DT

(il)

Dans la première de ces équations les variables indépendantes sont les q et les q'; proposons-nous de la transformer en prenant pour variables nouvelles les q et les p.

La fonction T étant une fonction homogène du second degré des 9', dont les coefficients dépendent des q^ il résulte de la seconde des équations (11) que les p sont des fonctions homogènes et linéaires des q'.

En vertu de la définition des p, on aura donc k équations de

la forme

Pi «=» w<,

Vi étant une fonction linéaire de Çi, ... 9*.

Si Ton résout ces équalioDS par rapport à 9!, 91».. «91» on obtient k équations de la forme

Kj étant une fonction linéaire de pi, psi ••• P*» ^^^^ "^^ coefficients dépendent des 9.

Observons que, par le changeaient de variables, ^ ne change pas, puisque U, qui renferme seulement 9^, 92, ... 9^, est indépendant de 9^1, 9s,... 9I, et, par suite de pi, Ps, ...pii. Au contraire ~ changera. En effet, T est une fonction de 9^, 9^, ... 9^, 9o 9i»*-*9*9 et par rapport à ces dernières, T est homogène et du second degré; si, au lieu des 9', nous introduisons les p, au moyen des équations linéaires 9| = K^, T deviendra une fonction de 9f, ... 9^, p^ , ... p^^; elle sera homogène et du second degré par rapport aux p, et elle aura changé relativement au-x 9, puisque les coefficients des K„ que nous introduisons à la place des 9', renferment des 9.

Par conséquent, si Ton prend la dérivée partielle de T par rapport à 9. dans la nouvelle hypothèse, cette dérivée ne sera pas la même que dans la première hypothèse.

Pour distinguer, nous désignerons par (|^)i (^) les quotients diS'érentiels de T, considérée comme fonction de9^...9A,Pf,...pii, et par |~^, comme ci-dessus, les quotients différentiels de T, considérée comme fonction de 91, 9^, ... 9^, 9I, 9s, ... 9I; il résulte de ce que nous venons de dire que |~ et l^) auront des valeurs différentes.

Proposons-nous maintenant de trouver par quoi Ton doit remplacer |~ dans les formules (11), lorsque T deviendra fonction de pi,...Pii, 9f,...9A.

Nous avons, en vertu du théorème des fonctions homogènes :

âT