg, Dp, D7,, D/}„ '
OU bien encore, en vertu des équations (2) :
dpi D{Z) Dpi DZ Dp„ DZ
dt ^i Dgr, Dpj Dgr, Dp„
Mais, puisque (Z) n'est autre que Z où Ton a remplacé Pit P«» ••• Pi. par leurs valeurs (n** 93, 3**), on a :
D(Z)___DZ DZ D/?| DZ D/>,
^i ^i ^Pi ^i ¥n ^9i
Par suite, il vient :
dpi ^ DZ
dt ^i
équation qui ne renferme pas les constantes.
Le système des 2n équations (5) et (6) exprime donc le résultat de rélimination des 2n constantes entre les équations :
et leurs quotients différentiels par rapport à L Ces équations (2) sont donc les intégrales des équations (5) et (6). D'ailleurs, la fonction Z sera définie par l'équation :
^ étant le quotient différentiel partiel de X par rapport à i^ et les crochets indiquant que dans ce quotient différentiel, on a remplacé les constantes ai, a,, ... a., par leurs valeurs en fonction des variables, déduites des équations :
DX
Formules de Jacobi,
•&• Nous venons de voir (n^ 94) que les équations :
DX DX
— = Po — = ^,
donnent la solution des équations canoniques. Elles sont équivalentes aux équations :
Ces équations peuvent être considérées comme exprimant les
2n variables Çi, 9s, ... 9», Pn />>< •*• P.t 6n fonction des 2n constantes a,, 6, et de t^ ou bien les 2n constantes a,, 6, en fonction des 2n variables p,, 9, et de t.
Il est facile de démontrer les relations suivantes qui ont été énoncées pour la première fois par Jacobi (*) :
D9* Dty
D9* Do, D6y ^p^
Dp* D6y • ^aj D9*
D6y DÇi,
Pft, 9* étant deux variables correspondantes, et oy, 6y deux constantes correspondantes.
Pour démontrer la première de ces relations, reprenons
réqnation :
dX
dont le premier membre est une fonction de 91, 9,, ... 9., a^y a„ ... a«, t. Les quantités 91, 9,, ... 9, peuvent être considérées comme des fonctions de f, Oi , a,, ... a», 6| , 6,, ... 6», déduites des n équations :
Dai Dat Da„
Si l'on suppose 91, 9s 1 ••• 9»f remplacées par leurs valeurs, réquation :
DX
devient une identité, et sa dérivée prise par rapport à Qj sera nulle. Nous aurons donc :
:iafiaj Da,D9i Doy î)a<D9„ DOy
(*) Jacobi, Vorlesungen ûber Dynamik, pp. 395 et suivantes.
Remplaçant ^^ par 6^., et 5- par p,, il vient :
^bj ^ Dp, Dy, ^ ^ iqj ^ ^ D/?, Dy^ ^ ^
équation qui a lieu pour toutes les valeurs de t ^= 1, 2, ... n.
Dans cette équation |^ se rapporte à Thypothèse 4*" (n*" 93), puisque, en vertu de la formule 6^ = ^, 6^. est une fonction de ^ 9i> «*5 ^-1 3^' — se rapportent à 'l'hypothèse 5* (n* es), puisque, en vertu de la formule Pi^'^^, Pi est une fonction de /, 7<, a..; enfin, 5-. , 3— , ... se rapportent à l'hypothèse 1*» (n* es), puisque, en vertu' de l'équation 6,==^^, 9, est une fonction de
Multipliant Téquation précédente par ^ , se rapportant à l'hypothèse â"" (n"" es), et faisant la somme pour toutes les valeurs de t, les indices / et k restant les mêmes, le premier terme du premier membre sera :
Da, Dp* î)a„ Dp* Dp*
Dans le second terme, le coefficient de ^ est :
(n» es, 2*»)
DpjDOi Dpi ^^/»^P*^Q
Tous les autres coefficients sont également nuls, excepté le coefficient de ^, qui sera :
^iOi :ipt :ia„ i^ptt :ipk .
On a donc :
d6,. Do*
ou bien :
DÔy __ D7a
ypk ^«y
ce qui est la première formule de Jacobi. Le premier membre se rapporte à l'hypothèse 2*" (n'' 93), le second membre à l'hypothèse V (n* 9B).
Si nous opérons de la même manière sur les équations (10) el(H) (n« 89):
