DY DY

nous obtiendrons évidemment un résultat qui se déduit du précédent en changeant p en q, et réciproquement, et en changeant le signe de b. Nous aurons donc :

D6y Dp*

c*est la deuxième formule de Jacobi.

De même, les équations (12) et (13) (n"" 90) :

dX, dX,

nous donnent, en changeant dans la première formule le signe de p, et en changeant a en 6, et réciproquement :

DOy ^qt

^pk ^bj c'est la troisième formule de Jacobi.

Enfin, les équations (15) et (16) ^n*" 9t) :

DY* DYé

Dp, Do,

nous donnent, en changeant dans la troisième formule le signe de a, et en changeant p en 9, et réciproquement :

DOy D/7i

c'est la quatrième formule de Jacobi.

La démonstration que nous venons de donner est due à M. Donkin (*). La démonstration de Jacobi est différente (*'). Remarque. — Dans les équations :

dq^^ OZ \ dt - Dp/ dpi t^Z

dt dr/

les premiers membres se rapportent à Thypothèse l"" (n"* 93); les seconds membres à Thypothèse S"" (n"* 93). Mais les équations :

renferment a,, bf exactement de la même manière que p,, g,. Il est donc évident que les raisonnements qui nous ont conduits aux équations (A), nous conduiront aux suivantes (***) :

dof dt

db,

3ff,

Dans les premiers membres, a,., 6, se rapportent à Tbypothèse 2"* (n"" 93), et sont exprimées en fonction de 9^, Pt, et /; les seconds membres se rapportent à Thypothèse l"" (n® 93).

Observons que, dans les équations (B), Z est la fonction Z des équations (A) dans laquelle on remplace p., 9, par leurs valeurs en fonction des a,., 6,.

(*) Philosophical Transactions, 1854, p. 79; Report ofthe British Association for the Advancement of Science, 1857, p. 33. (**) Vorlesungen ûber Dynamik, pp. 395 et suivantes. ***) Philosophical Transactions, 1855, p. 303.

Théorèmes de M. Donkin.

98. Théorème I. — Si p et q désignent deux des variables Pi* <|i9 ^^ ^i ^'on suppose ces variables p et q exprimées en fonc" iion des an constantes dt , b| , e^ de t , nous aurons :

stiit^an^ que p et q sont conjuguées ou non (').

Ed effet, si q, est uoe fonction des 2n constantes et de /, et si Ton remplace les constantes par leurs valeurs (n"^ os, 2"*), en fonction de Çi, 9,, ... 9», pi, p,, ... p., ^ on obtient une équation identique. Par suite, si Ton différentie par rapport à ?,, g»elp*,il vient:

on trouvera des équations analogues, si Ton opère de la même manière sur p,.

Or, si nous appliquons aux six équations ainsi obtenues les formules de Jacobi (n'^Od), en éliminant les dérivées de Oj et bj, nous aurons pour la première :

(*) On dit que p ei q sont conjuguées, lorsqu'elles sont de la forme/?,, 7,; elles ne sont pas conjuguées, si elles sont de la forme p,-, 74.

( i70 ) Par conséquent, on a :

.-TT-TT ^ pour p = q,,q=.p,.

On trouvera de la même manière que la deuxième équation nous donne :

et la troisième nous donne :

et ainsi de suite.

Pour démontrer la deuxième partie du théorème, il suffira d'éliminer, au moyen des formules de Jacobi (n"" 05), les dérivées de Qi .

La première formule nous donne :

^j \ ^Pi ^Qi ^Pi ^J "^ 4 ^Pi. ?,]

.^^^=:H-i, pour p = p.î = ï.,

On trouve, de même, au moyen de la deuxième formule

__^0, pour p=.p, ,= ^„

et ainsi de suite.

m. Théorème fl. — Si h e( k sont deux quelconques des constantes normales (*) ai, b|, et si nous supposons ces quantités exprimées en fonction des pi, q, et de ij nous aurons :

suivant que h et k sont conjuguées ou non (**).

