fp, H
Ainsi donc, dans le cas où H ne renferme pas explicUenient le temps t , il est impossible de former une nouvelle intégrale par la formule de Poisson appliquée à deux intégrales dont l'une serait H «=> const.
Cest ce qui arrivera y en particulier, lorsque l'une des deux intégrales a, (3 sera V intégrale des forces vives. Nous aurons le théorème suivant :
Théorème. — Toute intégrale combinée avec celle des forces vives donne à l'équation de Poisson une forme illusoire.
196. Le théorème de Poisson peut, comme nous venons de le dire, conduire de deux manières différentes à un résultat illusoire. Il peut arriver : ou bien que l'équation de Poisson se réduise à une identité, telle que = 0, ou 1=>1, ou bien qu'elle donne une intégrale qui soit une combinaison de celles dont on l'a déduite.
M. Bertrand a démontré (*) que ces deux cas se rattachent l'un à l'autre; il en conclut, par conséquent, que, pour les étudier, il suffit de considérer les intégrales qui , combinées avec une intégrale donnée, donnent à l'expression de Poisson une valeur identiquement consinnfe. Il indique ensuite le moyen de trouver l'une de ces intégrales lorsque l'autre est connue, et il prouve qu'il en existe toujours.
I9e. Voici le théorème qui permet de rattacher l'un à l'autre les deux cas d'exception :
Théorème. — Si a = ç, (3 = ^ sont deux intégrales d'un méfiée problème f telles que (a^ P) est une fonction de a et de (3^ f7 existe toujours une fonction de a et de i^^ qui, égalée à une constante y, donnera une intégrale telle que (a, y) soit identique-^ ment égale à l'unité.
En effet, on a, par définition :
(*) Journal de LUmvUle, U XVII, p. 393.
or, y étant une fonction de « et de P, on a :
Dpj Da Df)< d^ dp<
Dy ' yy "boL Dy Dp Dqf( Da d^j Dp Dç^
par suite, en réduisant,
Dy
Si donc (a, P) est une fonction de a. et de p, ou pourra déterminer 7 par l'équation différentielle partielle :
laquelle nous donne Téquation différentielle ordinaire :
I rfr __ rfp
; Par conséquent, on peut toujours faire en sorte que :
Ce théorème peut être généralisé de la manière suivante :
199. Théorème. — Si a=3(p, ^==3^ $oni deux intégrales d'un même problème, et si, en le$ combinant par la formule de Poisson, on trouve une troisième intégrale :
(«, p)«r, puis une quatrième :
puis une cinquième :
et ainsi de suites si l'on arrive enfin à une intégrale :
( 208 ) telle que l*on ait :
ç = F(a, p, r, ...if)n, t7 exi$te toujours une ou plusieurs intégrales de la forme .
quif combinées avec a, donnent identiquement :
(a, Ç)«0, OU (a, Ç) = i.
Pour démontrer ce théorème, considérons l'expression :
et remplaçons les dérivées de Ç par leurs valeurs obtenues en considérant Ç comme une fonction composée; nous aurons, après quelques réductions :
Si maintenant on veut déterminer l de manière que l'on ait :
(«, Ç) = 0, ou (a, f)«l,
on devra intégrei' l'une des deux équations linéaires aux dérivées partielles suivantes :
r - + ^ --*-••• -H F(«, jB, r, ...If)— =0,
dp oy Dif
ou bien :
(*) Il est évident que l*on doit arriver h une intégrale Ç jouissant de cette propriété d*étre une fonction des précédentes; car, la suite des intégrales distinctes ne peut pas se continuer indé6niment» puisque le nombre total des intégrales des équations canoniques est limité.
donl les intégrales satisferont à Tune ou à l'autre des conditions précédentes.
Donc, les intégrales des systèmes d*équations simultanées ordinaires :
dp dr ^d$ ^ dif c/ç
dp dy dâ dif rfÇ
"r """? ""T F(a, p, r, ...vl'^T'
nous donneront les intégrales générales des équations linéaires ci-dessus. Or, si Téquation en \ renferme A: variables indépendantes, son intégrale générale sera une fonction arbitraire de il: — \ fonctions distinctes, et elle contiendra, par conséquent, k — 1 intégrales distinctes satisfaisant à la condition énoncée. On conclut de là le théorème suivant :
199. Théorème. — Une intégrale étant donnée, il y en a une ou plusieurs autres qui, combinées avec celle-ci, conduisent à des équations identiques.
Soit:
une intégrale donnée d'un problème de mécanique. Si l'on prend une seconde intégrale du même problème :
et si on la combine avec a, on formera l'expression (a, (3).
Si cette expression est identiquement constante, le théorème est démontré; sinon l'expression :
sera une nouvelle intégrale.
On formera alors l'expression {oc, y), laquelle sera identiquement constante ou non : si (a, y) est constante, la proposition est démontrée, sinon l'on posera (a, 7)=^^, équation qui sera
une nouvelle intégrale, et ainsi de suite.
Ed continuant ainsi, on arrivera à une fonction i; qui est : l"" Ou bien une constante, et la proposition est démontrée, puisque la fonction précédente satisfait à la condition énoncée; â"" Ou bien une fonction des précédentes (*) : dans ce cas, comme on sait (n'^ tv), en formant une fonction Ç convenable des intégrales successivement obtenues, on aura une intégrale qui, combinée avec a, donnera un résultat identique. .On a même Yu (n"" 199) que l'on peut obtenir plusieurs intégrales distinctes les unes des autres, telles que Ton ait :
(a, Ç)=0, ou (a, ê)==i.
Nous avons vu (n"" 194) que Tintégrale des forces vives donne toujours un résultat identique, quelle que soit l'intégrale avec laquelle on la combine. Combinée avec une intégrale cl ne contenant pas explicitement le temps, elle donne (a, H) = 0; et combinée avec une intégrale renfermant explicitement le temps, elle donne (a, H) = — 1 .
On pourrait se demander si l'intégrale ^ dont nous venons de démontrer l'existence, et telle que l'on ait :
(a, Ç) = 0, ou (a, Ç) = i,
n'est pas ou l'intégrale des forces vives, ou une fonction de cette dernière.
Le théorème suivant prouve que l'intégrale des forces vives n'est pas la seule qui remplisse cette condition, ce qui d'ailleurs est déjà évident, puisqu'il existe un grand nombre de fonctions i.
