DV / OV DV

--.F(e,9.,...9„, -, ...-J=0. (ii)

Il est facile de démontrer que toute solution complète , quelle qu'elle soit, de cette équation aux dérivées partielles, satisfait à la question, c'est-à-dire que, si l'on connaît une solution complète quelconque Y de cette équation, les intégrales du système canonique sont exprimées par les équations (*) :

DV DV

Dqff Da<

(*) DoMKiN, Philosophical Transactions, 1854.

Supposons, en effet, celte solution complète V connue, et posons :

réquation (11) devient :

— H- F(«, qr,, ... ^^, p,, .. p„)== 0. (12)

Différentiant par rapport à 9,, il vient :

dV ^ÔT DF DF Dp, ^L^o (13)

Or, on a :

Dg. D7, Dpi Dq^, Dp„ Dqf^

DV DV

Dt Dûfj Dp,-

d'ailleurs

Dqf, Df Df

Par suite, l'équation (15) nous donne :

Dp, DF DF :ip, DF ;ip,

D« Dç, :ipi Dg, :ip„ Dqf,,

d'autre part, on a :

dpi^^Pi Dp.. rfqf| ^jp^dq,

dt Dt Dqf, dt Dg^ (]{(

Ajoutant (14) et (15), on trouve :

rfpj^DF^Dp,/rfqf,^D F\ ^ ...^^/^^\ c/« Dqr, Dqf, \rfe Dpi/ Dy„ \ rf( Dp„/

Par conséquent, les n équations :

dftf, DF

—-= — , pour t = l, 2,...n,

dans lesquelles :

renferment comme conséquences les n équations :

-5^ = — — , pour t = 4, 2, ...n at oqi

Il reste à démontrer que les équations :

dqt ^ dF dt dpi

sont des conséquences des équations :

— = bi.

Or, si nous prenons la dérivée totale de Téquation :

— = bi, par rapport à t^ nous trouvons :

da,df i^afiqi dt ^^afiqn dt

d'autre part, en différentiant l'équation (12) par rapport à a^ , il vient, en ayant égard aux équations p^=»^ :