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(2) et l'équation de Lagrange devient alors :

„ ((Px, d'y, (Tz, \ •

8. II est évident que, même dans le cas où il n*y a pas de fonction de force, on peut toujours écrire Téquatioû de Lagrange sous la forme symbolique :

mais il faut bien observer que dans celte équation, U n'a de signification que si la fonction àe force existe, c'est-à-dire si

est une différentielle, exacte d'une fonction U. Dans le cas général où il n'existe pas de fonction de force, dV sera une notation abrégée employée pour représenter l'expression

en d'autres termes, dans ce cas, U seul ne représentera rien.

4. L'équation (1) a été obtenue en supposant le système rapporté à des coordonnées rectangulaires. Supposons niain- (enant qu*aux coordonnées rr^, ^<, r^, on substitue d'autres variables ç^, 921 ••• 9a « b'ées à otj, j/^, z^ d'une manière quelconque, mais de telle sorte cependant que Ton puisse toujours exprimer ^i» î/rf» ^/ en fonction de g^, 72» •••?*• '^s variables q^ 9a, ... 9*1 ne sont pas nécessairement au nombre de 3n, comme les coor- ' données ar„ ^,, z^.Il est même préférable, dans la plupart des cas, de prendre le nombre k < 3n, de telle manière que, par le choix même de ces variables nouvelles, les équations de condition soient satisfaites d'elles-mêmes.

Ainsi, par exemple, supposons un poi^it assujetti à demeurer

sur une sphère :

on pourra choisir deux \tiriables nouvelles q^, q^, définies par les équations

y ssrslnqi ces g», jrs=rsînqra,

et il est évident'que, par ce choix de deux nouvelles variables, la liafson sera satisfaite d'elle-même.

Ainsi encore, dans le cas d'un point assujetti à demeurer sur Tellipsoïde :

si Ton pose :

X == a sin 9i cos 9a,

y ss&singicosçs,

2r =3 c sin q^^

la liaison sera satisfaite d'elle-même.

En général, si Ton a m équations de liaisons, les 3n coordonnées peuvent être exprimées au moyen de 3n — m d'entre elles, ou au moyen de 3n — m yarrables nouvelles.

Si nous désignons par g^, q^, . .. g^, ces 3n — m^=^k nouvelles quantités, elles doivent être telles que si l'on exprime X;, y,, z, au moyen de ces quantités, et si l'on substitue les valeurs desi Xfj y., z^ ainsi obtenues dans les équations de condition :

les premiers membres de ces équations s'annulent identiquement, c'est-à-dire que l'on aura identiquement :.

h (?i> .y«> •" qk) = 0, ... L«(çi, qr», ... qt) = 0,

sans qu'il existe aucune relation entre les variables q.

5. Gela posé, substituons aux variables ar^, y,, z, les k variables nouvelles Çi, 921 •••9a (le. nombre k étant pour le moment

tout à fait quelconque) , liées aux premières par des équations telles que

^i = f{t;qiiqij •..9*);

nous aurons, en désignant par xi, q[j 9^, ••.9!, les dérivées de Xi, 9i, 92» • •• 9k par rapport à I :

•• Avant de faire la substitution, nous allons d'abord transformer réquation (1). .

A cet effet, posons :

d'où:

JT

JT

JT

— =t m,x, , — == w^„ — = iM,z, ,

ix, iy] iz,

et, par suite,

dx',

"''di^=='"'dF

, etc.

L'équation (1) devient alors :

■ DT , dT , î)T '

di

dt

dt

= (yu.

Od peut mettre le premier membre de cette équation sous la forme suivante :

rf ^ /JT , JT , JT \

yjil d. Sx, iT d.iy, iTd.izÀ ^ \ix', rft "*" jy5 dt **" Jzi dt I

- rfv/^'^ * JT , Jï \ ,« /DT ■ DT DT \

Or, de la formule 11 résulte que T est une fonction des x^ y|, z'i; on a donô :

et, par suite, Téquation (2) devient :

9. Cette équation (3) n'est qu'une transformée de Péquation (1) toujours en coordonnées rectangulaires. Nous allons maintenant introduire les variables 9, et chercher séparément ce que deviennent les trois termes de Téquation (3) lorsque l'on remplace les rr., y^, Zt par les q.

Or, T est une fonction de or-, t/-, js^; mais, Xi^ y„ z< étant des fonctions de /, 9^, ... ?«, il^ en résulte que x[, y-, zl sont 4^s fonctions de /, 91, ... 9^9 9ii ••• 9m données |far les formules

par conséquent, T sera une fonction de q'i,...qt, qu...qt, et nous aurons :

59, •" iq.

D'autre part, on a :

(0 On ne doit ^as, dans ces formules, tenir compte du terme en ât.

et, par suite,

^,^.W,iq. iy',iq. iz',iq.l ^"

D'aillears, des équations (4) on tire:

dX( ix, iy', iyt iz', iz,

H~ ^' 'îi ~~ ^- ' H "^ ^î. '

d'où :

^ ^ /3T 3x1 3T Jy; 3T D/, \ V !>T .

Mais on a aussi, en général, en remplaçant Xi, y,., r, par leurs valeurs en fonction dé 91,... 9^ et les ^o;^, dy,, dr, par les valeurs (5) :

* . \ ^qs ^q. ^qs I ,

en posant :

^r\ ^q. ^qs ^J

L*éq nation (3) devient alors :

Mais, on a :

dT

puisque f doit rester constant dans les différentiations relatives à la caractéristique (f , les déplacements étant compatibles avec les liaisons.

(7) et l'équation (6) peut être mise sous la forme suivante :

oîi bien :

8.. Jusqu'ici nous n'avons fait aucune hypothèse sur les variables q, que nous avons supposées en nombre quelconque. Supposons maintenant que les variations dq soient arbitraires, ce qui arrivera lorsqu'il n'existe pas de relations entre les variables 9, c'est-à-dire lorsque le nombre k sera le plus petit possible (k=Zn — m); les coefficients de ces variations seront nuls séparément , et l'équation (7) se décomposera en k équations de la forme

i.___Q.==oa (8)

s pouvant avoir les valeurs 1, 2, ... ft.

Si, au contraire, il existe des relations.entre les variables 9, c*est-à-dire si A: > 5n — m, ces liaisons seront exprimées par des équations de condition. On fera alors usage de l'équation (7), et l'on traitera la question de la même manière que dans le cas des variables Xf, y^, z^; par exemple, on emploiera la mélhode des multiplicateurs.

Les formules (7) et (8) sont dues à Lagrange.

{*) M. Bertrand a donné une autre démonstration de ces formules (Mécaniqtie analytique de Lagrange, t. I, p. 409)^ Voir aussi la démonstration de Jacobi, Vorlesungen ûber Dynamik, pp. 64 et 65.

•• Lorsqu'il existe une fonction de force U, en y introduisant les variables g^ , . . • g^, on a :

réquation (7) devient alors :

et les équations (8) nous donnent :