V DV

forment la solution complète du problème (*).

t05. Remarque. — On pourrait résoudre le problème beaucoup plus simplement, même sans connaître les n premières intégrales, si Ton parvenait, par un moyen quelconque, à déterminer la fonction V. Les 2n intégrales seraient données par les 2n équations :

dont les n premières sont équivalentes aux équations (3).

Or, cette fonction Y peut être trouvée comme une intégrale complète d'une certaine équation aux dérivées partielles du premier ordre.

En effet, d'après ce que nous avons vu, l'équation :

doit être identiquement vérifiée par la fonction Y.

(*) Ce théorème a été communiqué, en 1855, par M. Liouville au Bureau des longitudes (Journal de Liouville, t. XX, p. 137); Connaitsance des temps, i853; DoNKiN, Philosophical Transactions, 1854, p. 85; Imschenbtsky, Mémoire sur l'intégrcUion des équations aux dérivées partielles, pp. 161 ss.

Dans cette équation, (Z) D*est autre que la fonction Z dans laquelle on aurait remplacé pi, ...p„, par leurs valeurs tirées des équations :

Mais ces valeurs sont équivalentes à ^ , ... ^ .

Par conséquent, (Z) n'est autre que Z dans laquelle on aurait remplacé pj, p,, ... p^, par les valeurs de 3^1 ••• fj; • •• en résulte donc que la fonction V, renfermant n constantes arbitraires, doit rendre identique le premier membre de Téquation :

Par conséquent, Y doit être une solution complète de cette équation aux dérivées partielles du premier ordre non linéaire. Cette équation est facile à former, puisqu'il suffit de remplacer dans la fonction Z ou F, les quantités pi, p,, ... p., par les quotients différentiels ^ , ... ^ .

toe. Nous venons de voir que la fonction V qui donne les intégrales du système canonique au moyen des équations :

DV DV

est une solution complète de l'équation aux dérivées partielles :