En effet, si nous supposons a,., 6^ exprimées en fonction des variables g^, Pi et de t (n"" 93, 2""), et si nous remplaçons les variables par leurs valeurs en fonction des a,, 6, et de t (n*" 93, l""), on obtient des identités. Par suite, si Ton différentie par rapport à a^, la valeur de a., par exemple, il vient :

^- \bqj DOj dpj TiaJ

ou bien, en remplaçant les dérivées des q et des p, au moyen des formules de Jacobi (n"" 95) :

i = \ (— — — ^^ ^A V ^(^<^ ^ j ^ ^i ^Pj ^ ^Pj ^qj "" i ^(fi-, 9j)

Par conséquent, on a :

y Hk,k) L ^ I

2 v^ ^x = — ^> pour A=6., Ji; = a,.

De même, on trouverait :

et ainsi de suite.

(') Nous donnons le nom de constantes normales aux constantes a^, ^99 ••• <iii» ^1» ^1» ••• ànj obtenues en appliquant les méthodes précédentes à rintégration des équations canoniques.

{**) On dit que heik sont conjuguées, lorsqu'elles sont de la forme a,-, 6,-; elles ne sont pas conjuguées, si elles sont de la forme a^, b^,

Pour démontrer la deuxième partie du théorème, il suffit de

remplacer les dérivées de a< au moyen des formules de Jacobi

(a* •&), et l'on trouve facilement :

suivant qae A et A: sont conjuguées ou non.

98. Il résulte du second théorème que Ton ci, en employant la notation de Poisson (n"^ en) :

(a„ 6.) = — (bi, a,) = — 1 ,

d'ailleurs, on a identiquement :

En d'autres termes, on a :

suivant que h ei k sont conjuguées ou non.

K Désignons maintenant par /*, g deui fonctions des 2n constantes normales o^, ^m ^^ soient :

Si Ton suppose a,, a,, ... a,, 6,, 6,, ... 6,, remplacées par leurs valeurs en fonction des 2n variables et de t (n"" 98, 2^), alors f et g deviendront des fonctions des variables ('), et si Ton désigne par A, k deux quelconques des constantes a,, 6,, il vient :

V) f^^9 seront des intégrales des équations canoniques.

la sommation se rapportant à A, k et s'é'tendant à toutes les combinaisons binaires des constantes.

Il est facile de vérifier cette formule : en eflet, on a :

^{Pi ?.) ^Pi ^^i ^9i ^Pi Or, on a évidemment :

Dpi ;>a, Dp,- D6i D/),. Daj Dp,- D6j Dp,-

D/" D/' Dfl, D/" D6, D/" DCj D/* D6j Dqf, DOi Dq^, D6i Dqr. Daj Dqf,- D62 D(/,

etc.;

et il est facile d'en conclure la formule ci-dessus.

Si maintenant nous faisons la somme par rapport à r, il vient :

D(/i, k) la somme se rapportant k h,k comme ci-dessus.

Mais, à cause des formules de Donkin (n* 07), on a :

(A, k) = 0, à moins que A, A; ne soient conjuguées, et alors on a :

(h,k) = qz\.

Par suite,

formule que Ton peut écrire sous la forme suivante :

^i\Dqr. Dp,. Dp, Dqf,/ ^jW* ï^^i ^b^ ^ttil

L'expression du second membre étant une fonction des con-

stantes a^ 6^ seulemenl, Téquation précédente nous donne le théorème suivant :

Théorème. — Si

/*= ?(?!> ?«J ••• 7»» Pu Ptl ••• P«» 0»

9 = *(?!, ?«, •• în, Pi, Pi, ... P„, 0>

5on^ deux intégrales des équations simultanées : ^

dqi dZ

dt ^pi

dpi DZ dt Dy,

l'expression :

«<^ constante, c'est-à-dire que si l'on remplace pi, qj par /etirs valeurs en fonction des constantes et de i^ l'expression (f, g) se réduit à une fonction des constantes arbitraires, ne renfermant pas le temps t.

