P: Q=AE : AB

Ce qui prouve que la direction AD de la résultante est la diagonale d'un parallélogramme dont les côtés sont proportionnels aux forces données.

4o. Les corollaires de cette proposition, ainsi que les théorèmes et les problêmes qui la suivent, étant exposés avec autant de clarté que de rigueur dans le traité élémentaire de Monge, j'ai dû borner à ce qui précède les modifications auxquelles je me suis permis de soumettre cet excellent ouvrage.

Au lieu de suivre la marche que nous venons de tracer, en passant de la théorie générale des forces parallèles à celle des forces concourantes, on pourrait adopter une marche inverse, qui serait peut-être

plus naturelle, et déduire des théorèmes 3 et 4» une démonstration générale du parallélogramme des forces, qui servirait ensuite de base â toutes les propositions relatives aux forces parallèles inégales.

Supposons donc les théorèmes 5 et 4 démontrés, ainsi qu'on Ta vu (§§ 20, 24)- Après l'exposition des deux corollaires qui se lient à la dernière de ces propositions, nous poursuivrons de la manière suivante:

COROLLAIEE V 4 1 • 11 est clair que la réciproque de cette proposition (§ a6), a également lieu, c'est-à-dire que l'on peut toujours remplacer une force unique P, appliquée au point A y par un nombre m de forces^?, éga- pig. ^6.

les chacune à — , pourvu que ces dernières soient

distribuées également le long d'une droite arbitrante J8C, telle que le point A soit situé en son milieu , et que les points EetF^ D et G, etc, se trouvent disposés deux à deux à des distances égales de ce même point A.

43. Deux forces parallèles mP et P, appliquées aux extrémités A^ P, d*une même droite supposée Fig. a 7. inflexible^ ont pour résultante une force iî, égale à leur somme (m-i-i) P, et dont la direction leur est parallèle.

Divisons en effet lai droite d'aippïicatiori au point Jî, de manière qu'oni ait:

A F : HFr^^rh-^i î 2;

nous aurons évidemment:

AF—HF : HF=m—\ : i;

oixJlH:HF='!^^:i.

Prenons à gauche du point jâ sur le prolongement de ^Pf une longueur Alr^AH-^ nous aurons /ffzr ilAH^ et à cause de la dernière proportion:

IH : HF=m -- 1 : i.

d'où

IffH-HF ou IF : HF=m : i.

Partageant IF en m parties égales aux points a, A,

Cjdj H^ et appliquant à tous les points de

division une force égale a Py il est clair que toutes les forces P distribuées de / en Hj au nombre de m, produiront le même Qflet que la force unique m P. Le système des deux forces données mP et P sera donc ramené à celui d'un nombre mn-i de forces partielles, égales chacune a P; or la résultante de ce système est égale â la somme des forces ou à (/»-»- i)jp, et suit une direction parallèle â celle de ces forces. Donc aussi la résultante des deux forcer proposées mP et P est égale à leur somme (w-f-i) P, et agit suivant une direction qui leur est parallèle. .

Fig. ag. 43. *Sï les deuxjorçes P, mP, au lieu d'être pa-rallèlesj agissent suivant des directions concourant» tes en un même point A^ leur résultante suivra la direction de la diagonale d'un parallélogramme ABCD construit sur les directions des deux forces^

et tel que les côtés contigus AB^ AD^ set\>nt entre eux dans le rapport des forces y ou comme m estai.

Pour démontrer cette proposition, nous examinerons d'abord les cas particuliers où m est successivement égal â a, 3, etc.^ et nous passerons ensuite au cas général.

Soient donc deux forces a P, P, agissant sur le même point A-y je dis que leur résultante suivra la Fig. ag» direction de la diagonale d'un parallélogramme ABCD construit sur les directions des forces données, et dont les côtés contigus AB^ ADy seront entre eux dans le rapport des forces proposées, ou comme sk est à I •

On peut en effet substituer à l'action de la force 2P, celle de deux forces P, dont les points d'application DyE^ soient situés à égales distances du point Ay et dont les directions soient parallèles à celle de la force a P. Or les deux forces P qui concourent au point jF, ont pour résultante une force r, qui partage l'angle E en deux parties égales. Le sjrstême des deux forces données peut donc être rempla- • ce par celui de la force r, et de la seconde composante qui est appliquée au point D. Les directions de ces deux dernières forces se coupant au point C, il est clair que leur résultante devra passer par ce même point: Mais cette résultante étant la même que celle des deux forces P et 2 P, qui pasfe évidemment par le point A^ il s'ensuit que sa direction de-

vra pa$ser à la fois par les points A et C, ou se confondre avec la droite AC.

