AC R

Mettant à la place de -r?z sa valeur 7- , et à la place

* AU r

de — r sa valeur ~ , il vient:

AU Jr

— zz:i-#-^ -*-a-S COS. a,

pa pa p »

-ft'^zzzP^-H Q^ -î- a P Q COS. a,

d'où:

expression qui fera toujours connaître numérique-^ ment la valeur de R^ quand les grandeurs des composantes P et Q seront données^

49. Après avoir ainsi démontré le principe gênél'ai de la composition des forces concourantes, on passera à la composition des forces parallèles, en revenant au théorème $ de la page 19, que l'on démontrera de la manière suivante:

Aux e^^trémités AyBj 4e la ligne d'application, que Fig. 42< nous supposerons perpendiculaire aux directions des forces données, noqs concevrons qu'on applique deux forces égales à P, agissant dans des sens opposés, et se faisant conséquemment équilibre. Nous prendrons, pour représenter les forces proposées, des longueurs AD^ BH^ qui leur soient proportionnelles. Nous construirons sur AD le quarré jiDEF^ et sur BHf le rectangle BHJG^ en faisant BG égale à AD. Joignant les points A et E, B et /, les dia^ gonales AE et BJ représenteront en grandeurs et en directions la résultante des deux forces rectangulaires égales à jP, qui agissent au point A^ et celle des deux forces rectangulaires P et Ç, qui agissent au point B; c'est-à-dire qu'en nommant r et r cea deux résultantes, on aura:

r : AE=P : AD (a)

r : BI=zP : BG ou AD, d'où r : r=AE : BL

Pour trouver la résultante des deux forces r, r\ qui est en même temps la résultante générale du sys-

terne y ou celle des deux forces données P,Ç, nous prolongerons les directions AEetBl, jusqu'à leur rencontre en A\ Prenant ji'lf égale à AE^ et ^'l égale k B ly nous achèverons le parallélogramme AÉKÏy dont la diagonale représentera en grandeur et en direction la résultante cherchée^ que nous désignerons par H. Nous aurons ainsi:

ou bien

R:r: r=A'K' : AE.Bl (b).

Si nous menons parle point/, IK parallèle à JlE, nous formerons le triangle rectangle IHKj qui sera égal au triangle ADE, car le côté Hl est égal à BG ou ADy et Tatigle HIK est égal à Tangle DEA^ comme ajant ses deux côtés parallèles à ceux de ce dernier angle. Nous aurons donc:

HK=:HI=BG = AD, et BK=BH^HK=BHh-AD.

Mais l'égalité des mêmes triangles donnant aussi IK—AE=ÂÉ—ÏK!, et les longueurs BI et ÂÏ étant égales entre elles par construction, les triangles ÂÏK! et BIK seront égaux, comme ayant les angles égaux ÂÏE! et BIK compris entre des côtés égaux: donc ÀK'—BKznBH-^AD.

De Tégalité des triangles jCfAi et BIK, on déduit celle des angles K'ÂÏ et KBL^ ce qui fait voir que la résultante des forces données P, Ç, suit une direction parallèle à celles de ces forces.

De plus, les proportions (a) et (i) donnant:

JL— JL R r

^^ H^' ~ Te '

on en conclut:

-çrr m -;- , OU à cause de A KznAD-k-BH.