DL DL

DOj ^Ui

à cet effet, nous allons prouver que l'on a :

DA|* DAj D6i Dbi

En différentiant par rapport à g. l'équation :

( il vient :

^ P^Oi DOs Da, Daj\ ^ \D7i D/?; Dpi D9./

^ \^9i ^<in^Pi • ^Pi ^q,fiqJ~'^ \^qi ^^i"" Dp, D7„Dqfj'

Or, Al étant le résultat que Ton obtient en remplaçant ^ par ai dans l'équation (15), il s'ensuit que Ai est définie par Téqualion :

Dqr. Op, Dp, ôqf, Dqf^, Dp», Dp,j D9,., Dç^

Différenliant par rapport à Pi et à 9,, il vient :

D'à, DAi Dp„ D'à, Dp„ D'à,

^^— ^— •^•a ;^^S -^^-^ -^^^ *^^^~ ■ Il ^m ^■— a I —nos • • •

^Pi ^gfiPi ^qi ^pfiPi

^n^9i ^i ^i ^Pi^i ^Pi ^9i^9t

TiOt ^l'p^ Da, 7i^p„

^Pi ^qfiqi ^qi ^i^pi

On obtiendrait de la même manière les dérivées :

^qn^Pi ^n^qi

en opérant sur Téquation qui définit A,, c'est-à-dire sur le résultat de la substitution de a, à la place de C dans l'équation (15).

Substituant dans l'équation (20), on a :

(a,, Aj) = (a,, A|).

En effet, il est facile de voir que, par cette substitution, il ne reste que les premiers termes des dérivées ^^*-, 5^^' ^^^'^ tous les autres termes se détruisant. Ainsi, si nous cherchons d'abord ce qui multiplie une des dérivées secondes de p», par exemple ^^ , nous trouvons dans le premier membre :

Dqf, ^pi Dqf, ;ipi

et dans le second membre les mêmes termes avec les mêmes signes.

Si nous cherchons ensuite le coefficient d'une dérivée première de p., par exemple le coefficient de ^, nous trouverons que ce coefficient est, en faisani passer tous les termes dans le premier membre :

Or, cette expression est précisément la dérivée par rapport à p^ de (ai, a,) : cette somme est donc nulle, puisque (a^, a,) est identiquement nulle. Par suite, l'équation (20) se réduit à :

(flo A,)=(a„ A|). (2i)

Mais, A, étant une fonction de ai, 6 , ... a^, 6^, ç», on a :

puisque tous les coefficients sont nuls, excepté (a^, 6^) qui est égal à l'unité (n"" 149).

De même, on a :

(««. A,) = — ; par conséquent, l'équation (21) nous donne :

DÂg ()A|

On aurait de même :

le signe — provenant de ce que, si l'on a (a^, 6|)«=1, on a (6i»«i) = — 1.

t&9. Remarque. — Nous avons supposé que les variables a et b formaient un système canonique; mais, ce système peut être incomplet. Si la variable a^y par exemple, n'a pas de con-

juguée, c'est-à-dire si l'on s'élait trouvé arrêté avant d'obtenir 6«, on aurait pour tout indice t, compris entre 1 et A: — 1 :

On en déduirait, par la méthode qui précède :

c'est-à-dire que Â^ serait une fonction de a^ et de 9. seulement. L'équation (19) devient alors :

et l'on en obtiendrait une intégrale en intégrant l'équation du premier ordre :

t&8. Quand on connaîtra la moitié des intégrales du problème, les équations telles que (11) et (15) deviendront illusoires. Il ne nous restera plus alors à trouver que des intégrales conjuguées, lesquelles seront données par les équations (4), (12), (14), (16), (17), etc., qui se réduisent à :

Les sommes ont disparu, puisque la connaissance de n — 1 intégrales autres que celle des forces vives a fait disparaître successivement un nombre de termes égal à 2(« — l)=2n— 2.

Des équations qui précèdent, on tire :

c/aj = — — rfgr, -t- — dq^ + ...+ dqj ,

expression qui est une différentielle exacte.

^Pn

Î)G Dp.|

On peut donc calculer les intégrales conjuguées par les équations suivantes :

Mais, ces équations peuvent être mises sous une forme plus simple; en effet, nous avons supposé idenliquement nulles les quantités telles que :

qui résultent de la combinaison deux à deux des intégrales «it «31 «8» — «j«-8. Or, M. Liouville a démontré (n° ift) que, dans ces conditions, l'expression :

est toujours la différentielle exacte d'une fonction de 7i,qfj, ... q^Ç). Donc, en désignant par Y celle intégrale, on pourra écrire les intégrales (22) sous la forme suivante :

DV DV ^ DV

t&â. Remarque I. — Ce résultat est d'ailleurs conforme au théorème de M. Liouville (n"" 78). En effet, d'après ce théorème, on sait que, connaissant la moitié des intégrales du problème, satisfaisant à la condition (a^, a.,) = 0, on peut tirer des intégrales connues les valeurs de p^, pj, ... p,; la quantité :

est la différentielle exacte d'une fonction Y.

(*) En effet, «i, a, , a,, ... a^-zy H forment la moitié des intégrales du problème.

Les intégrales qui complètent la solution du problème sont alors données par les équations :