DÔ; DT DU
dt Dqr, D^,
f o. Les équations (9) qui ont lieu seulenaent dans le cas od il existe une fonction de force, sont du second ordre. Elles ne sont pas faciles à intégrer dans la plupart des cas; mais on peut les simplifier» en introduisant de nouvelles variables. A cet effet, on fait usage d'une transformation imaginée par Poisson et par Hamilton, ce qui réduira les équations à d*autres ne contenant que des dérivées du premier ordre, mais dont le nombre sera double.
* Pour effectuer la transformation, nous supposerons que les liaisons sont indépendantes du temps, de sorte que les variables ^i9 Vii 2 j s'expriment en fonction des 9, au moyen d'équations ne renfermant pas explicitement le temps /.
Nous aurons ainsi :
^ D9, ^ Dqr, ^ ^,
par conséquent, x\, y'i, z\ sont des fonctions homogènes et du premier degré de 9!» 919... 9a* Mais alors il est évident que la fonction
sera une fonctioft homogène et du second degré de ci, ci, ... 9^ dont les coefficients seront des fonctions connues de 91, 92» ••• ?»• Cela établi, posons avec Poisson :
(iO)
et nous aurons, au lieu de l'équation (9), les deux équations
suivantes :
dp, ^ D(T •+• U)
dt ^q.
Mais ce n*est pas la forme définitive des équation^ du mouvement : les équations (11) subiront encore une autre transformation que nous ferons* connaître phis loin.
if. Remarque. — Nous pouvons cependant déjà déduire des équations (11) un résultat remarquable (*) :
Propriété. . — Si Pon peut choisir les variables q de telle manière que l'une des variables q. n'entre pas dans la fonction de force V^ et si, en outre, la fonction T né renferme pas la variable q, elle-même, mais sa dérivée q'„ il en résultera une intégrale du système d'équations différentielles (11).
Cette intégrale sera :
DT
p, s=3 const.^ ou : — -, = çonst.
En effet, puisque^ par hypothèse, T et Û ne renferment pas
. la variable q„ on a :
par suite.
dpg
—■ = 0', ou bien : p, = consL
ai
C) Jacobi, Vorlemngefi ûber Ùynamik, p. 66.
se présente dans lê problème db mottvetnent d'un
attiré vert un centre fixe.
le ceotre est prJs.pour origine, on a les formules
X E= r C09 y sin $, y=r siDpsins, I — rcosS,
lar r le rayon vecteur, 6 l'angte qa'il Tait avec
p l'angle que sa projection sur le plan des x^fait
pour abréger :
,dr , de , df ''~5(' *^rf(' ^^Jt'
l'il ne s'agit que d'un seul point matériel :
;" + y» 4. ï'*) = - m{r'^ + r's"-+- r' sId' i . j."^.
e voit, la fonction T ne renferme pas la variable f, rme sa dérivée f'la fonction de force étant :
r e pas la variable f.
— =! tnf' sm' S . p = const.,
aisant entrer le facteur m dans la constance,
)le du problème.
le de s'assurer que cette équation n'est autre que
( H ) Tintégrale des aires dans le plan des xy. En effet, des formates':
on tire :
d'où:
ou bien :
xtarcosf sm0,
y =srsiD3psin 9,
xy' — yx' xy' — yx' x* r*8in'«cos*f
, a:y' — yx'
par conséquent, Téquation
r'8in*6./ = const.,
est équivalente à Téquation
xy' — yx'^=iCon8t,y ce qui est Tintégrale des aires dans le plan des xy.
