DV D

—•^ ^3ZS ^— •

Par conséquent, Féquation (11) se transforme, dans le cas actuel, en la suivante :

ou bien :

— A-t-F lqr„qr„... qf„,— , —, ... — 1 = 0,

Le cas particulier que nous venons d'examiner se présente lorsque Vintégrale des forces vives existe. L'équation Z «= A est afors l'intégrale des forces vives, et h est la constante des forces vives.

t08. Remarque L — Comme nous l'avons vu précédemment (n® 08), lorsque les intégrales des équations canoniques sont :

si Ton met ces équations sous la forme :

on a :

(ao6<)= — i, (a,. 6,.)=0,

(6<, aj = -+- d, etc.

Nous appellerons un système de 2n intégrales pour lesquelles ces conditions sont remplies, une solution normale, ou un système à^intégrales normales. Les 2n constantes arbitraires contenues dans un tel système seront appelées éléments normaux. Une paire a,, 6^ s'appelle des éléments conjugués (n^ 97).

Dans le cas considéré en dernier lieu , où Z ne renferme pas explicitement le temps t^ h eix sont des éléments conjugués, ces lettres étant employées au lieu de a et 6 uniquement pour des raisons particulières.

tœ. Remarque II. — Il faut encore observer ici que les 2n intégrales des équations canoniques (1) peuvent être obtenues sous une autre forme que :

— = P., —==6., et alors, si les équations :

« = ?(9l. ?«> — qnf PnPïJ - PnJ 0»

P = '/'(9i. 9i> - 9n»Pi»Ps» ... p„, t),

sont deux intégrales obtenues par un moyen quelconque, c'està-dire sans employer les théorèmes de M. Liouville et de M. Donkin, on n'aura plus :

(a, p) = ± 1 ou =0.

Mais il est facile de s'assurer, comme nous le verrons plus loin, que Ton aura, en vertu des équations canoniques :

(a, p)^=:^const.^

de sorte que, si (a, P) est une fonction de Çi, Çj, ,.. g,, Pli Pf ••• P»i tj on obtiendra, en posant :

(a, p) = confia,

une nouvelle intégrale des équations (1).

Si Ton a identiquement (a, ^)'^con8t., alors les intégrales a et P sont des intégrales qui ne diffèrent des intégrales normales que par un multiplicateur. Nous reviendrons d'ailleurs sur ce point dans les chapitres suivants.

Théorèmes de Lagrange et de Poisson.

tiO. Reprenons les équations canoniques :

dq,

dt

dpi

dU

dt

Dg.

dans lesquelles :

H = /(«, qi, 7j, .. ?„, Po Pi, .. p„).

Les intégrales de ces équations au nombre de 2n, contiennent 2n constantes, «,, a,, ... «,, (B,, (3j, ... (3^. On peut résoudre ces équations intégrales par rapport aux variables p,, 9,, en fonction des a., (3. et de ^ ou bien par rapport aux constantes «,, (3„ en fonction des p,, 9. et de r.

Théorème de Lagrange. — Les intégrales étant résolues par rapport aux variables Pi, qi, on a la relation :

^!?î^!5^ + ...^^^^'^ = const.

Da Hp Dp Da * Sa 3^ Sp Da •»

OU bien, en employant la notalion de M. Donkin (n® eo) :

Celte relation peut s'écrire sous la forme symbolique :

[a, p] = const.

Démonstration. — Considérons la fonclion H, et supposons que Ton y remplace les variables 9<, Po en fonction de ^ et des 2n constantes, parmi lesquelles se trouvent a et (3 : cela posé, la démonstration du ihéorème de Lagrange repose sur l'identité :

On a :

Da ^ \Dgf, Da Dp, Da /

ou bien, en vertu des équations canoniques (1) :

DH ^ ^ / rfpj Dqr, ^ ^\ .

Da """-^ V rfe Da "^ c/« Da/ '

par suite.

f/MDp / D^ dt lia^p

d .''D(7A Dp, dqi ^% dt \Dp / :ia dt DaDp

On trouve de la même manière :

i £ /^A ^qt^dpi^ dY \ cfnDa y Dp (/« DaDÔ d /DqfA Dp,. rfqr, D'p,- "*" di \Da / Dp d« DaDp |

En égalant ces deux expressions, il vient :

^ , dt \Dp ) :ia "*" rff \Dp / Da I

"*" dt \D« y Dp rf« \Da y Dp

( 192 ) Or, cette dernière équation n'est antre que :

par conséquent, on a :

[a, p] esaconsLy

et le théorème de Lagrange est démontré.

Remarque. — Dans le cas particulier où a et ^ sont des constantes normales a^, 6^, nous avons vu (n*" OY) que Ton a :

I 0, suivant que a et ^ sont conjuguées ou non.

lit. Théorème de Poisson. — La démonstration du théorème de Poisson repose sur deux lemmes que nous allons faire connaître :

Lemme I. — Si l'on désigne par cp, ^ deux fonctions quelconques des variables t, qi, ... q„, Pi, ... p^, et si l'on prend la dérivée partielle de ^expression (ç, i^i) par rapport à l'une quelconque de ces variables que nous désignerons par {, on a :

•Ma- *)-{'■>

En effet, de la formule :

on tire :

(*) DoNEiN, Philosophical Transactions,, 1854, p. 92; Imschenbtskt, pp. 55 et suivantes.

Or,

Par conséquent,

oi

C'est la formule énoncée.

Lemme h. — 5t cp, i{/, 8 sont trois fonctions quelconques des variables l, qi, ... qn, Pi, ... p^, on a /a relation :

En effet, le premier membre nous donne, en le développant :

Dç, Dp/ Dp.. Dqr^

Dp,. D7,

Ds. ( /D'f \ / î>M ) ^? ( /^'l' \ / ^'^

D^i ( \Dp; / \ dpil ) ^pi ( \D</i / \ D</i

\ Dç,

Ds ^il\^Pi I V Dp.i D4 ( /Dy \ / ^'/' \ ) ^^ î^î. ( \'^Pi I \ ^P./ i ^Pi