H DH

on obtient l'équation :

y/Dp^DG Dp^DG\ DG^ ^». (4)

-^4 VDç, Dp, dpi HqJ D(jr„ DH

L'équation (3) a les mêmes intégrales que l'équation (1), à l'exception de celle des forces vives H = A, C'est cette équation (3) qu'il faudra intégrer lorsque l'intégrale des forces vives sera seule connue.

144. Supposons ensuite qu'outre l'intégrale des forces vives :

( '^34 ) on connaisse une antre intégrale :

«i=fi(9*» ?«> — ?ni Pi» Pi» —pJ-

Si l'on exprime qu'une fonction :

^ = A(?t> ?«» -9/.» Pl> P«' -Pn)»

donne identiquement (théorème de M. Bertrand) :

nous aurons une équation de la même forme que l'équation (1) :

Cette équation est vérifiée par :

mais elle n'est pas vérifiée par :

puisque l'on a :

Gela résulte du théorème que nous avons énoncé ci-dessus (n"" I4t), en vertu duquel on a :

(a, , a,) = 0, (pour t == 1, 3, 4, ... 2n — 2.)

Or, l'équation (5) étant vérifiée par Ç <» H, on pourra lui faire subir la même transformation qu'à l'équation (1). Il arrivera ainsi que cette opération qui a pour but d'enlever la solution connue ^ == H, conduira à deux équations différentes, suivant que ^ sera égal à G, où à l'une quelconque des autres intégrales de l'équa" tion (5).

Il résultera donc de là que, si l'on prend la deuxième forme.

c'est-à-dire celle qui correspond aux intégrales autres que G, OD aura éiimiDé rintégrale inconnue {^«^G, là seule qui ne vérifie pas l'équation (1).

Pour transformer l'équation (5), on devra opérer comme nous l'avons fait pour transformer l'équation (i), c'est-à-dire que l'on devra remplacer dans (5) 5^, ~-, etc., par les valeurs suivantes :

î)a| D'jc, Oai 3p„ D'aj Daj Dqf;

^9. ^9.- ^P« ^9< î^?< ^Pn ^

DH

I)^, "" Dy, Dp, dqt ^ Dç, D/i, D!^ '

etc.

Nous aurons ainsi :

ip^ 1""^' /JH s'a, OH y«,\ pH J'a, • JH 3'a,\]

^ L I \^i ^P» ^Pi ^J \^n ^Pn ^Pn ^J\

^Pn

Dai DÇ

Dp^ Dp^ ^ /DH DH DH DH

« -^1 Uqr, Dp. Dpi Dgr,/ "^

Or, les termes de la dernière somme se détruisent deux à deux ; en outre, puisque, comme nous l'avons dit précédemment, les

dérivées ^ , |^ sont nulles, les termes qui contiennent ces dérivées sont nuis, et il nous reste l'équation :

/, M^Vf— — — — —

aç

3p, rv (^^ ■''"• ^^ ■''A '*'* ^'"'i

âH i-^, fe. J^r ~ âyi JpT/ "^ JF« 3?!iJ

^Pn

OU bien :

^Pn LA \î>g* î^P* î>P.- ^i / i>9a J

^P» L"^l ^^i ^Pi ^Pi ^J ^nl

Mais, le coefficient de ^ , c'est-à-dire.

est identiquement nul, puisque a^ est une intégrale de Téqualion (3).

Quant au coefficient de |^ , lequel est :

AW.- ^Pi ^Pi ^qJ . î>9n'

il est nul, en vertu de Téquation (3), lorsque C représente une quelconque des quantités :

aa contraire, lorsque Ç«»G, il résulte de Téquation (4), que ce coeiBcient sera égal à — ^.