Extension des méthodes d'Hamilton au cas où les liaisons

sont des fonctions du temps.

100. Les recherches d'Hamilton exigeaient que la fonction H^^T — U fût indépendante du temps, la fonction T étant une fonction homogène et du second degré de q[, 9^, ... 9.. Nous allons voir maintenant que la fonction T peut renfermer explicitement le temps t (*), sans que Ton ait rien à modifier aux théories précédentes. Il en résultera donc que ces théories s'appliqueront à un problème auquel l'intégrale des forces vives n'est pas applicable.

(*) DoNKiN, Philosophieal Tremsactions , 1854.

(475) Reprenons l'équation du mouvement (n* •) :

dt ;)9, ^i ^ '

U étant une fonction de Çi, 91, ... q^i quî P^nl renfermer explicitement le temps, mais non les 9^.

Nous avons vu qu'en posant (n"" to) :

on peut ramener les n équations (A) à un système de 2n équations du premier ordre (n"" 15). Mais la démonstration que nous avons donnée précédemment exige que T soit une fonction homogène et du second ordre des 9-.

On peut traiter la question de la manière suivante, sans faire aucune hypothèse sur la forme de la fonction T.

Posons, à cet effet,

Th-U==W;

nous aurons, puisque U ne renferme pas les 9^ :

réquation (Â) devient

Posons :

qi est remplacé par 9^-.

DT DU

, DW

ogue aux formules (i

DX Dçi

( ^76) el considérons la fonction :

clans laquelle nous supposons (W), (9<), ... (7I), exprimées en

fonction de g,, g,, ... g,, p,, p,, ... p, (').

Nous aurons, en appliquant les formules (4), (6) et (7) (n*" se,

87 et 88), dans lesquelles nous devrons remplacer g^ par q'i\

et p par g, f *) :

^— ^^^^ SSE5 ^"^B* v^B^Hv •

Par suite, Téquation (B) devient :

(Ipi DZ

Les équations (D) et (E) ont donc la même forme que les équations canoniques, c'est-à-dire qu'elles sont de la forme :

^* fft Dp, '

dt Dg,

Il en résulte qu'il n'y aura pas de restriction à faire en ce qui concerne la forme de la fonction T.

toi. Remarque. — Dans le cas particulier où T est une fonction homogène et du second degré de gi, g^, ... gl, on a :

2T = p,g; -♦- p,7; H- ... -4- p„g:, d'où:

(*) Les qi jouent ici le rôle que jouait la quantité p dans la formule (7) (no 88).

{**) Gela résulte de la comparaison de la formule (C) avec la formule (6) (n« 87).

tôt. Considérons maintenant le système de 2n équations différentielles simultanées du premier ordre :

dt dt

Z étant une fonction de q^, ... 9,, po — Pn^ ^- Une intégrale de ce système est une équation :

dans laquelle a est une constante, et U une fonction de r, a,,;)^, telle que la dérivée totale -^ soit nulle en vertu des équations (1). Cherchons la condition à laquelle doit satisfaire la fonction U pour être une intégrale. On a :

__ DU ^ /DU dqi DU dpA ~" D« "^ ^ [^i dt "*" Dpi 'dtl

On a donc, en posant ^ = 0, et ayant égard aux équations (1) :

ou bien :

DU ^ /DU dZ du DZ \

D« ^ ydqt :ipi Dp, liqj

ùt

Toute fonction U satisfaisant à cette équation (2), donnera, en régalant à une constante, une intégrale du système (1).

tes. Remarque. — 11 est facile de voir que Véquation Z B=s const., ne sera une intégrale des équations (1) que si la fonction Z ne renferme pas explicitement le temps.

En effet, si Z = con</. est une intégrale, la fonction Z doit vérifier l'équation (2), et nous aurons :

im. .HJ&

Or, (Z, Z) est identiquement nulle; par conséquent, on devrait avoir :

c'est-à-dire que Z ne devrait pas renfermer explicitement le temps r.