Menant du point C la droite CB parallèle à AD^ la ligne AC deviendra la diagonale d'un parallélogramme ABCD^ dans lequel on aura :^jSz:/?C Mais les angles DCE et CEP étant égaux comme alternes internes^ et ce dernier étant égal à Tangle CED^ on eoit que le triangle EDC est isocèle, et que par conséquent DCznDEzizzAD. Donc puisque ABzzi -DCj on a aussi ABzzi^ AD^ c'est-à-dire que les côtés contigus AB et AD sont entre eux comme a est à I, ou dans le rapport des forces données aP et P.

Concevons actuellement que ces deux mêmes forces 2 P et Pj au lieu de concourir au point^^, Fig. 3o. aient des directions parallèles, et proposons nous de déterminer la position de leur résultante.

Si de chaque côté de la droite d'application Af prolongée indéfiniment, on applique une force égale à P, \l est clair que Tintroduction de ces deux nouvelles forces ne changera rien au système, puisqu'étant égales pntre elles et directement opposées, elles se feront équilibre.

Or la résultante r des deux forces égales â JP, qui agissent au point jP, partagera l'angle PEP^eï\ deux parties égalés. Dé plus la résultante r' des forces P et '2 P qui agissent au point Ay suit la direction de la diagonale d'un parallélogramme ABCDy dont les côtés ^5 et AD sont entre eux comme a est à i. Le système des quatre forces données sera donc ra-

mené à celui des deux résultantes partielles r et r qui concourent au point G. La résultante de ce système, ou ce qui est la même chose^ la résultante R des forces primitives P et 2 P, passera donc par le point G. nMais nous savons (§ 4^) que cette résultante est égale à la somme des forces ou à 3 P, et qu^elle agit suivant une direction parallèle à celle de ces forces. Elle agira donc suivant QR menée parallèlement à FP.

Comme cette direction GR serait parfaitement déterminée, si on connaissait la position du point E, dans lequel elle coupe la droite d'application AF^ c'est de la détermination de ce point qu'il nous reste â nous ocouper. Le triangle GEF étant isocèle à cause ans angles EGF et EFG qui sont égaux, on aura EG = EF. Mais les triangles JCBeiGJE sont évidemment semblables, puisque tous leurs angles sont égaux: donc on a:

JF : EG=CB : AB ou =ï : a, ou à cause de FGznEF^

AE : EF=:i : 2.

Donc AE est éo^ale à la moitié de EF. ou au tiers

de AF'j ce qui prouve que le* point E divise la droite d'application en deux parties AEj EF^ qui sont entre elles dans le rapport inverse des forces données aP et P.

Passant au cas ou deux forces concourantes 3 P Fig.3u et P agissent sur le même point A^ nous remarquerons que suivant ce qui vient d'être démontré,

la force 5 P peut être remplacée par deux forces pa- ^ralléles 2 P et P, dont les points d'application soient situés à des distances arbitraires AD, AEp telles que la première soit moitié de la seconde.

Trouver la résultante des deux forces P et 5 P, sera donc la même chose que trouver la résultante des trois forces P, 2 P et P. La i*" et la S"*** pouvant être considérées comme agissant au point £*, leur résultante r divise Tanglc PEP en deux parties égales. Il ne reste donc plus à déterminer que la résultante des deux forces r et a P, Mais ces forces concourant en un point C, leur résultante devra passer par ce même point. Elle passera de plus par le point A^ puisqu'elle est résultante du système. Donc elle suivra la direction AC. Menant CB et CD respectivement parallèles aux directions des forces P et 3 P, on formera le parallélogramme ABCD, dont le côté AB ou CD est égal a ED^ à cause du triangle isocèle ECD. AE étant le double déAD^ ED sera évidemment égal â 3 AD\ donc AB qui est égal à EDy est aussi triple de ÀD^ c'est-à-dire que les côtés AB ti AD sont entre eux dans le rapport des forces données 5 P et P, C. Q. F. Z>.

On ferait voir avec la même facilité que précédem- JFig. 3a. ment, que dans le cas où les deux forces 3 P et P, au lieu de concourir en un même point, seraient parallèles, leur résultante, égale à leur somme 4 P, ^^ dirigée parallèlement â leurs directions, passerait par un point E de la droite d'application^ tel que

EF serait t^^gal â 5 AE^ ou que AE ierait le quart AtAF.

