DJ

^Pi

Or, il est facile de voir que tous les termes se détruisent deux à deux. Ainsi, par exemple, dans le premier terme on trouve des expressions de la forme :

Df ( DV ^9 d\ D^ D'f D'e ^ D*e

^i ( ^pt^qk ^Pk ^pi'Pk ^ï* ^k WPk ^Pk Wffi

Les deux premiers termes de la parenthèse sont détruits le premier par un terme de ^ (^>5^)i '^ second par un terme

de ^(f, ^1 ; les deux derniers termes sont détruits respectivement par un terme de 5^(5^^»?') ^^ P^r un terme de 5|;(|^»f)- On peut résumer ce qui précède en remarquant que Texpression proposée étant développée, chaque terme se compose d*un coefficient différentiel du second ordre de Tune des trois fonctions 9, i{/, B, multiplié par un coefficient différentiel du premier ordre de chacune des deux autres. Par exemple , les termes où 9 est différentié deux fois sont de la forme :

D'f D'f De d'ç) ^ De D'y D(f De •

^i^Pk D9* Dp,. Dqf,D74 Dpf D/;^ Djo.Dp^ Dy. ^^

k pouvant être égal à t ; chacun de ces termes provient du second et du troisième terme de l'expression proposée.

Or, on voit facilement que, pour chaque terme provenant du second terme, il y a un terme semblable en signe contraire provenant du troisième terme.

Le même raisonnement s*appliquant aux termes dans lesquels ^ et 6 sont différenliés deux fois, l'expression proposée sera identiquement nulle, et la formule est démontrée.

Rappelons encore que si Ton pose :

p = 4;(f, qf,, ... qf„, pi,...pj,

pn a, en vertu de la notation de Poisson (n"" eo) :

Rappelons aussi que, si u est une fonction de ^ g^, ... 9., Pi, ... p., nous aurons :

du :iu ^ hu dqi Du dp A dt "^ U ^ \Dgf, dt :ipi 'dîl

OU bien, en ayant égard aux équations canoniques, (1) :

Dw ^ /Dw DH Dm DH\ Dm , „ : , ,

Cela posé, on a le théorème suivant :

Théorème. — Soient a, ^ deux intégrales quelconques Ç) du système canonique, contenant chacune une constante, et résolues par rapport à ces constantes :

a = ?(^ îu -^n» Piy "'Pn)y

l'expression :

sera constante pendant toute la durée du mouvement ("). Pour démontrer ce théorème, il suffit de prouver que l'on a :

Tt — '®'

en vertu des équations canoniques.

Or, on a, en remplaçant u par (a, P) dans la formule (2) :

fM. 2^. (,,,,„) g,, ).(.ï). (,,,,„).

Mais nous avons vu que, si a, ^ sont des intégrales des équations canoniques, on a (n"" toii) :

(*) Pour abréger, nous appelons intégrale a, Tîntégrale :

(**) Mécanique analytique de Lagrange, U I, note 7; Jacobi, Vorlesungen Ûber Dynamik, pp. 421 et 436; Donkin, Philosophical TyafUMtions, IStti, p. 93.

(196) Par conséquent,

Or, le dernier membre de celle formule esl idenliquement nui ; par conséquent,

dt et, par suite,

(a, p) = const.j

ce qui démontre le théorème de Poisson.

119. Ainsi donc, en résumé, si a, (3 sont deux intégrales des équations canoniques, on a toujours :

(a, p) = const.

Mais, cette équation peut avoir lieu : 1^ ou bien identiquement; â"" ou bien non identiquement.

1*" L'expression (a, (3) peut être identiquement nulle, ou elle peut se réduire idenliquement à une constante déterminée, et Ton peut toujours faire en sorte que celte constante soit Tunité : il suffit pour cela de multiplier ou diviser Tune des intégrales a, (3 par un facteur convenable.

Si a, (3 sont deux intégrales normalesy nous avons vu que (a, P) est égale à l'unité ou à zéro, suivant que a et P sont conjuguées ou non (n* 09).

2*" Si l'équation (a, (3) = consL n'est pas identiquement satisfaite, c'est-à-dire si elle n'a lieu qu'en vertu des équations canoniques, alors la constante du second membre sera une constante arbitraire, et l'équation :

(a, p) = const.,

sera, comme nous le verrons dans la suite, une intégrale des équations canoniques. Mais il peut ici se présenter deux cas : Premier cas : Ou bien la fonction (a, (3) peut être seulement

une combinaison des seconds membres des intégrales a et p, et alors Téquation :

(a, j3) = const,^

n^est pas une intégrale nouvelle, mais seulement une combinaison dés deux intégrales a et (3.