On conclut de là que, dans le cas où Z est une fonction du temps, réquation Z^^const. n*est pas une intégrale des équations (1).

t04. Théorème de M. Liouville. — Si, par un moyen quelconque, on peut déterminer n intégrales du système (1) :

renfermant n constantes arbitraires, et satisfaisant aux -^

conditions :

(?of*) = 0, ou {at,at) = 0, (4)

pour les valeurs 1, 2, ... n de i e/ t/e k, on pourra facilement obtenir les n autres intégrales.

A cet effet, on déduira des n équations (3), les valeurs de Pli Psi ••• Pni ^^ fonction de qi, q,, ... q„, di, ... a^, t, et on les substituera dans l'expression :

d\ = p^dqi -^ .- -f- p^rfç^ — (Z)dtj (5)

laquelle sera une différentielle exacte, (Z) désignant comme précédemment le résultat que l'on obtient en substituant dans Z les valeurs de pi, ... p„, tirées des équations (3), de sorte que (Z) est une fonction de qi, ... q^, ai, ... a„, t.

En intégrant l'expression (5), on obtient la fonction V, et alors les n autres intégrales du système (1) s'obtiennent en égalant à des constantes les dérivées de la fonction V, prises par rapport aux constantes ai, ... do.

Démonstration. — 1" L'expression :

pirfqr, -4- ... ^ pjq„ — (Z) dt ,

est une différenlielle exacte. En effet, d'après ce que nous avons vu (n"" 90), la condition :

(a<, at) = 0, n'est autre que la condition d'intégrabilité :

de l'expression :

Il nous reste à prouver que l'on a :

>^>— SSS ^^B" ^^—^^ *

M iiqi

Or, en vertu de la définition de (Z), on a :

D(Z) OZ DZ Dp, DZ Dpî DZ Dp^

^i ^qi ^Pi ^i ^Pi ^i ^Pn ^i '

ou bien, en ayant égard aux équations (1) et aux conditions d'intégrabilité (6) :

D(Z) dpi dq\ Dp,. dq^ l^p^ dq„ Dp,

Dg, dt dt dqi dt Dq^j dt ^q^ •

Mais, d'autre part, comme, en vertu des équations (5),p, est une fonction de ^ Çi, ... 9„, on a :

dpi ^ ^Pi ^Pi dq^ ^pi^ dq^^

dt H Dç, dt ^q„ dt

et, par conséquent, l'équation (7) nous donne :

D(Z) :ipi

■^MMM^ SS3 mmmm ^MBM» •

Dqf, H.

V =f{p^dq^ .4- pîrfç, + ..' -f- p^dq,^ — {Z)dt) -4- r, (8)

y étant une constante arbitraire.

Cette fonction V nous donne les équations :

dont les n premières sont évidemment équivalentes aux équations (3), c'est-à-dire que les valeurs de pi, ... p., déduites de ces équations, sont les mêmes que celles que Ton tire des équations (3). La dernière est une identité.

^ Les n autres intégrales du problème sont données par les équations :

Il suffit de démontrer que leurs dérivées totales par rapport à i sont nulles, en vertu des équations (1).

Or, on a :

DV DV DV

Da. Dttj Da,açi

d( ~ Df Dqrj de

DV DV

D{ Dfi aÇt

Dttj Da^ dt ' i^Qi dt

Si Ton tient compte des équations (1) et (9), il vient :

* DOi D(Z) DZ D/), DZ Dp„

de ^Qi Dp, Drt, Dp„ Da,-

Mais (Z) n'est autre que Z dans laquelle on a remplacé p^, ... p., en fonction de Çi, ... ?•, a^, ... a«, e; et d'ailleurs, Z ne renferme pas explicitement les a< .

Nous aurons donc :

D(Z)__DZ ^p^ DZ ^p„

Dtfj Dp, Da.- Dp„ Dtfi

Da^

dqn

par conséqueût,

il en résulte donc que :