Par conséquent, dans le cas où ^«=»G, le dernier terme de («4, ç) sera :

;)p^ DH "^ DH

II résulte donc de là que la transformation de l'équation (5) nous conduit à la forme suivante :

1 \^i ^Pi ^Pi ^J

lorsque Ç représente Tune des intégrales :

tandis que, si 2; est égal à G, la transformation nous conduit à la forme :

i v^9i ^Pi ^pi ^i I î)H

En supprimant les accents, ces deux équations deviennent :

1 \^qi ^Pi ^Pi ^qJ pour Ç = a,, «5, ... a„i;

^A^i'iqi ^Pi^il DH'

On trouverait de même que l'intégrale oc, satisfait à l'équation :

^i Idç, Dp, Dp, Dç.j

L'équation (6) est tout à fait semblable à l'équation (1), et elle aura pour intégrales :

qui sont des intégrales du problème, et qui donnent :

L'équation (6) contient deux termes de moins qae l'équation (1); elle a, comme on voit, les mêmes intégrales que l'équation (1), sauf a, et H. Cette équation (6) est déduite de l'équation (5), et l'on voit qu'en éliminant l'intégrale ( «= H, on a aussi éliminé l'intégrale ^^^^G, c'est-à-dire la conjuguée de H.

En résumé donc, l'équation :

est vérifiée par :

Connaissant, outre l'intégrale des forces vives H>=>A, une autre intégrale ai, on cherche à déterminer une équation plus simple que l'équation (1). On détermine une équation, qui est l'équation (6), laquelle a la même forme que l'équation (1), mais qui a deux termes de moins, et qui a pour intégrales :

En d'autres termes, la connaissance de l'intégrale a^ nous permet de déterminer une nouvelle équation à laquelle satisfont les intégrales a,, ... o,^,. La connaissance de «i permet d'éliminer sa conjuguée a,, qui n'est pas une intégrale de l'équation réduite, et la question est ramenée à intégrer une équation plus simple que (1).

145. Soit og une intégrale de l'équation (6). On peut concevoir que l'on complète (théorème de M. Bertrand) la solution du problème au moyen de l'intégrale aj, et d'intégrales a^, a^, ... o^.,, qui, avec Og, forment 2n — 3 intégrales de (6), et telles que l'on ait :

pour t «=> 5, 6, ... 2n — % mais que l'on ait : De plus, on aura :

pour I s= 3, 4, 5, ... 2n — 2, puisque toutes ces intégrales satisfont à réquation (S).

( 239 ) Cela admis, au moyen de Tintégrale :

*i =f(H> 9h 9«» - 9«»Pi>Pî> — Pi-4)' on tire :

P1.-1 = AH, «j , Çi . 9i, ... 9„, Pi, p«, ... p»-«).

Si l'on substitue cette valeur dans a^, et si Ton calcule les coefficients de l'équation :

(«., K) = 0, c'èst-à-dire les dérivées :

qui entrent dans l'équation :

on arrivera à l'équation :

qui a deux termes de moins que l'équation (6) et qui aura pour intégrales :

c'est-à-dire que l'on a éliminé en même temps les intégrales a^ et «4.

L'intégrale a« satisfait à l'équation :

analogue à l'équation (8), mais qui a deux termes de moins. .

L'équation (9) a donc les mêmes intégrales que l'équation (6), sauf (3(| et a^.

I4S. On peut, comme on voit, au moyen de chaque intégrale connue, diminuer de deux unités le nombre des termes, et le nombre des variables. Cette diminution provient de ce que chaque intégrale connue permet d'éliminer sa conjuguée, qui est étrangère à l'équation réduite.

On peut ainsi de proche en proche (du moins en théorie) obtenir une série d'équations analogues à (1), (6), (9), etc., et Ton parvient ainsi à mettre la solution du problème sous la forme de 2n intégrales conjuguées deux à deux :

Oi, Os, ... a„,

telles que l'on ait :

(a, , 6,) = 1 , {Oi , a.,) = G , (a„ 6^) = 0.

149. Voici maintenant comment on doit transformer le^ intégrales du problème, telles qu'elles sont immédiatement obtenues (*), pour obtenir des solutions des équations (1), (6), (9), etc.

