OV

Si donc g est une intégrale quelconque ne renfermant pas t explicitement, elle ne peut pas contenir r, puisque toute combinaison des intégrales normales qui renfermerait la constante t, devrait la renfermer sous la forme < + t.

Or^ pour chaque intégrale de cette espèce, nous aurons , en vertu de la formule (o<, //) «=» — 1|. ,

Mais, g ne contenant pas r explicitement, on a :

par conséquent,

Si, au contraire, g renferme explicitement le temps, elle le contient sous la forme ^ + r, et l'on a :

et, par suite,

I90. Remarque IL — Il est facile de conclure du théorème de Poisson que, si V intégrale des aires a lieu par rapport à deux des plans coordonnés^ elle a aussi lieu par rapport au troisième plan.

En effet, en posant :

dt ^' dt ^' di ^'

on a pour deux de ces intégrale^ :

f(yz'^zy')dm = p.

Or, réquation :

(a, p)s=con«(.,

nous donne :

f{zx* — xz') dm = const.^

ce qui est ia troisième intégrale des aires.

Théorèmes de M. Bertrand.

191. Poisson n'avait tiré aucune conséquence de son théorème. C'est Jacobi qui, trente ans après la découverte de Poisson, a le premier signalé l'utilité de ce théorème qu'il considère comme le plus important du calcul intégral f). c Cependant, » dit-il, on le croirait complètement inconnu; car, on ne le » trouve dans aucun Traité de mécanique, ni dans aucun » ouvrage sur l'intégration des équations diflerentielles. » Jacobi n'hésite pas à en conclure que probablement personne, ni Lagrange, ni Poisson lui-même, n'en a soupçonné l'importance.

Le théorème de Poisson conduisit Jacobi au théorème suivant:

Théorème de Jacobi. — Dans tout problème de mécanique auquel s'applique le principe des forces vives, si l'on connaît deux intégrales autres que celle des forces vives, on pourra trouver toutes les intégrales restantes, sans aucune nouvelle intégration.

Nous avons démontré le théorème de Poisson étendu au cas

{*) Jacobi, Nwa methodtu (JournàIi de Crbllb, t. LX, pp. 45 et 46); Comptes rendus, Paris, 1840; Journal de LiouvUle, t V, p. 350.

général des équations canoniques, en supposant que H est une fonction de ^ 9o ...9», Pi, ... p».

Il est facile d'en déduire Je théorème de Jacobi.

En effet, puisque, en vertu du théorème de Poisson, (a, P) est constante pendant toute la durée du mouvement , il en résulte que cette quantité égalée à une constante arbitraire est une troisième intégrale du système proposé.

Il paraîtrait donc, et c*est en cela que consiste le théorème de Jacobi f), qu'il suiBt de connaître deux intégrales d*un problème de mécanique, ou, en général, d'un système canonique, pour avoir la solution complète par une série de différentiations seulement.

En effet, (a, (3) étant une fonction de g^, ... 9., p^, ... p., t, si on l'égale à une constante arbitraire, l'équation :

{a,p) = r, sera une intégrale du système.

En appliquant de nouveau le théorème, nous aurons une nouvelle intégrale :

et ainsi de suite.

199. Mais l'examen approfondi de cette question a montré à M. Bertrand f *) que la méthode d'intégration fondée sur le théorème de Poisson est loin d'avoir l'importance que Jacobi lui avait attribuée d'abord. Les cas où ce théorème conduit à une nouvelle intégrale sont plus rares que ceux où il n'atteint pas ce but.

Quelquefois aucune des combinaisons deux à deux par le théorème de Poisson, des intégrales qui forment la solution complète, ne donne une intégrale nouvelle; dans d'autres cas, une partie de ces intégrales combinées deux à deux ne donne

(*) Nova fMthodus, p. 43.

{**) Journal de Liouville, t. XVII; Imschenbtsky, p. 182.

pas d'intégrale nouvelle. M. Bertrand, profitant des cas d*exception, a imaginé une méthode spéciale d'intégration des équations canoniques. Il a reconnu que, dans ces cas d'exception, il est souvent possible de trouver un nombre plus ou moins grand d'intégrales nouvelles au moyen des intégrales déjà connues. Si l'on parvient ainsi à connaître la moitié des intégrales, on peut, comme nous l'avons vu (n"" I04), en appliquant le théorème de M. Liou ville, compléter la solution du problème au moyen d'une fonction V qui donnera toutes les autres intégrales.

198. Comme nous Pavons vu (n"" II9), les deux intégrales données :

ne conduisent pas à une nouvelle intégrale par l'application du théorème de Poisson :

1* Lorsque Texpression (a, P) se réduit identiquement à une constante numérique quelconque, laquelle peut être nulle;

2"" Lorsque l'expression (a, (3) se réduit à une fonction de a et de P, en sorte que l'expression :

(a, p) = con$t.y est une combinaison algébrique des intégrales a et p.