PI

dq, dt "*

Comme, dans ces dernières équations, il est évident que p et 9 sont les variables, on peut supprimer les parenthèses et écrire ces équations sous la forme suivante :

dp, dt

DH DÇi

dÇi

dans lesquelles H = T — U.

On à autant d*équations semblables à celles-ci quil y a de variables p et 9.

C'est Hamilton qui a donné la forme (13) aux équations du

mouvement ('). Elles s'appellent les équations canoniques du mouvementf ou système hamiltonien,

La fonction H =» T-^ U a reçu de Jacobi le nom de fonction caractéristique (**). *

te. Remarque. — Il est facile de retrouver m moyen des équations (13) le principe des forces vives. En effet, il résulte de ces équations (13) que la fonction H reste constante pendant toute la durée du mouvement.

Pour démontrer cette propriété, il suffit de prouver que Ton a t

Or^ la fonction H étant, par hypothèse, une fonction de 9i9 ••• 9i9 Pu ••• Pkf qui 06 renferme pas explicitement le temps (**'), on a:

dH ^ /DH dq^ m dpA

dt^ ^ [diji dt Dp) Itl

Mais, si Ton multiplie les équations (13) respectivement par ^ et ^', et si l'oir retranche, il vient :

dH dpi dH dqi ^

Dp< dt DÇi dt

Donc, en faisant la somme pour toutes les valeurs de t depuis t >» 1, jusque t &» fc, on a :

^ \Dqf, dt "*" Dp, dt I ■

et, par suite,

(*) On a gênerai tnethod in dynamia (Pbilosophical Transactions, 1834 et 1835); Jacobi, Vortesungen ûber Dynamik,

{**) Vortesungen ûber Dynamik, p. 70.

{***) Ed effet, la fonction de force U ne renfermant pas, par hypothèse, explicitement le temps , il en est de même de la fonction H = T — U.

Par conséquent, on a :

H = consL

pendant (oute la durée du mouvement.

D'ailleurs, on a posé :

par conséquent, l'équation H <= const. nous donne :

T — U c=To — Uo,

T-To=U — Uo,

riodice indiquant que Ton a fait (= /q ^^^^ 1* ^^ U.

Or, T est la demi-somme des forces vives du système, et U la fonction de force : il en résulte que la dernière formule n'est autre que l'expression du théorème des forces vives.

19. Remarque. — Puisque Ton a H = const. pendant toute la durée du mouvement, on en conclut que Téquation

H «=s const.

est une intégrale des équations canoniques {*) (13).

18. Dans le cas où il n*y a pas de fonction de force, on doit remplacer |^ dans les équations (11) par l'expression

^Xi Dy,- D^,.

^^ iq. iq. ^.1

et alors les équations (13) seront remplacées par les suivantes :

dq, 3T 1

dt ip,

(U Df^

(*) On appelle intégrale des équations canoniques une équation telle que Casa, jouissant de cette propriété que Ton a identiquement ^ r= 0, en vertu des équations canoniques.

19. Les équations canoniques (15) sont au nombre de 2k\ ce sont des équations différentielles ordinaires. La fonction H ne renferme pas explicitement le temps. Cesl la forme à laquelle ou peut ramener les équations d'un problème de mécanique auquel le principe des forces vives est applicable. En les intégrant, on obtient 2A: intégrales distinctes, contenant 2A: constantes arbitraires. Ces ik équations serviront à déterminer p^^pj» *•• P*9 9i9 93« •*• Qk^ ^n fonction de t et des 2k constantes arbitraires.

to. Application, -r- Proposons-nous d'appliquer les équations (13) au cas où les variables qi, q^^ ... q^, sont précisément les coordonnées x,, j/iy r,, ce qui arrivera lorsqu'il n'y aura pas d'équations de liaisons. Le système est alors nn système de n points matériels entièrement libres.

Dans ce cas, on a :

On en tire :

DT DT

D^; DxJ

d'autre part,

DT DT

D7. Dj,

ZV DU Dç, Da*/

DT DT

Dp< D(w,x;)

Par suite, on a :

DH DU D9, Dx<'

Dp,

( i9 ) et les équations (13) nous donnent :

dimtx't) ^ DU dt ^Xi

dxt

dx'i . DU tw, —- = — »

dt Dx,

dxi

■rfT

Or, de ces deux dernières on tire :

J?Xi DU

de même, on a :

d^Vi DU dt* D^.

(fie, DU

dt* Dz.

On retrouve donc ainsi les équations ordinaires du mouvement du point 9iij libre.

Méthode de M. Emile Mathieu.

tfl. On peut obtenir les équations d*Hamilton sans faire usage des équations de Lagrange. La méthode directe que nous allons faire connaître est due à M. Emile Mathieu (').

Reprenons l'équation

(d*Xi

à^Vi

(*) Journal de Liouville, 2' série, t. XIX.

en supposant qu'il existe une fonction de force U, et soient

les équations qui expriment les liaisons du système.

Supposons que ces équations, ainsi que la fonction de force U, ne renferment pas explicitement le temps t, et posons, comme précédemment :

It"^^'' rfr""^" rf7""^'' nous aurons pour Texpression de la demi-force vive :

et réquation (1) devient :

Or, de réquation (5) on tire :

Cette même équation (5) nous donne aussi :

En soustrayant ces deux dernières équations, il vient :

par suite, on a :

- 2'"' \-^ '^•^' •*■ ^ ^y* + ^ to,) = «• - jD,

OU bien, en posant T — U <= H,

Si mainteDant nous représentons les coordonnées x^, y,, z, par la lettre Q affectée des indices 1, 2, 5, ... 3n, et les quantités m,-x<, m.y), fTi.zl, correspondantes par la lettre P affectée des mêmes indices, la dernière équation devient :

H Pî — r- -4- ... -4- Pj» — r

di dt dt

Or, au moyen des m équations (2), on peut réduire le nombre des variables Q à 3n — m; en d'autres termes, on peut exprimer les Zn variables Q en fonction de 3n — m nouvelles variables, de telle. manière que les équations (2) soient identiquement satisfaites.

Désignons par gi, gj, ... q^ ces 3n — m=k nouvelles variables, et choisissons des variables p., en même temps que les g^, et qui satisfassent à Téquation :

Si Ton prend les variations virtuelles égales à celles que subissent effectivement les variables q^ et Q; pendant le temps di^ ce que Ton peut faire, puisque nous avons supposé que les liaisons et la fonction U ne renferment pas explicitement le temps, réquation (5) nous donne :

et réquation (4) devient :

• / ^9i dqk\ à ^

FfTecluaiit les opérations indiquées, et sapprimaDl ui se détruisent :

existe aucune équation de condition entre les nouiles, nous aurons, en égalant les coellBcieats des lions dans les deux membres, les équations suivantes leSit:

içant SH par sa valeur, il vient

iq,-t + — Stl, ■* J», -*- ■

dq, dt

dp, dl"

éqwttiom d'Hamitton.

ans ntaintenanl à la détermination des variables p. ion (S) les variations Sq sont indépendantes; cette us donne donc pour la définition de />, la formule

3q, iq, 3^,

3urs de $ égales à 1 , 2, ... k.

mule (9} nous permet de passer des variables de ^) i celles de l'équation (7) ou des équations (8). s avons égard aux significations particulières des P tte équation (9) nous donne :

2( .ix, .iy, .ix\ '

Or, en désignant par q\^ 9^, ... q\^ les dérivées de ?{ , 9<i, ... qi, par rapport à /, on a, en observant que les équations de condition ne renferment pas explicitement le temps :

dloù :

de même.