Si Ton connaît une intégrale quelconque Pi, indépendante du temps, on peut poser a^ = Ç^^, et rien n'empêche de supposer que les autres intégrales, qui sont inconnues, forment un système du genre de celles dont le théorème de M. Bertrand démontre la possibilité.

On calculera au moyen de l'équation «i «= ^^ les coefficients de l'équation (6) qui a pour intégrales :

Supposons maintenant que l'on connaisse encore une seconde intégrale du problème P„ aussi indépendante du temps; cette intégrale P,, quoiqu'étant une intégrale du problème, peut fort bien n'être pas une intégrale a, et, par conséquent, on ne peut

(*) En général,* les intégrales obtenues par un procédé quelconque ne seront pas des intégrales (x, c*est-à-dire ne seront pas des intégrales telles que Ton ait (a,-, a</) = 0.

pas poser, en général, p, = a,. On ne pourra le faire, comme nous allons le voir, que si l'on a identiquement :

Pour continuer l'abaissement, lorsque l'on connaîtra cette seconde intégrale (3,, on formera la quantité ((3^, P,), et il peut se présenter trois cas :

l"" Si l'on a identiquement {^i, ^,) = 0, on peut poser :

et Ton formera l'équation (9) qui a deux termes de moins que l'équation (6);

2° Si (^1, P,) est une constante numérique que Ton peut toujours supposer égale à l'unité, alors (3, est la conjuguée de Pi, et ne peut pas servir à continuer l'abaissement : en effet, la méthode qui a conduit à Téquation (6) consistait à éliminer de la solution l'intégrale conjuguée de «i, qui est alors étrangère à l'équation réduite;

3" Si (Pn (3ï)=(35 est une fonction de p,, p„ ... p», Vi , 9*, ... y„ cette fonction, égalée à une constante, est une nouvelle intégrale du problème.

On formera les expressions :

(Pi 5 Ps) = p4 » (Pi » P*) = p6> •• >

jusqu'à ce que l'on obtienne une fonction :

(Pi , P*-i) = P* = AH, Pi , Pî, ... P*.-i),

c'est-à-dire qui soit fonction des précédentes et de H. On cherchera alors une fonction :

o (H, Pi, Pi, ... p*«|),

telle que l'on ait :

et l'on trouvera l'équation différentielle partielle linéaire :

Ou vXS ozs

p» — h p* — -H ... -♦- Pa — — = 0.

Dpj Dp» ^pk^i

Cette équation nous permettra de trouver k — 3 intégrales du problème, fonctions de |3|, P,, ... ^«.1 et de H, et dont Tune quelconque peut être prise pour Tintégrale «s* Les autres satisfont à réquation (6), et pourront être employées pour rabaissement de cette équation, de la même manière que les premières ont servi à l'abaissement de (1).

148. Nous avons vu comment au moyen des intégrales qui sont connues, on peut abaisser Tordre de l'équation aux dérivées partielles du problème. Cette ressource épuisée, nous allons voir l'usage que l'on peut faire des équations réduites pour continuer l'intégration.

Si, par exemple, on ne connaît pas d'autre intégrale que a^, on appliquera à l'équation (6) la méthode qui nous a servi à former l'équation (3), c'est-à-dire que l'on éliminera p,i, exprimée en fonction de «,, H, Çi, g,, ... g„, pi, p,, ... p»,.

