D*V DF D'V DF D'V

^afit Dpi DaPfi D;>„ Da^D^^

De ces deux dernières équations on déduit la suivante :

DoiDqfi \ dt T^pJ Tiafiqt \ dt :ipj

laquelle nous donne n équations analogues.

Or, de ces n équations on conclut que l'on a les n relations :

dq, iF . , a

= , pourt = l, 2,...«,

OU bien que le délerminaut des n^ quantités :

est nul. Mais cette dernière condition exprimerait (n® 50) qu'il existe entre les ~ une relation indépendante de a^ ... o., c'est-à-dire que Ton peut éliminer les n constantes Oi, ... a., des n équations :

ce qui est contraire à l'hypothèse que Y est une solution complète de l'équation (11) (*).

Donc, si y est une solution complète quelconque de l'équation (11), les équations :

— =6., jointes aux équations :

renferment comme conséquences les équations :

dqi dF dt dp,

(*) En effet, on sait que si V est une solution complète, elle renfermera, outre la constante additive, n constantes arbitraires a^, ... a«, telles que Ton ne puisse les éliminer toutes entre les n + i équations obtenues en différentiant V par rapport à q^y ... q», f, sans faire usage de toutes ces équations (n* &9).

et celles-ci renferment encore les équalions :

dans lesquelles :

Pi =

Donc, si l'on peut trouver une intégrale complète quelconque de réquation (11), la question sera résolue, et Ton aura les 2n intégrales du problème par de simples diSérentialions.

tOV. Cas particulier. — Lorsque Z ne renferme pas expli^ citement le temps t , l'équation Z == A est , comme on sait (n® tos), une des intégrales du système (1).

On peut alors supposer que l'équation Z = h est une des n intégrales données, au moyen desquelles on définit la fonction principale Y, de manière que :

soient les n constantes arbitraires. Cela étant, si les conditions :

(a,, a,.) = 0. (ft,ai) = 0,

sont satisfaites, nous aurons identiquement :

puisque Z doit se réduire à A, quand on y remplace pi,Pi, ...p., par leurs valeurs tirées des n intégrales (*). L'équation :

dN =p4qi -+- Pîrf?» -*- ••• -*- Pn'^^n — (Z)rf(,

(*) (Z) est le résultat que Ton obtient en remplaçant dans Z les quan> tités PxyP%i ••• PM9 P&r leurs valeurs tirées des n équations ft=ai, ... 2=^. Or, si dans Tune quelconque de ces équations, par exemple Z s= A, on remplace PitPi'k ••• p») par leurs valeurs, cette équation devient une identité; donc, (Z) est identiquement égal à h.

DODS doDne alors :

dV=pidqi -^ p^i H H pjlq^ — Ml;

d*où :

4» étant une fonction ne renfermant pas explicitement le temps; en effet, Z ne renfermant pas explicitement le temps, il en sera de même de Pi, Pi, — p..

La solution du problème se simplifie alors de la manière suivante :

Les in équations :

sont remplacées par d'autres que nous allons chercher.

De réquation :

V = — Al-t-+.

on tire :

par suite, les n premières intégrales peuvent être remplacées par les n équations :

agi

Les n intégrales restantes, qui sont données, en général, par les équations :

T étant la constante conjuguée à A, deviennent, en remplaçant V par sa valeur :

Quant à la fonclion i{;, il est facile de voir qu'elle satisfait à l'équation différentielle partielle :

dans laquelle :

F{9i> 9«» - 9»» Pi» P«> - Pn)>

est la valeur de Z en fonction des 2n variables p<, 9^.

Cette équation différentielle partielle se déduit facilement de l'équation (11). En effet, de l'équation :

V = — A« ^- ^, on tire :