Théorème. — Quelle que soit une intégrale donnée

il existe toujours au moins une autre intégrale X, qui n'est ni l'équation des forces vives, ni une fonction de celle-ci, et qui, combinée avec a, donne un résultat illusoire :

(a, :i) = 0, ou (a, i) = i.

Ç) Car les intégrales distinctes sont en nombre limité.

( 2in

Soit p une intégrale quelconque différente de celle des forces vives :

d'après ce que nous avons vu (n"" ttv), si, en conobinant a avec p, puis avec les intégrales résultantes, on arrive, après k opérations, à une intégrale rentrant dans les précédentes, la fonction qui, combinée avec a, donne un résultat illusoire, est déterminée par une équation aux dérivées partielles à k variables indépendantes. Cette fonction aura, par conséquent, k — 1 formes différentes.

Pour ft=l, c'est-à-dire si le cas se présente après une seule opération, l'intégrale sera une combinaison de a et de P; par suite, elle est différente de celle des forces vives.

Pour k'=% nous aurons :

or, si l'on cherche par la méthode indiquée ci-dessus (n® 199), une intégrale ^(a^ 3, y) qui, combinée avec a, donne un résultat identique :

(a, ^) = 1, ou («,^) = 0,

cette intégrale sera ou non celle des forces vives.

Si cette intégrale ^ est précisément l'équation des forces vives, nous aurons :

d'où l'on lire :

Considérons maintenant une fonction Ç(a, (3, H) qui, évidemment, sera une intégrale; nous aurons :

Kf) = (a,p)|^(«,H)^ = (..p)|=ç(,,p,H)|n.

(*) Puisque (a, H) = 0.

Gela posé, si l'on détermine Ç par la condition que Ton ait la relation :

la fonction Ç ainsi déterminée satisfera à la condition proposée :

de plus, elle sera distincte de celle des forces vives qui donnerait :

(«, H) = 0, puisque a ne contient pas explicitement le temps.

Ayant examiné le cas où l'on suppose k=% supposons qu'en combinant a avec P, puis avec les intégrales 7, S^ ... que l'on obtient successivement, on trouve une intégrale e pour laquelle on ait :

cette intégrale e sera évidemment différente de celle des forces vives, et la proposition sera encore démontrée. Si, au contraire, on trouve :

et que e soit précisément l'intégrale des forces vives, ou une fonction n(H) de cette intégrale, on aura, en désignant par $ l'intégrale qui, dans la série des opérations, précède immédiatement e.

Or, il est évident que si, au lieu de l'intégrale (3, que nous avons prise pour point de départ, on avait pris ^, toutes les intégrales successivement obtenues auraient été divisées par n(H j, et Ton aura eu :

("'ïïni))=*'

(le sorte que j^r est une intégrale distincte de celle des forces vives, et qui, combinée avec x , donne un résultat identique.

Des théorèmes précédents, M. Bertrand déduit celui-ci :

I30. Théorème. — Quelle que soit une intégrale donnée a, on peut toujours compléter la solution du problème en y adjoi^ gnant d'autres intégrales P^, (3j, ,.. (3,n i, lesquelles, combinées avec a, donnent à l'équation de Poisson une forme identique :

(«, PO = i , («, Pf) = 0, ... (a, Ptn^i) = 0.

Comme nous l'avons vu par le théorème précédent, quelle que soit rintégrale a, il existe toujours une fonction Pi, telle que :

(«,pi) = l.

Nous devons maintenant démontrer qu'il existe 2n — 2 intégrales distinctes de a et de Pi , qui , combinées avec a, donnent

Désignons par |x le nombre des intégrales satisfaisant à cette condition, p„ ... p^^i, et supposons que l'on ait (x4-l<2ii— 1. Il existera évidemment alors d'autres intégrales indépendantes de celles-là, ainsi que de a et de j3|.

Si (3^+, est une de ces intégrales, nous aurons :

(«> Pfl+i) = PaH-8»

{3^^5 étant, par hypothèse, différent de zéro. Je dis que (3^^ sera aussi différent de Tunité; car, sans cela, des équations :

on déduirait évidemment :

d'où il résulterait que (3^,., — Pi serait une fonction de P„ Pj, ... P^i, et, par suite, que P^j ne serait pas une nouvelle intégrale. Par conséquent, p^^^ est différent de Tunité. Puisque P^^., est différent de zéro et de l'unité, posons :

(a>P/*+4) ==?/*+»» etc.

Nous finirons évidemment par trouver une intégrale |3 qui sera identiquement constante, ou bien une fonction des précédentes.

Soit:

cette intégrale.

Cela posé, désignons par y une fonction des intégrales a, (3^^,, Py.i+3, ... Pyti+i-i, et posons :

9/ s= CT(a, Pyui+i, ... P/A+i i) ;

nous aurons :

(a, r)==« («, p/*«) ■— -^ (a, P/x+b) — h ... -4- (a, Pp^.i)

Si Ton pose :

on a réquation différentielle partielle :

qui pourra servir à déterminer la fonction 17 ou 7 en fonction de :

Or, 7 sera une intégrale nouvelle; car, sans cela,* 7 serait une fonction des intégrales primitives a, p^, ... (3^^i, et Ton aurait une relation telle que :

mais, 7 satisfaisant à Téquation :

( 2i5 ) on aurait :

et, par conséquent, il existerait une relation entre les intégrales «1 Pi» Pîi — P/x+i» ce qui est contraire à Thypothèse que toutes les intégrales :

sont différentes entre elles.

Nous avons donc fait une hypothèse inapossible en supposant fji-i-l<2ii — 1. Par conséquent, fx-4-l=2n — 1, et le théorème est démontré.

tst. Les théories précédentes peuvent donc être résumées de la manière suivante :

Théorème. — Étant donnée une intégrale a, autre que celle des forces vivesy et indépendante du temps, la solution du problème se composera :

l^ De 2n — 2 intégrales comprenant a, qui sont indépendantes du temps, et telles que, combinées avec a, elles donnent :

i étant l'une quelconque d'entre elleb;

2® D'une autre intégrale |ut, également indépendante du temps, et telle que :

5** D'une intégrale v de la forme :

telle que :

139. Remarque I. — Si Ton se rappelle la défmition que nous avons donnée des intégrales conjuguées (n° 99), on verra que les deux intégrales a et p qui nous donnent :

sont conjuguées.

On verra aussi que Tintégrale v qui contient le temps, est le conjuguée de l'intégrale des forces vives. En effet, on aura, comme il est facile de s'en assurer :

133. Remarque IL — Pour appliquer la théorie de M. Bertrand, il faut connaître une intégrale a, et alors on a à déterminer 2n — 1 intégrales satisfaisant à l'équation différentielle partielle linéaire du premier ordre :

(a,i) = 0, ou (a, A)=l, (A)

l étant la fonction inconnue.

Mais la fonction l doit aussi satisfaire à l'équation :

Si donc on peut intégrer l'équation (B), il suffira de chercher, parmi les solutions de (B), celles qui satisfont à l'équation (A); sinon, on aura à chercher les solutions communes aux équations (A) et (B).

134. Nous avons vu (n"^ 130) qu'une intégrale a, étant donnée, on peut compléter la solution du problème au moyen des intégrales Pi, (3,, ... (3,^i, qui, combinées avec a, donnent toutes à la formule de Poisson une forme identique.

Il ne faut cependant pas en conclure que toutes les intégrales du problème soient dans le même cas.

Soit, par exemple, l'intégrale la plus générale :

nous aurons :

(a, tj) = («, Pi) — H- (a, fij)— H- .. -♦- (a, pu-i)

^^ Dp, Dp,

Par suite, l'expression (a, >?) ne sera identiquement constante que si ^ est constant lui-même.

Il en résulte que toutes les intégrales >7, en nombre inflni, provenant de la combinaison de a, p,, (B,, ... (B,— i^ donneront un résultat identiquement nul, si on les combine avec a. Au contraire, les intégrales qui contiennent (3^ peuvent conduire à des résultats non identiques.

135. Comme application de la méthode de M. Bertrand, nous reprendrons le problème du mouvement d'un point matériel attiré vers un centre fixe par une force en raison inverse du carré de la dislance.

Les équations du mouvement étant:

dx , dx' iix

dt^^' ~di^~'?'

dt^^^' dt r''

le principe des aires nous donne l'intégrale :

xy' — yx' = const. = a . (2)

Cherchons une seconde intégrale :

satisfaisant à l'une des conditions :

(^,«) = 0, ou (|3,a)=i.

Nous aurons les deux équations différentielles partielles linéaires :

. DS DÔ D8 DQ

^ Dx' -^ Dx Dt/' Dy '

Pour inlégrer la première, nous devons intégrer le système d'équations simultanées ordinaires :

dx' dx

OD trouve facilement que les quatre intégrales de ce système sont :

et, par conséquent, l'intégrale la plus générale de l'équation (4) est :

p = F(x' ^- y\ x" -4. y'\ xx' + yy%

OU bien, si le temps ^ doit y tigurer :

p = ( -4- F(x« H- y% x" -4- y'S xx' + yy').

On verra de même que l'intégration de l'équation (5) se ramène à l'intégration du système d'équations différentielles

ordinaires :

dx' dx dy' dy dp

— y — y X X i on en tire :

dx dy dx' ^ dy'

dp ^' dp^""' df^~^' df^""'

d'où l'on déduit lés intégrales :

X = A CCS (p H- A), y = A sin (p -+- /:), x' «= A' ces (p -4- A'), y' = A' sin (p -4- h'\

A, A\ A;, A;' étant des constantes arbitraires. Ces dernières nous donnent :

x'-4-y' = 6|, x'* -4- y'* = 6î, xx' -*- yy' = 6s»

arc tg - — p = 64 .

L'intégrale la plus générale de l'équation (5) est, par conséquent : p = arc tg - -4- F^(x* -4- y', x" -4- y'S xx' -♦- yy%

OU bien, si t doit figurer dans l'intégrale,

P = t -4- arc tg - -4- F,;x' -4- y\ x'* -4- y", xx' -4- yy').

( 219 ) Si maintenant nous posons :

ces deux systèmes d'intégrales pourront s'écrire :

ou bien :

Ô = arc ig - 4- Fi(m , r , w?),

t/ ^ s e + arc tg - + Fi(M, t?, ti?) .

tse. Il nous reste maintenant à déterminer quelles sont les intégrales du problème comprises dans les formes (6) et (7). Pour cela, nous devons exprimer que les dérivées totales par rapport à ^sont nulles, en vertu^des équations du mouvement.

Considérons d'abord la première équation (6) :

La condition ^ = 0, nous donne :

Dp dx Dp dy Dp dx' Dp dy ïxdt DyrfT Dx'^^Dy^rfT""

Or, on a :

Dp DP Dm DF Dw dp Dm? DF , DF

Dx Du Dx Dv Dx Dto Dx ^u ^w

de même :