AXIOMES

4. *^Un point ne peut aller par plusieurs che'^ mmins à la fois. ^*

5./^Donc, lorsque plusieurs forces, différemment » dirigées, seront appliquées en même tems à uo ))méme point, ou ce point restera en repos, ou il se » mouvra par un seul chemin, et par conséquent de »Ia même manière que s'il était poussé ou tiré par Mune force unique, dirigée suivant ce chemin, etcawpable du "même effet."

6. ^^Âinsi, quelques soient le nombre et les dii-ec* )>tions des forces appliquées en même tems â un me* »me point, il existe toujours une force unique qui ))peut le^nouvoir, ou tendre à le mouvoir de la mé* »me manière que toutes ces forces ensemble; cette » force unique se nomme h résultante des premièries,

^ fi —

)>et celles-ci, par rapport à la résultante, se nom* ))inent forces composantes.^^

^^L'opération par laquelle on cherche la résultan- )) te de plusieurs forces composantes données, se nop- » me la composition des forces; et celle par laquellfs »on trouve les composantes, lorsqu'on connaît la ré- » sultan te, se nomme la décomposition des forces."

^7. ^^ Deux forces égales et directement opposées, r^ appliquées en même tems à un même point^ se i) détruisent et se /ont équilibre ^^^

^^ Réciproquement lorsque deux forces sejont la équilibre j elles sont égides et directement op- ^posées.^^

8. '^Donc û plusieurs forces, différemment diri- »gées, sont appliquées à un même point, pour leur » faire équilibre, c'est-àrdire, pour détruire l'effet de ))Ieur résuUaate, il faut appliquer à ce point une » force unique égale â cette résultante, et qui luisoit< )) directement opposé^ i ou appliquer plusieurs forces^ »dQnt la résultante soit égale et directement opposée ))d la résultante des premières.''

g. ^^Réciproquement, lorsque plusieurs forces,, «différemment dirigées, elt appliquées à un même » point, sont en équiIilM*e, leur résultante est nulle, »x>tt C0 qui revient au même, l'une quelconque de »Oes forces; est égale et directement opposée à la ^résultante de toutes les aotres^ ou enfm la résul- » tante d'un nombre quelcooqge d$ ces forces est

» est égale et directement opposée à la résultante de » toutes les autres/'

10. ^^ Si plusieurs forces appliquées à un même npoint^ ont la même direction^ et agissent dans le 9 même sens y elles produisent sur ce point le m£me y^ effet qu'une force unique^ qui serait égale à leur n somme y qui aurait la même direction ^ et qui » agirait dans le même sens; par conséquent cette nforce unique est leur résultante^

1 1. '^Donc, pour faire équilibre à toutes ces forces, »il faut appliquer au même point et dans le sens dî* »r6ctement opposé, une force égale a leur somme; ))car cette force sera égale et directement opposée à «leur résultante."

12. ^^11 suit de la: i^. que si deux forces inégales ))sont appliquées à un même point dans des sens di-* »rectement contraires, leur résultante est dirigée »dans le sens de la plus grande, et est égale a leur «différence^ car la plus grande de ces deux forces ))peut être regardée comme Composée de deux autres » forces dirigées dans le même sens qu'elle, dont » l'une serait égale à la plus petite , et dont l'autre )) serait égale à la différence^ or de ces deux derniè- ))res forces, la première est détruite par la plus pe- »tite (7); donc il ne reste plus, pour mouvoir le »point, que la différence, qui est dirigée dans le me- 9) me sens que la plus grande."

x3. ^^. '^Que ai tant de forces qu'on voudra sont » appliquées a un même point, les unes dirigées dans » un sens, et les autres dans le sens directement op- ))posé$ après avoir fait la somme de toutes celles qui » agissent dans un des deux sens, et la somme de }i toutes celles qui agissent dans le sens contraire, la Bxésultante de toutes ces forces est égale â la diiTé- »rence de ces deux sommes (12), et est dirigée dans »Ie sens de la plus grande."

14. "Donc, pour faire équilibre à toutes ces for- »ces, il faut appliquer au même point, et dans la di- »rection de la plus petite des deux sommes, une for- » ce égale à la différence de ces sommes: Car cette » force sera égale et directement opposée à leur ré- » sultan te."

1 5. La résultante de deux forces égales appli- {fuées à un même point^ a sa direction située 'dans le plan déterminé par les directions de ces forces^ et partage V angle qu'elles Jorment entre elles en deux parties égales. *

Démonstration: Soient P et Ç deux forces éga- Fîg. 3^ les, agissant sur le point A^ dans le plan MN représenté en perspective sur le plan du tableau. Supposons que leur résultante agisse suivant une direction A r, située hors du plan de ces forces.