On opérera de la même manière sur les équations (7) et (8), et Ton aura ainsi :

I W?» ^Pi ^Pi ^qJ D9«-i"" î)ai

DG :}p^„i Da,

Or, il est facile de voir que l'on a :

Da» DH"" DH

En effet, de l'équation :

«i = f(H,Pi,p», -p.-i, în ?j, ... 9„), on tire :

Pi.-i = A«i> Hj Pu P«> - Pn-tj ?i> ?i> ... 9«). Mais , si Ton remplace dans le second membre de cette der-

nière équation a, par sa valeur en fonclion de Pi.Pt, ... p,,, 9i, 9t, ... 9«, H, on obtiendra une identité. En différentiact celte identité par rapport à H, il vient :

[^'équation (15) se réduit donc à la suivante :

"^1 \ ^qi ^Pi ^Pi ^qJ î>9«-i î)H

Nous pouvons encore transformer les équations (3) et (4), en remplaçant la variable p..i en fonction de «i, et l'équation (3) nous donnera deux équations différentes, suivant que ^ sera égal à a,, ou à une autre quelconque des quantités a,, ct^^ ... a^^ {*),

On obtiendra ainsi trois équations analogues à (11), (12) et (14) avec cette différence que p«i et 7„i seront remplacés par Pn et g,, et l'on aura :

^1 vîJÇi ^Pt ^Pi ^qJ ^qn °^ oa, '

^1 \î)9* ^Pi ^Pi ^J ^qn î^H ^

Or, il résulte des raisonnements précédents que l'équation (3) a les mêmes intégrales que (1), sauf H; l'équation (11) a les mêmes intégrales que (6), sauf «i; l'équation (15) a les mêmes intégrales que (3), sauf «i et a,.

L'équation (1) ayant pour intégrales :

H, ai, O^, ... Otin.t9

(*) Dans celte transformation, p««, er^ et a, joueront le même rôle que j9„, H et G dans la transformation de Téquation (5)«

il en résulte que (3) aura pour intégrales :

L'équation (6) ayant pour intégrales : réquation (11) aura pour intégrales :

Enfin, réquation (15) aura pour intégrales :

Les équations (11) et (15) admettent donc toutes les deux pour intégrales a,, a^^ ... «,„.,. Ces fonctions, étant au nombre de 2n — 4, forment la solution complète de chacune de ces équations, et toutes sont des intégrales du problème. Cependant, comme g» est considérée comme constante dans Tintégration de (11), et 9,.| dans l'intégration de (15), il s'ensuit qu'une intégrale de la première, par exemple, ne satisfait pas nécessairement au problème (*).

En d'autres termes, toutes les intégrales du problème :

satisfont aux équations (11) et (15). Mais il n'en résulte pas réciproquement que toute solution de (11) ou de (15) est une intégrale du problème.

En effet, supposons que l'on connaisse :

qui sont des intégrales du problème, et, par conséquent, de (11). Si l'on pose :

j; = é(a3, a4, ... a^,, qf„),

(*) Ainsi, q„=iCon8t, est une intégrale de (ii), et f».| = const. une intégrale de (i5), et ces deux intégrales ne sont pas des solutions du problème.

4^ étant une fonction arbitraire» cette équation ne sera plus une intégrale du problème, et cependant elle sera encore une intégrale de (11).

Il résulte de là que Ton ne peut pas remplacer purement et simplement Téqualion (3) par les équations (11) et (15), puisque ces dernières admettent des solutions étrangères au problème, quoique Ton puisse former leur intégrale générale uniquement avec les intégrales de (1) et (3).

Nous pouvons remarquer que les intégrales du problème sont les seules intégrales communes aux équations (11) et (15).

tâfi. Nous allons maintenant montrer quelle est la marche à suivre pour résoudre la question.

Supposons que Ton connaisse les deux intégrales :

«i==/l(?i> ?«> •••?«> Pn P«» ••?«)•

Résolvons ces deux équations par rapport à p, et p.i, et calculons les coefficients des équations :

2(^^^^).-JL = o, (H)

i \^qi ^Pi ^Pi ^qj ^n

Cela posé, cherchons à intégrer Tune de ces équations.

Soit l^i une intégrale de la première, par exemple; remplaçons Z par ^1 dans la seconde (15). Si le premier membre est identiquement nul, Çi sera une intégrale du problème.