Second cas : Ou bien la fonction (a, (3) est une fonction de ^ Y 9i 1 — 9» « Pi ) •*• P») indépendante de a et p, et alors Téquation :

[oL, p) = const.^

est une nouvelle intégrale qui ne résulte pas d'une combinaison des deux autres.

Dans ce dernier cas seulement, le théorème de Poisson permet de trouver une nouvelle intégrale, lorsque l'on en connaît deux.

lis. Soient «m ««, ... <x«,« ^ intégrales quelconques, et soient /*, g deux fonctions de <Xi, a,, ... (x„, de manière que /*, g soient aussi deux intégrales. Il est facile de démontrer que Ton a :

la somme s'étendant à toutes les combinaisons binaires des m constantes «i, a,, ... a^.

En effet, on a :

Or,

^ VDç, Dp< Dp.. Dgi/

D/" D/* Da, D/* Oa, D/* Da„

d(^,- Dai dÇj da^ d^,- Da^ Df ^

D/' __ D/* Da, D/" Daj D/" Da„

Dp, Dai Dp< Daj Dp< D«,„ Dp,.

Dg Dj Da, Dgf Do, Djf Da„

Df^ Dai Dçr^ Das Df^ Da„ Dqf|

Dg D^ Dai <)^ ^^t <)9 i^J^m

Dpj Daj Dp, Dûtj Dpj- Djc^ Dp<

( 198 ) En substituant et réduisant, il vient :

D'après cela, si Ati, A:,, ... k^ sont m fondions, telles que /; g, des m constantes «i, <%,,.. a^, nous aurons pour une paire de ces fonctions :

la somme se rapportant aux combinaisons binaires de a. , a,, ... a c'est-à-dire aux indices i et /.

114. Nous pouvons déduire de là les équations inverses que Ton obtient en considérant «1,0,, ... a^ comme des fonctions de Ati, A:,, ... k^. Nous trouverons ces équations inverses en raisonnant de la même manière que ci-dessus, ou bien en multipliant réquation (4) par ^^^7!^, et faisant la somme par rapport à p, 9. Nous aurons :

<■■■•''= 2 l^iC. y. m

la somme se rapportant aux combinaisons binaires de A:i, A:,, ... A:^.

Cette réciproque serait en défaut dans le cas où les équations qui expriment Ati, A:,, ... A:^, en fonction de a,,a,,... a^, ne sont pas indépendantes les unes des autres, hypothèse que nous excluons, en supposant que A:|, A:,, ... A:^ sont m intégrales distinctes.

115. Les formules que nous venons de trouver conduisent aux conséquences suivantes :

l"" Si /* est une fonction donnée de a., a,, ... o^, la détermination d'une autre fonction 9, telle que l'on ait [f^g)=sO, dépend de rintégration d'une équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre f ).

{*) Nous reviendrons plus loin sur cette propriété.

2* Il est impossible que l'on ait (it.., ii)=*0, poor tontes les combinaisons binaires de i|, i^, — i;»« à moins que Ton n*ail {og^ a^)=^Oy pour tontes les combinaisons binaires de Of, «,, ... â^.

tic Comme exemple de la première de ces conséquences, considérons nn cas qui se présente dans beaucoup de questions de dynamique.

Soient a^^a^^a^ trois intégrales telles que l'on ait :

et soit proposé de trouver une fonction g de ai, a,, o^, telle que Ton ait :

En faisant /'=»at, dans la formule (3), il vient, en ayant égard aux formules précédentes :

Par conséquent, la condition {etg^g)=0 nous donne Téquation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre :

as- oj-— = 0,

de laquelle cm tire :

4^ étant une fonction arbitraire qui peut aussi contenir a^ d'une manière arbitraire.

ti7. Remarque. — Il est facile de ?oir que si Ton pose :

on aura identiquement :

quelle que soit la fonction g dea^^a^^a^.

( 200 ) On a, en effet.

Or,

Oai Da^ Oocj

par conséquent, tous les termes du second odembre se détruisent deux à deux, et Ton a :

quelle que soit la fonction arbitraire 9 de a^, «t, ^.

IIS. Cas particulier. — Si les constantes ^i, 0c,, ... sont des éléments normaux, nous aurons, en les désignant par a^ , a,, ... a.,

/; gr désignant deux fonctions quelconques des éléments normaux, ou deux intégrales quelconques (n"" oe). Si, dans cette dernière formule, on fait f==a^, on trouve :

si l'on suppose /"= 6., il vient :

119. Remarque L — Dans le cas où l'intégrale des forces vives existe, nous pouvons supposer que la constante des forces vives h est un des éléments. On sait que l'élément conjugué à A est T (n"" los), et que t n'entre explicitement dans aucune

des intégrales, excepté une seule, c'est Tinlégrale conjuguée à h\ qui est :