Passant de lâ â la considération des forces concourantes F et i Py on décomposerait celte derniè- Fig. 33. re en deux forces parallèles 3 jP et P, appliquées â des points D et E situés à des distances AD^ AEj telles que la l*^ serait égale au tiers de la seconde, ou que AD serait égale â j DE. La résultante r des deux forces P, qui concourent au point E^ partageant l'angle FEP en deux parties égales, et ren- * contrant au point C la direction de la force 3 P, on en conclurait que la résultante générale du système doit passer par ce point C, et comme elle doit également passer par le point Aj il s'ensuivrait que sa direction se confondrait avec la diagonale AC du parallélogramme ADCB. DC ou AB étant égal â DE^ et celle-ci étant le quadruple de AD^ on en déduirait que les côtés AD et AB du parallélogramme dont la diagonale représenterait la direction de la résultante, seraient encore entre eux dans le rapport des forces proposées Pet 4P, et ainsi de suite pour les divers multiples de la force P.

Mais pour ne point livrer â la seule induction une proposition aussi importante, je supposerai que le théorème qu'il s'agit de démontrer a lieu pour les forces Pet (m — i) P, et je démontrerai qu'il aura également lieu pour les forces PetmP.

Admettons donc que les forces P et (m — i) P, Fig.34. aient leur résultante dirigée suivant la diagonale AC

du parallélogramme ABCD construit sur les directions des forces, et tel que les côtés AB et jiD soient entre eux dans le rapport de ces forces, ou comme m — i est à i.

Supposons que ces forces deviennent parallèles, et soient appliquées aux extrémités A^ F^ d'une mê- Fig- 35. me droite inflexible. Nous introduirons sur le prolongement de AF^ et dans des directions opposées, deux forces égales â P, qui se faisant équilibre entre elles, n'altéreront en rien le système des forces données. Composant, ainsi que nous l'avons fait précédemment, les deux forces P, qui agissent au point F^ nous tracerons la direction de leur résultante r, en divisant l'angle PEP en deux parties égales. Pour construire la direction de la résultante r des deux forces restantes P et {m — i) P, qu'on peut regarder comme appliquées au point A^ nous formerons le parallélogramme ABCD^ dont les côtés AD et AB soient entre eux comme i est à /w*-i: La diagonale de ce parallélogramme, suivant laquelle est dirigée. la résultante r', rencontrant en G la direction de la résultante r , nous mènerons par ce point la ligne QE parallèle aux directions des forces données, et nous obtiendrons ainsi la direction de la résultante générale du système, qui est en même temps celle des deux forces (w— i) P et P,

La position du point E d'application de cette ré« sultan te nous sera donnée par la comparaison des

triangles semblables GAE et ACB, qui donnent la proportion:

JE : EG—CB : AB=i : m-i ; mais dans le triangle isocèle GEF, on a :

EG—EF: doue

JE : EF—l : m-i ,

ou bien JE-*-EF: AEz=jn : i;

à'oùJE = --.

m La résultante cherchée étant d'ailleurs (^^42)^gale a mPy on en déduit qu'une force mP peut toujours être remplacée par deux forces parallèles .(/w— i) P et P, agissant à des distances du point d'application de la force mP, qui sont entre elles dans le rapport inverse des composantes, ou comme i est à m— i.

Cela posé, en considérant le système des deuxFig. 36, forces concourantes P etm P^ on remplacera cette dernière par les deux forces (m— i) P et P, agissant aux points D et j?, tels que les distances ^Z> et AE soient entre elles dans le rapport de i à m— i.

La résultante des deux forces P, qu'on peut regarder comme agissant au point j?, partageant l'angle PUP en deux parties égales, rencontre la direction de la force. (/r^—i) P au point C, qui appartieut conséquemment à la résultante générale du système* Or cette résultante passe également parle point ^;donc elle suit la direction AC. Menant CB et CD respectivement parallèles aux directions des forces données, on formera le parallélogramme ABCD^ dans

lequel on aura AB=.CDz=iEDy a cause du triangle isocèle EDCj mais de JD : AEzui : /»— i, on déduit: AD : EDzni : m : Donc on a aussi:

AD : AB=.i : m, Cest-â-dire que la direction ^Cde la résultante se confond encore avec la diagonale dun paralIcIo<^ ^ gramme construit sur les directions des forces, et dont les côtés sont proportionnels aux grandeurs de ces forces.

Ayant ainsi démontré que si la proposition dont il s'agit est vraie pour les forces P et (nt^i) P, elle l'est également pour les forces P et /wP, il s'ensuit qu'elle a généralement lieu, quelque soit m; car nous avons fait voir qu'elle a lieu, par exemple, pour les forces P et a P, ou P et 5 P5 donc elle a lieu pour P et 4^i dope elle a encot-e lieu pour Pet 5 P, pour P et 6 P, et ainsi de suite.