*En traçant dans ce plan la droite ACcpà partage l'angle PA Q en deux parties égales, et en faisant tourner autour de cette droite, le système des forces

données, sans rien change;*41âpositiQadu corpçsoupis a leur action, il est clair qu^après une demi-r^oli:|tion, Fig. 4. ^^ f<^i*ce P se trouvera à la place qu'occupait la force Q^ et réciproquement, et que la résultante r aura passé à gauche du plan MN^ dans une position symétrique a celle qu'elle occupait d'abord. Les deux forces données Pet Ç étant égales par l\ypothésc, la fig;ure 4 sera évidemment identique avec la fig. 3* Mais comme dans cette dernièrci la résultante des deux forces est dirigée suivant Ar^ tandis que dans la f]g. 4} elle agit suivant Ar\ il s'ensuit que cette résultante peut agir indifféremment suivant l'une ou l'autre de ces directions; conséquence absurde, qui fait voir que la résultante des deux forces proposées ^oit être immanquablement située dans le même plan que ces forces*

Une considération analogue prouve que cette ré* spltante doit partager l'angle formé p$r la dirçction des forces P et Q en deu^ parties égales,

Sqpposons en efiet qu'elle agisse suiyant une direction quelconque Ar (fig. 5), tfMf que l'^qgle PAr soit plus petit que rAQ: £n faisant tourne^ Je pl^l) des forces autour 4^ la droite BC^ qui divise l'angle form^é paf leurs directions en deux pjiirties égales^ la lignp ^r aprçs une demi-révolution, prendra la position Ar (fig. Ç). Mais tput étant absoln^ ment le m^me. à çcfuse de l'identité des forces, daps la fig. 6 qife dans I^ fig. S, on en conclut que Ar e3t aussi bien la direction de la résultante qitç Ar^

0t ^ae pdr conséquent cette résultante peut agir suiviint deux directions différentes, conséquence lient Tabsurdité démontre que la résultante doit suivre la direction ^C, pour laquelle les angles P^C7 et CAQ sont égaux entre eux.

CQROLLAIRE i.

i6. Chaque couple de forces égales P, -Ç^ ayant ainsi pour résultante une force r dont la direction partage l'angle PAQ en deux parties égales, il -est visible que le systéipe dj^ deux forces multiples mP^ mÇy composé d'un nombre m de couples sembler F^fr 7blés, aura pour résultante une force égale k mr^ agissant dans la même direction quela résultante primitive r.

17. L'action des deux forces égales P, Q, poi^vant être remplacée par l'action de leur résultante r, il g'ensuitque réciproquement on pourra toujours substituer à l'action d'uneforce uniqiie quelconque, celle de deux forces égales, formant avec la première d^s angles égaux, et situées avec elle dans un menfe plan, pouryu que la grandeur de ces, dernières boit déterminée de manière a ce eue la force donnée soit égale à: leur résultante.

Rçmarqm^.,

18. Si les directions des dçux forces données P, Q^ ne qoncpuraienJ: pas en un iRçipe Ijoint, ef que, par conséquent elles ne se trouvassent pas comprises dan$ un même plan, ces deux lbrces> soit qu'elles fiassent

égales, soit quelles fussent inégales, n'auraient pas de résultante; car ne pouvant pas alors être regardées comme destinées a mouvoir un point unique, il est clair qu'une force unique serait incapable de produire le même effet.

THEOREME 2.

Fîg. 19. Si Von a deux couples de forces angulaires ' ^ P, P; /^, P\ égales deux à deux , et formant entre elles des angles égaux PAP^ P'AP^ les résul-^ tantes Ret Vl de ces couples dejorces sont entre elles dans le même rapport que leurs composantes^ c'est^à^ire que Von a :

Démonstration. Supposons que les forces P etP' soient commensurables entre elles, ou susceptibles d'une commune mesure /?, et qu'on ait par exemple: Pzzmpy Ifzizm'p; appelons r la résultante de deux forces égales à cette commune mesure, et formant entre elles le même angle que les forces données. 11 est clair , d'après le premier des corollaires précédents, que les résultâtes E ttl( seront respective-

Pf R^

ment égales à iwr, et i»V: Les rapports — , —, étant égaux , le premier a — ou a — , et le second a

tn p m

— OU—, on est conduit immédiatement à l'équation

mr tw *

p- = ^, qui vérifie l'énoncé du théorème*

8^ la.

