D3 DF DF

^y :^u liw

Dp ^ DP DF

-^ = 2x'— ^ X—, Dx Dv Du?

DP DP DP

-i=:2y'— + y — • Dy Dr Du;

Substituant dans FéqualioD (8), et ayant égard aux équations (1), il vient :

^ W ^ /au? DF / uu\ DF

2ti; 2— — ^- tJ— 4- — = 0,

OU bien, en remplaçant r par sa valeur en fonction de u :

^ DF 2fxii? DF / f* \ DF

Or, l'intégration de cette équation différentielle partielle se ramène à l'intégration du système ordinaire :

du dv dw dF

2fi7 ^tiw tt '

!2fAU7

U* ti»

on en déduit les équations suivantes :

c/F = 0, fiu '^du -*- di? = 0, 2u;du7 = vdu -4- wdf? ,

dont les intégrales sont :

F = C, V ^flU * = c', UV — fl7'=c".

Par suite, la valeur générale de ^ est :

j3=y\i; — ^fiu \ UV — U/*y,

OU bien :

Cette intégrale n'est autre qu'une combinaison de l'intégrale des forces vives et de l'intégrale des aires; par conséquent, elle ne peut former une nouvelle intégrale du problème.

Si nous prenons maintenant la seconde équation (6) :

P=zt -^ F(W, Vf W)y

et si Dous exprimons qirelle est une intégrale, nous trouvons l'équation suivante :

DF ^ /t^ti; DF / /* \ î)F

Pour intégrer cette équation, il faut poser :

rfF ^du

nous concluons de là :

2fiw

W» tt*

du -i

aF = , V — 2fitu * = C|, tiv — ti7*=3Cj,

2tl7

d'où l'on tire :

— du

dF =

2 V Cj -♦- tt(ci-4-2fAU *)

et, en intégrant,

F==— / -^cx.

t/ 2\/ — C2-t-w(ci

2fAw"^)

Par suite, la valeur générale de ^ est :

p=3f — / -^flv — 2^w *, uv — wn.

^ 2 V — Cj-*-w[ci-*-2^w *J

En égalant la fonction arbitraire 9 à zéro, et remplaçant u par r*, on trouve :

/dr —7=; (9)

\ / Cj 2a*

c'est ^équation qui détermine le temps en fonction du rayon vecteur.

Cherchons mainteDant si le problème admet des intégrales de la forme :

p = arc tg - -4- F,(w, t?, to).

La condition ^"=0, nous donne :

Dp dx Dp dy Dp dx' Dp dy* DxdT Dy^ Dx'^ Ty' ~di ~ '

Or, on a :

Dx U Du Du?

Dp X ^ DF, DFi

^y u Du Du?

DP ,DF, DF,

Dx' DV Du?

Dp ,DF, DF,

Tiy' ^ Dr ^ Du;

Par suite, en substituant, et ayant égard aux équations (1) :

xy'-yx' ^ DF, 2f*, , , dF, f , , fiUFi ^ •^ ^ — h2u7 T(xx'-*-yy')— -*- x"-4-y'*— - — =0,

OU bien, en introduisant les quantités u, t;, u; :

Vuv — w^ î)Fi 2/uu) DFi / a \ DF,

u :iu t Dv I i I Du;

La fonction F| est donc déterminée par l'intégration du système ordinaire suivant :

dFi du dv dw

on en tire :

V — 2ftW ' == Ci, UV — M?' = Cj,

du udFf

2tt7 l/ttt) — w^

ou bien :

aF^ = au,

Par suite,

2t/ V ^1** ■*- 2fAtt' — Cj

S = apctg / -4- y<U> — 2ati % tir-tD*l.

^ ^^ ^uy CiU -*- 2fAtt' — Cj

Eu égalant à zéro la fonction arbitraire (pi, et remplaçant u par r^, il vient :

c'est précisément Xéquaiion de la trajectoire. Il est facile de voir que la quatrième intégrale (7) :

p == t H- arc tg - -+- Fi (ti, V, to),

i n*est autre qu'une combinaison des intégrales (9) et (10), et,

I par conséquent, elle ne fournit pas une nouvelle solution du

problème.

Les intégrales (9) et (10), jointes à celle des aires et à celle

des forces vives donnent la solution complète du problème.

j 189. La marche que nous avons suivie est la suivante :

I Après avoir trouvé une intégrale aulre que celle des forces

vives, nous en obtenons une troisième, qui contient le tempsy par la condition que, combinée avec la première, elle donne à l'équation de Poisson la forme = 0; puis, nous trouvons une quatrième' intégrale, ne renfermant pas explicitement le temps, et qui complète la solution, en exprimant que l'équation de Poisson se réduit à 1 = 1.

Il est facile de démontrer que cette marche sera toujours la même, lorsqu'il s'agira du mouvement d'un point dans un plan, ou, plus généralement, toutes les fois que les coordonnées des points du système pe uvent être exprimées en fonction de deux variables indépendantes. Nous allons donc démontrer que, dans le cas d'un tel problème, connaissant l'intégrale des forces vives et une intégrale a, il sera impossible d'en trouver une autre p, distincte des deux premières, ne renfermant pas explicitement le temps, et telle que l'on ait (a, P) = 0; mais, il y en a une autre telle que l'on ait (a, |3] = i. Au contraire, on peut toujours trouver une intégrale renfermant explicitement le temps, et telle que l'on ait (a, P) = 0.

Soient, en effet.

dq^ DH dt Dpi

dt d^i

dt dps

dp, dH dt D^,

les équations différentielles du mouvement.

Soient H = A, l'intégrale des forces vives, et :

une deuxième intégrale. Cherchons s'il existe une troisième

intégrale :

^(?i^9t, Pi,Pt) = P,

qui, combinée avec la seconde 9 = <x, donne à l'équation de Poisson la forme = 0.

En écrivant que la condition (a, (3) «=0 est satisfaite, on a :

^qi ^Pi ^Pi ^i ^g* ^Pi ^P% ^t

en outre, si (3 est une intégrale des équations (11), il vient, en supposant qu'elle ne contienne pas le temps :

* DH Dp ' DH D|3 DH Dp DH Dp

^i Dp, Dpi Dqr, Dqr, Dp, Dp, Dqr,

enfin, l'identité (|3, P) =: 0, nous donne :

Dp Dp Dp Dp Dp Dp Dp Dp — ^— — -—. ___ ^ ___ — — — ^— —~

Dg, Dp, Dpi Dfi D(/, Dp, Dp, D^.^

Si- l'on considère les quantités 5^1 5f-»|f-» ^i comme des inconnues, les équations (12), (15) et (14) seront des équations du premier degré par rapport à ces inconnues, pourvu que, dans l'équation (14), on regarde les coefficients comme égaux aux inconnues elles-mêmes. Ces équations feront connaître les rapports :

Dp ^ Dp Dp Dp Dp ^ Dp

^Pi ' ^qi ^Pt ^q^ ^qi ^i

Or, ces équations seront aussi vérifiées, si l'on remplace les <*érivées J-J-, |£, ^. fj , par les dérivées ,^, |^, ^, |^ ('). Il est, en effet, facile de voir que, par cette transformation, la première équation devient identique, la deuxième exprimera que a est une intégrale des équations (11), cette intégrale ne renfermant pas le temps, et la troisième devient la première (12).

Il résulte de là que les nouvelles quantités ont les mêmes rapports que les premières ; par suite, on a :

Dp Dp Dp Dp

^Pi ^Pi ^i __ ^qt

lia Da "da Da

^Pi ^Pt ^qi ^i

(*) Bien entendu, la substitution ne doit pas être faîte dans les coefficients de réquation (i4). .

De cette suite de rapports égaux on conclut que P doit être une fonction de a, et, par conséquent, Téquation :

(î = const.j

supposée indépendante du temps, ne sera pas une intégrale nouvelle.

189. Le raisonnement que nous venons de faire serait en défaut, si l'une des équations (12), (15) et (14) rentrait dans les autres, c'est-à-dire si ces trois équations se réduisaient à deux. Or, on aurait alors, d'après la théorie des équations du premier degré, des relations de la forme suivante (*) :

^i ^q^ ^qi

DÔ

Dp,

Dpi

Dç,

Dqr,

-i- =M hN — »

Dp, Dp, Tift

M et N étant des fonctions quelconques de Pi, p^^ 9ii Qi-

Or, de ces équations on tire, en les multipliant par dq^, dp^^ dq^, dp^ et ajoutant :

dp e= Mda + N(2H.

Par conséquent, P doit être une fonction de a et de H, c'est* à-dire que cette intégrale (3 doit encore rentrer dans celles que l'on avait déjà.

ISO. Cela posé, observons que le problème ne comporte que

(*) Oa obtient ces équations, en multipliant les équations (12), (13)et(14) respectivement par M, N, — i, et ajoutant. Si les trois équations se réduisent à deux, réquation résultante devra être une identité, et les coefficients devront être nuls séparément.

quatre intégrales distinctes : une qui renferme explicitement le temps, et trois qui ne le renferment pas explicitement. Il y a donc trois intégrales distinctesj et pas davantage, qui sont indé^ pendantes du temps. Or, de ce que nous venons de voir, il résulte que, parmi ces trois intégrales distinctes^ il y en a nécessaire-^ ment qui ne donnent pas (') à Véquation de Poisson la forme identique 0^=0. Mais nous allons voir qu'il y en a nécessaire^ ment une qui donne à Véquation de Poisson la forme 1 =3 1. Soit donc y une des intégrales qui ne donne pas :

(a, r) = o, et soit :

d étant une constante numérique ou non.

Si i est une constante numérique, nous pourrons multiplier ou diviser y par une constante, de façon que Ton ait d«=al, et il est ainsi prouvé qu'il existe une intégrale qui, combinée avec a, donne à Téquation de Poisson la forme 1 = 1.

Si S n'est pas une constante numérique, l'équation :

(r= const.,

est une intégrale indépendante du temps. Cette intégrale est évidemment une fonction des trois intégrales précédentes : en effet, puisqu'il y a seulement trois intégrales distinctes, qui ne renferment pas explicitement le temps, toute intégrale nouvelle ne contenant pas ^ sera une fonction des trois autres. Nous aurons donc :

Ceci établi, posons :

^ sera une intégrale des équations proposées.

(*) Puisque, connaissant Tintégrale des forces vives et une autre a, il n*x en a plus d'autre indépendante du temps qui donne (o^ ^) = 0.

( 228 ) Or, on a :

el, comme (a, A)c=0, il vient :

Si donc nous posons :

celle équation nous permettra de déterminer la forme de la fonction Ç qui, combinée avec l'intégrale a, donne à l'équation de Poisson la forme identique 1 e=. 1, et la proposition est démontrée.

140. Il nous reste à prouver maintenant qu'il existe une intégrale de la forme :

qui, combinée avec a, donne à l'équation de Poisson la forme = 0, c'est-à-dire telle que l'on ait :

Â cet effet, considérons Tune quelconque des intégrales dans lesquelles figure le temps, par exemple :

f = «-+-F(?i, Çî, Piy Pt)f

et combinons cette intégrale e avec a. Nous aurons l'expression (a, e), qui ne renfermera pas le temps.

Or, cette expression (a, e) sera zéro, et le théorème sera démontré, ou une constante numérique, ou une intégrale nouvelle.

Dans ces deux derniers cas, nous pouvons poser :

car, toute intégrale indépendante du temps [c'est le cas pour (a, ;)],

peut être considérée comme une combinaison des trois intégrales a, P, A.

Dans le cas où (a, e) est une constante numérique, la fonction n se réduira à une constante.

Gela posé, nous pouvons ajouter au second membre de l'intégrale e une fonction quelconque de (a, |3, A), et nous formons ainsi une intégrale nouvelle :

ç, = f H- F(qi, qi, p„ Pi) -^ f{x, p, h) = €'¥- f{a, p, A).

Nous aurons évidemment :

Or, on a :

par conséquent,

et, comme (a , P) = 1, il vient :

Or, si Ton détermine la fonction /'par la condition que l'on ait :

on aura :

De l'équalion :

on tire :

Dp df dp

d'où;

on aura donc l'expression de fen fonction de a, p, A, par une quadrature.

Ed adoptant cette expression de /*, l'intégrale e|, combinée avec a, donne à l'expression de Poisson la forme identique 0»>0.

141. Il est facile de vojr qu'il n'existe pas d'intégrale nou* velle, contenant explicitement le temps, qui donne à l'expression de Poisson la forme 1 i=> 1 .

En effet, l'équation :

nous donne, en faisant (a, e^) «i 1, l'équation :

d'où l'on tire l'équation différentielle ordinaire :

f/p df

et, en intégrant,

/'=p-/n(«,p,/Orfp.

On voit donc que l'intégrale qui, combinée avec a, donnerait à l'équation de Poisson la forme 1=>1, est une combinaison des intégrales précédentes : elle est une combinaison de la précédente avec p.

Travaux de Bour.

I4t. Avant d'exposer les travaux de Bour, rappelons le théorème de M. Bertrand (n^ I8t) duquel il résulte que la solution complète d'un problème de mécanique peut être formée de 2n intégrales du genre suivant :

1"* L'intégrale des forces vives a = H ;

2* Une intégrale qui contient le temps P = G — t;

S"" 2n — 2 autres intégrales, indépendantes du temps, a^,

^1 ••• <h^u ^1 é^n^ UQ6 intégrale quelconque indépendante du temps, et autre que celle des forces vives.

Ces diverses intégrales doivent donner, d'après le théorème de M. Bertrand :

la dernière équation pour toutes les valeurs de t égales à 3, 4, ... %% — 2, c'est-à-dire pour t différent de 2.

D'après ce que nous savons, les intégrales «i, oc,, ... a,,.,, doivent satisfaire à l'équalion aux dérivées partielles :

ou bien :

laquelle est aussi vérifiée par (=3 H, et dont la solution la plus générale est donc :

Ç =/ (H, ai, a,, ... a|„,).

Au contraire, pour Ç=G, le premier membre de l'équation (1) se réduit à l'unité, c'est-à-dire que l'on a :

Il est évident, d'après ce que nous venons de voir, que l'équation aux dérivées partielles (1), qui est linéaire, peut remplacer les équations canoniques.

Les travaux de Bour (*) consistent à montrer comment on peut abaisser Pordre de cette équation :

quand on en connaît une ou plusieurs intégrales.

148. Examinons d'abord le cas ou l'on ne connaît que l'intégrale des forces vives :

(*) Mémoires des Savants étrangers, t. XIV.

ISLd.

On se servira de cette intégrale pour éliminer Tane des inconnues, par exemple p», qui sera exprimée en fonction de H, 9i, 9,, ... 9«, pi, p,, ... p^^; il s'ensuit qu'une fonction quelconque de 91, ç,, ... 9», Pi, Ps, ... p., deviendra une fonction de H, 9i, 9,, ... 9„ p,, p,, ... p,^|. C'est ce qui arrivera pour la fonction (.

Or, si nous distinguons par un accent les dérivées prises dans la nouvelle hypothèse, nous aurons :

JÇ

JP»

ip,

iqt

îqr,

Jgr,

D'autre part, si nous remplaçons dans Téquation :

p. par sa valeur, cette équation devient une identité; par conséquent, on a :

dH ^H Dp„

^Pi ^Pn ^Pi

DH DH Dp„ Dgr< Dp„ D(jr,

Donc,

oç

OÇ 3p,

^P< î^Pl ^P« ^qi ^Pi ^n ^

îJ?* î^g. ^Pn ^i ^qi î>p„ ^

Remplaçant dans l'équation (1), il est facile de voir que les termes qui renferment ^ se détruisent deux à deux, et il reste :

dH d'ç dH d'ç DH D'ç dH d'ç

Dç, p, Dpi Dç, " Dç„ Dp„ ;ip„ dq.

Si nous divisons les deux membres par — ~ , et si nous observons que ^ est nulle, puisque les dérivées a£fectéés d'un accent se rapportent à l'expression de ^ ne renfermant plus p», il vient, en vertu des équations (2) :

^^^^H- i?!Li!LH-— =0

c'est-à-dire,

^1 W?/ ^Pi ^Pi HJ Mn

OU bien, en supprimant les accents qui sont devenus inutiles :

^i Vî)?.- î)Pi î)p* î)?./ î>?„ En appliquant les mêmes calculs à l'équation :

(H, G) = i, il vient :

et, en observant que l'on a :

Dp.. Dqf,/ D9„