Fie. 37. 44- Deux forces m P et n P^ agissant dans un même plan, suivant des directions qui forment entre elles un angle quelconque, ont leur résultante R dirigée suivant la diagonale d'un parallélogramme ABCD construit sur les directions de ces Jorces^ et dont les côtés AB et AD sont entre eux dans le rapport de cesjorces^ ou comme n est à m.

Démonstration. Nous pouvons d'après ce qui précède, substituer à la force n P, deux forces parallèles Pet (/i— i) P, agissant aux points E^ Z>, tels

que les distances AE^ AD^ soient liées entre elles par la proportion:

AE : ADzzm'-i : !•*.».. {a).

Le système des deux forces données sera ainsi ramené à celui des trois forces m P, P, et (/z— i) P. Pour déterminer la direction de la résultante des deux premières, nous construirons sur leurs directions un parallélogramme EAFG^ tel que Ton ait :

EG ou JF : AEzui : m.

£n traçant la diagonale EF^ nous aurons la direction de la résultante r des deux forces m P et P, et il ne restera plus à déterminer que la résultante R des deux forces r et (/i— i) P, qui sera la résultante générale du système, ou ce qui revient au même, Celle des deux forces données m P et n P.

Les directions des forces (/î— i) P et r, se coupant au point C, il est clair que ce point appartiendra à la direction de leur résultante; mais cette résultante doit passer par le point -^j donc elle suivra la direction AC.

Menons CB et CD respectivement parallèles aux directions des forces^ don nées, et formons ainsi le parallélogramme ABCD: la comparaison des triangles semblables CFB et AFE donnera

FB : BC ou AD=lAF : AE, d'où Ton déduira:

FB-^AF : AD'hAE=AF : AE,

ou AB : DEzzzi: m (à)

Mais la proportion (a) donne

JE-i-AD : AIh=zn: i, ou DE : JDinn : i {c).

Multipliant les deux proportions {b) et {c) terme à terme, il vient

AB : ADzizn : /n;

C'est-à-dire que les côtés du parallélogramme ABCD dont la diagonale représente la direction de la résul* tante des forces proposées nPetmPy sont entre eux dans le rapport de ces Forces, ou comme n est â m, C. Q. F. D.

LËMME.

45. Si deux forces P,Qy dont les directions con^ Fîg. 38. courent en uji même point A^ ont leur résultante dirigée suivant AR^ et qu'on ajoute à l'une d'elles y à Q par exemple^ l'action d'une nouvelle force q dirigée dans le même sens^ la résultante rdes deuac forces P et Q-^q^ sera située au dessous de la fésultante R des forces primitis^es P et Q,

Démonstration: £n effet la résultante des deux forces jP et Q-^q^ étant évidemment la même que celle des forces R et q^ devra nécessairement exercer son action dans l'angle RAQ formé par les directions de ces dernières. Donc elle sera dirigée suivant une droite située au dessous de AR.

On démontrerait de la même manière que la ré- Fiff. 39. sultante r des deux forces P-^p et Ç,' serait située au dessus de la résultante des forces P et Q.

THEOREME 6.

46. Deux forces concourantes quelconques P^Q^ agissant dans un même plan ^ ont leur résultante Fig. 4o. R dirigée suivant la diagonale d'un parallélogramme ABCD construit sur les directions de ces forces^ et dont les côtés ABj AD, sont proportionnels à ces forces.

Démonstration: Ou les forces données P,Ç, sont commensurables entre elles, ou elles sont incommensurables.

Dans la première hypothèse, nommant /7 leur commune mesure^ et supposant que cette commune mesure soit comprise m fois dans P, et n fois dans Q, on aura Pmzm II, Qz=n II, et Ton rentrera dans le cas du théorème 5 que nous venons de démontrer.

Dans la seconde hypothèse, ou quand les forces données seront incommensurables, la proposition n'en aura pas moins lieu> c'est-à-dire que la résultante M n'en suivra pas moins la direction de la diagonale jiC d'un parallélogramme ABCD, dont les côtés contigus seront liés entre eux par la proportion:

JD : AB=P : Q.

Admettons en effet que la résultante R suive une tout autre direction, celle de la droite ^J5^ par exemple. Quelque près que cette droite se trouve de la diagonale AC, il sera toujours possible de prendre dans l'angle RAE, sur le prolongement de />C, un point F, tel que la longueur DP soit coramensurable avec AD. Menant FG parallèle à AP, on for-

mera le parallélogramme AGFD^ dans lequel le côté AG qui est égal à DF^ sera commensurable avec le côté jiD, La force P étant représentée par ce dernier côté, j'appellerai Q' la force représentée par AG. On aura donc .