Si le premier membre de (15) n'est pas identiquement nul, soit Zi le résultat de la substitution. Je dis que Z| <= const. sera une nouvelle intégrale de (11). En effet, d'après la théorie des équations différentielles partielles linéaires, Ç^ doit être. de la forme :

Si nous remplaçons Ç par celte valeur dans l'équation (45), nous aurons à remplacer ^, ^, etc., par les valeurs suivantes :

3Çi

3aj

Dp,

5Çi

Daj

iq,

Soj

Dqr.

Daj

Daj

«^^1 *^a«ll-J

Substituant dans le premier membre de (15), il vient :

DÇ

♦ L i\^?< Dpi D/), D7./ DqfJ

i^ai»i L 1 ^^^< ^P< ^P. ^?< ^ «^7a J

Or, tous les coefficients du second membre sont nuls, puisque o^,a^, ... a^,., sont des intégrales de (15), et il vient :

Mais, ^ sera une fonction de «x,, a^, ... a,».,, 9^, puisque 2;i est une fonction de ces quantités. Par suite, ||^ ou Z^ est une intégrale de Téquation (11). Cette intégrale en fournira d*autres, soit par une nouvelle application du théorème, c'est-à-dire en remplaçant dans (15) Ç par Z|, soit par la combinaison de Z^ avec Ç| pour former la fonction de Poisson :

Nous aurons ainsi une série d'intégrales distinctes de Téqua-

tk>n (11), dont le nombre sera limité au plus tard lorsqu'elles formeront la solution complète de (11).

Nous pouvons donc considérer ces intégrales de Téqùation (1 1 ) comme formant un système canonique partiel :

6i, 6„ ..64, c'est-à-dire tel que Ton ait :

(a., 6,.) = i, (Qi, bi,) = 0, (a^, a<,) = 0,

pour des valeurs des indices comprises entre 1 et &, le nombre k pouvant d'ailleurs être égal ou inférieur an — %

Cela posé, si nous remplaçons successivement dans (15), 2; par ai, 6^, a,, 6„ ... a^, 6^, nous obtiendrons des résultats qui seront des fonctions de ces mêmes quantités seulement et de 9.; sans cela, d'après ce que nous venons de voir, ces résultats fourniraient de nouvelles intégrales de (11), ce qui n'est pas possible, puisque nous avons épuisé ce procédé qui nous a fourni les intégrales a^, 6|, ... a^, 6^.

Désignons ces résultats respectivement par A|, B|, A,, Bs, ... Gela posé, je dis qu'il existe 2A; intégrales du problème qui sont des fonctions des variables a et 6, et de 9»; en effet, si nous substituons dans (15) :

Ç = î'(«M f>i, Oi, 62, ...a*, 6*, gr„),

et si nous exprimons que le résultat est nul, il est facile de voir que l'on a :

A, — + Bi — H- ... -t- A* — -«-B^-T-H = 0. (18)

Or, cette équation différentielle partielle admet 2A: intégrales. Ces 2ifc intégrales sont des intégrales du problème : en effet, elles satisfont à l'équation (15); en outre, elles sont des fonctions des variables a et 6 et de 9., donc, elles satisfont aussi à féqua-

tion (11). Ce sont donc des intégrales communes à (11) et (15), et, par conséquent, des intégrales du problème.

t&o. Il est facile de s'assurer que Téqualion (18) a précisément la même forme que les équations (3), (11) et (15), c'està-dire que Ton a (n"" t&t) :

L étant une fonction de a^, a„ ... a^yb^^ 6,, ... 6^ que Ton détermine par une quadrature.

L'équation (18) prend alors la forme suivante :

— — lU- JL = o. (i9)

Cette dernière équation n'admet plus d'intégrale étrangère au problème : elle est, au plus, de l'ordre n — 2, c'est-à*dire du même ordre que les équations (11) et (15). Elle peut être d'un ordre inférieur, suivant la valeur de k, c'est-à-dire que l'intégrale Ci^ étrangère au problème, permettra d'abaisser son degré.

t&t. Proposons-nous maintenant de démontrer que l'on a :