V__ DV ^ G
1&&. Remarque IL — Nous avons supposé jusqu'ici que le principe des forces vives était applicable, c'est-à-dire que la quantité H ne renfermait pas explicitement le temps : c'est ce que Bour avait supposé dans son mémoire. Mais M. Liouville f ) a fait remarquer que la théorie de Bour s'étend au cas où l'on considère les équations canoniques, abstraction faite de la dynamique, c'est-à-dire lorsque H est une fonction de t, 91, q^^ ... 9,,
Pi y Pu ••• Pu»
En effet, l'équation qui exprime que a est une intégrale des équations canoniques, c'est-à-dire que la dérivée totale ^ est nulle, en vertu des équations canoniques, est :
Or, cette équation a précisément la même forme que les équations (3), (H), (i 6), (19), ...
Toutes les équations sont ramenées à un type uniforme, H et t jouent ici le même rôle que deux variables conjuguées p„ g,.
Si H est indépendant du temps t, le problème admet pour intégrale H => const.j de même qu'il admettrait pour intégrale P( = consLj si H était indépendant de 9,.
(*) Journal de LiouvWe, t. XX, p. 456; Rapport de M, Liouville.
Variation des constantes arbitraires dans les problèmes
de mécanique.
t&e. Supposons que la fonction H puisse élre décomposée en deux fonctions Hi et Q, de sorte que les équations à intégrer :
dqi
dt
DH
dpi
dt
DH
deviennent :
dqi dt
DH
^Pi
Dn
dpi dt
DH, Dqf,.
Dû Dqfj
Supposons
que les équations cano
inîc
dqi dt
DH
^Pi
dpi dl
DH
Dy,.
puissent être intégrées, et soient a^, a,, ... a^^, les constantes d'intégration, telles que Ton ait :
La fonction Q est, en général, très petite par rapport à Hi : on rappelle fonction perturbatrice. Les équations (2) s'appellent les équations du mouvement troublé; les équations (3) sont les équations du mouvement non troublé. Dans la plupart des cas, la fonction Q ne dépend que des positions des points mobiles, c'est-à-dire des variables 90 ^^^ ^^^ indépendante des p,.
Nous considérerons le cas général où la fonction Q dépend des P(y Çi et de L
Nons supposerons que les intégrales des équations (2) aient la même forme (4) que les intégrales des équations (3); mais nous supposerons que les a, qui étaient constantes dans les intégrales des équations (3), c'est-à-dire dans le mouvement non troublé, deviennent des fonctions de t dans les intégrales du mouvement troublé (2). Ainsi, d'après cela, les dérivées de p,, q^ par rapport à /, en considérant les a, comme des constantes, satisfont aux équations (3), tandis que les dérivées, prises en considérant les a, comme. des fonctions de ^ satisfont aux équations (2).
t&7. Nous nous proposons de déterminer à quelles fonctions de iil faut égaler les a, pour satisfaire aux équations (2).
Nous allons d*abord démontrer une formule due à Lagrange et dont nous aurons à faire usage.
Des 2n équations (4) :
on tire :
Mais, les équations (2) nous donnent :
^MMi^ S^S ^MMNMB «■«■M B^HH^ •
i^Pi dt Dp,. .
D'ailleurs, des équations (5) on tire, en considérant les a^ comme des variables, fonctions de t :
par suite,
rfe "^ Df "*" -^ lion dt '
î)û D^,. ^ Tiq^ dak DH|
Dp, n ^^o^k dt Dp,
Or, ^ est la dérivée de 9, par rapport à t^ que Ton obtiendrait en considérant les a, comme des constantes : c'est donc la dérivée de qt qui satisfait aux équations (3), et Ton a, par conséquent, en ayant égard à ces équations (3) :
de même,
Dpj ^ Dttji dt
Dû ^ ^Pi doLk
"bqi ^ "boLn dt
D*ai!leurs, puisque Q est une fonction desp<, 9^ lesquelles sont des fonctions des a„ on a :
Dû ^ (7^0. Dp,. Da DçA Da ^ \D», ':ioL TiOf Da /'
Dû Dû
d*où, en remplaçant ^, ^ par leurs valeurs, il vient :
Dpr dqi
Dflt ^ ^^ xDa^ Da D»x* ^ol I dt
et, en posant (n"" tio) :
r^ al « ^ (^" ^' — ^' ^'], ^ XDa^ Da 'bait Da /
on a la formule :
C'est la formule de Lagrange : le signe S se rapporte à l'indice &, tandis que a est un élément déterminé.
t&8. Propriété. — Il est facile de démontrer que VexpreS' sion [a^i, a] est une fonction des éléments seulement, c'est^à'dire qu'elle ne renferme pas explicitement le temps.
( 257 ) On a donc à démontrer que' l'on a :
D[ai, a]
dt
A cet effet, reprenons l'expression :
Dp, Dqfj Dpî D^i
idoCjt da Dkj^ Dot
da^ Da
Da^ DâC /
On a évidemment :
\ Da* oa^
Da
Dr/, Dr/,
Da*
par conséquent,
^[ak^ a] ït
Do„\ 1
D* (p, ;^' -*- pî ;^' -I- ... ^ p„ —j
DÇi
Da»
DaD(
Pn
Da
Da.Df
On a d'ailleurs :
Dqr.
^< De
DH
DH
dqt
( 258 ) par suite,
Dpi Dp, Dp„
= P« -— -+- Pi -T— -*- - ■+" P«-r~"
\D^, Da* Dqf, Da^ ^„ DatJ
DHi DHi dtii
Dp, Dp, Dp„
/DHi î)pi ^H, Dp, DHi ^Vn\
\bpi D«4 ^p<i :iat ^p„ ^aj
/DH, :ip, DHt Dp, DHt DpA
\^Pi Da* D/ï, D«4 iip„ Da^/
DHi ^7i î)H, D^,
,D^, Da* Dy, Da*