Dans le cas où les forces P et F^ seront incommensurables, on conçoit qu'il sera toujours possible de substituer à l'une d'elles, â P" par exemple,* deux forces P" et il, dont la somme soit égale à i^, et Fîgdont la première soit commensurable avec P. En nommant iT la résultante des deux forces P , et «S* celle des deux forces /7, il est évident qu'on aura: jRzziî H-»y, et que les deux forces commensurables P et P seront liées entre elles par la relation:

P'' iR"

Qu, eu mettant à la place de P'' et IC^ leurs valeurs

P'^netK^S,

P ~~R^* Dans cette équation^ les quantités J7et S^ fonctions l'une de l'autre, sont soumises aux mêmes lois d'accroissement et de décroissement. Or la force P^ pouvant être prise aussi voisine de P^ qu'on le voudra, on voit que II peut être regardée comme étant susceptible d'une valeur moindre que toute grandeur donnée 9 quelque petite que soit cette grandeur, et

que par conséquent — est une véritable limite vers

pf J7

laquelle le rapport — — tend sans cesse, sans pou* voir jamais l'atteindre; mais à mesure que II dimi-

nue, S diminue également, et le rapport — ^ s'approche sans cesse de la limite -^^ Donc , en se fon-

dant sur ce principe, que des quantités variables

toujours égales entre elles ont des lioiitea égaler

on a:

20. La résultante dei deux forces rectangulaires égales entre elles^ est égale au produit de l'une des forces données multipliée par la racine quarrée de n.

Démonstration: Représentons par R la résultante Fig. ii.des deux forces PyPj qui forment entre elles un angle droit. La direction jâ Rue cette résultante, divisant Pangle PAP en deux parties égales (Théor* i), chacun des angled R A P sera de 4 S dégrés. Menons par le point A la ligne rr perpendiculaire i A R. 11 est visible que chacune des forces P pourra être considérée comme étant la résultante de deux forces égales et inconnues r, agissant, Tune suivant ARj Fautre suivant Ar^ Le système des deux forces données pourra donc être remplacé par celui 4e. qpa(p*:e forces ég^çs h r^ dont deux suivront ladi* rection A R^ et dont les deux autres agiront sur le pi^int A dans des sens opposés, suivant la droite rr. Gesdeuxderpièressefaisaift mutuellement équilibre, il lie restera q^ç leM^^^ P^^P^i^res, qui agis^apt dans le même sens suivant la direction A R^ produiront l'effet d'une force unique égale à leur somme, ou à

- iS -

2 r. La résultante cherchée ayant été représentée par j?, on aura donc:

Rz=:% r, d'où rn: -.

Mais on â d'après le théorème précédent: p = ^>

ou , en mettant au lieu de r sa valeur — «

2 p il*

De cette équation on déduit iî* zr a P*, ou /î = P V 2, C. Q. F. D.

COROLLAlflE I.

2 1 . Ce résultat apprend que pour faire équilibre

â deux forces rectangulaires égales, il suffit d'appli*

quér au point de concours de leurs directions une

troisième force, qui soit égale à l'une d'elles multipliée

par la racine quarrée de 2 , qui agisse dans un sens

opposé, et dont la direction forme avec les droites

A P| des angles égaux à i35<>. Cette force étant en

effet égale et directement opposée à la résultante

des forces données, détruira l'effet de cette résjul-

tante.

COROLLAIRE a.

22« Une manière ti'ès commode défigurer l'intensité ou la grandeur des forces que l'on considéré dans toutes les branches de la mécanique, con^ste â prendre sur leurs directions des longueurs qui cornpjiennent autant d'unités linéaires que les forées données comprennent de fois Tunité dé force, à laquelle on donne aussi le nom d'uniHé dynamique.

On dit alors que les forces données sont représentées par ces longueurs» Ainsi par exemple, quand on dit Fig. la. qu'une focce quelconque P, agissant sur le point ^^ est représentée par la ligne A B, cette expression signifie qu'en rapportant la longueur A B k l'unité linéaire, on y trouvera cette unité comprise autant de fois, qu'il y a d'unités dymaniques dans la force P.

11 suit de là que quelque soit le nombre de forces . que l'on considère, ces forces peuvent être regardées comme parfaitement déterminées, lorsqu'on assigne sur leurs directions des longueurs qui leur sont proportionnelles. Si deux forces P et Ç, par exemple» sont supposées proportionnelles aux longueurs ufJ3

et C D^ de manière que l'on ait: