Q —^ CD

il suffira de déterminer par les règles de la géométrie, la commune mesure de ces longueurs, et si l'on trouve qu'elle est comprise m fois dans la i^. et 72 fois

dans la 2% ou que — zz — , on aura également:

Ce qui apprendra que la force P comprendra un nombre m d'unités dynamiques, tandis que la force Q en comprendra un nombre n.

23. Cette sorte de convention très simple, par laquelle les forces se trouvent représentées par des longueurs qui leur sont proportionnelles, permet

d'énoncer le théorème qae nous venons de démontrer, de la manière suivante:

Si deux forces rectangulaires égales sont repré^ Fig. i3. sentées par les côtés d^un quarré quelconque jiBCD construit sur leurs directions ^ leurrésultante R sera représentée en grandeur et en direction par la diagonale A D de ce quarré y et en effet le triangle rectangle A C D donnant AD'^zz: u^O-f-C/?^, ouàcause àe CD =:iAC, AD^z:^

2 ^C% on en déduit —:^=^^^^> ^^^ i^^us avons

R ^, . R ÀD vu que - = V2, donc p = je"

On verra par la suite comment cette propriété très remarquable se généralise pour des forces angulaires quelconques.

24- Si aux extrémités d'une droite inflexible ABj sont appliquées deux forces égales P, Ç, Fîg. i4* dont leis directions AP^BQ^ soient parallèles e«tre elles ^ et qui agissent dans le même sens;

lo. La résultante R de ces deux forces sera éga^ le à leur sonime Ph-Q ou 2 P;

20. La direction de cette résultante sera parallèle aux directions des forces, et divisera leur droite d'application en deux parties égales.

Démonstration, x^^^. Partie. Soit une autre droite inflexible DE^ perpendiculaire aux directions des deux forces, et attachée invariablement à la droi-

te AB] En prolongeant les directions des deux for*^ ces P, Q, jusqu'à cfe qu'elles coupent cette dh)ite aux points D et E^ on pourra regarder ces points comme étant ceux auxquels les forces données sont appliquées. Gela posé, prolongeons la droite DE dans les deux sens DPyEQ\ et concevons suivant ses prolongemens deux forces P Q\ égales entre elles, et aux deux forces données P^Q. Ces deux nouvelles forces, agissant suivant la même droite et dans des directions opposées, se détruiront mutuellement et ne changeront rien â l'effet produit. La résultante des quatre forces P^P^ Q^Q\ ^^ ^^nc la même que celle des deux forées P, Q.

Mais les deux forces P et P étant égales et rectangulaires, peuvent être remplacées par une force unique égale à P y/a^ dont la direction formera avec celles des deux composantes, des angles égaux â 45^-

De même les deux forces Q et Q\ aussi égries et rectangulaires, auront p/our résultante une force égale à Ç V2, telle que chacun des angles Q E Q' ^z et Q' E Q Va sera également dé 1^6^.

Le «jstêmè âes quatre forces P, P*, Ç, Ç^, se trouvant ainsi ramehé â celui des deux résultantes parfîeties, évidemment égales, P ^2 et Q Va, la résultante de ces dernières hé sera autre que là résulsultante R des forées P et Q. Or oh est eh droit de regarder ces deux forcés P Va, Ç Va, comme étant à^^liqûéès au point P de côricôurs de leurs diréctîofts (S 1). ï)e plus le triangle PpJE ayant ses

deux angles en D et en j? respectivement égaux k P^ D P'^UttQ' E Q V2, qui sont chacun de 45''> il s'ensuit que ce triangle est rectangle en jP, et que par conséquent les deux forces égales P Va et Q V2 out pour résultante une force égale à l'une d'elles multipliée par la racine quarrée de a^ donc onajR=PVa xVa, ou J2— 2P=P^Ç,

31*. Partie. Le triangle rectangle D F E étant isocèle, et la direction de la résultante R des deux forces P Va et Ç Va devant former des angles égaux avec ses composantes, cette direction sera visiblement perpendiculaire à la droite D Ey et la divisera au point C eu deux parties égales. Elle sera donc parallèle aux directions AP, BQj des deux forces données; les deux lignes D E et A B seront donc divisées parles lignes Dji,^ C G, et E B en parties proportionnelles, et l'on aura: DC : CEzizAG : GJB, d'où à cause de DCz=. CEy on déduira AG = GB. Donc la résultante R passera par le milieu de jt B»

COROLLAIRE i.

a5. Pour faire équilibre a deux forces P, Ç, égales et parallèles, il faudra donc appliquer au milieu G de la droite d'application, une troisième force égale à leur somme, qui agisse en sens contraire, et dont la direction soit parallèle aux droites jiP^BQ; car cette troisième force sera égale et directement opposée â leur résultante.

COROLLAIRE i.

Ffg. i5. 26. Si après avoir divisé une droite inflexible efi un nombre quelconque de parties égales, on applique â tous les points de division des forces égales) dont les directions soient parallèles entre elles, la résultante de toutes ces forces partagera la droite d'application en deux parties égales, suivra une direction parallèle â Celle des forces, et sera égale â leur somtïié totale :

Car en considérant successivement les couples de forces P, Q'y P^j Qy P*, Q'\ etc. 5 les résultantes partielles de ces couples r, r , r\ etc. passeront toutes par le milieu K de A B^ en suivant une direction parallèle â celle& des forces, et l'on aura :

rrrP^ Q r"=P'^Q\

Mais ces résultantes partielles, agissant suivant une même ligne droite, produiront le même effet qu'une force unique H égale à leur somme, et qui sera évidemment la résultante totale du système: donc on aura:

/?=: r-i- r H- r'-i- etc,

ou /î=P-f- P'^ P'V etc. ^ Çh- ÇV Q'V etc-

De plus eette résultante agira suivant une direc* tionparall êU â celles des composantes.

THEOREME 5.

27. Si aux extrémités d'une droite inflexible A B^ sont appliquées deuxjorces inégales P, Ç, Fîg. 1 6. dont les directions ÂPj BQ^ soient parallèles entre elles ^ et qui agissent dans le même sens;

x^. La résultante R de ces forces est égale à leur somme^ et sa direction est parallèle à celles de ces forces:

20. Le point C d'application de la résultante partage la droite AB en deux parties réciproquement proportionnelles aux deux forces^ de manière

que Vçn a:

P: QznBC: AC.

Démonstration. Il est aisé de s'assurer d'abord que la résultante R sera égale à la somme des forces données P et Ç, et suivra une direction parallèle à celles de ces forces. Prolongeons en effet la droite d'application A B aux delà des points A et JB, et appliquons suivant ses prolongements deux forces quel- . conques *S, *?, égales entre elles, qui se feront mutuellement équilibre: Cette addition ne changera rien au système des forces données. Les deux forces P, Sy ayant une résultante /• située dans le plan de leurs directions, et les deux forces Ç>, S^, ayant une résultante r également située dans ce plan, il est clair que la résultante des forces r, r , sera la même que celle des forces proposées P, Ç. Mais les directions Ar et B r étant prolongées jusqu'à leur interjection en Gy on pourra concevoir les forces r et r

appliquées en ce poîril. Hemplaçarït â ceméme peint la résultante partielle r par ses deux composantes S^ P, agissant suivant G i^ et G jR, respectivement parallèles àASetJt P\ substituant de même â r ses deux composantes Sf et Q, le système des forces •données sera ramené à celui des quatre forces S^ Sf^ P et Qj agissant sur le^néme point G. Or les deux premières iS, S\ ^tant égales entre elles et directement opposées^ se -détruisent réciproquement; il ne Teste donc que les deux forces P,« Q, qui agissaM suivant la même direction, produisent le même effet qu^une force unique égale à leur somme. Cette force unique 9 ou la résultante générale du système, est «donc égale à P-+-Q, et suit une direction ♦G R pa- Tallèle à celle des forces proposées P et Q.

Pour trouver la position du point C, dans lequel cette direction GR coupe la droite d'application, nous remarquerons *que les forces données P, Ç, peuvent être commensurables -entre elles, ou incommensurables.

Dans le if • cas, nous appellerons p la force qui leur servira de^commune mesure, et nous supposerons:

P znmp, Q = np, ou P: Q z=z m: n.

Fig. 17. Soit divisée au point © la droite d'application A B en deux parties proportionnelles aux nombres m et n^ de manière à ce qu'on ait:

minznzA D: B D^

•u ce qui revient au même :

P: Q = A3: Bl>.

Soit prolongée la droite A B soi delà de ses extrémités ji et By et soient pris sur ses prplongçipents BR=BD, A Fz=iA I>. Les parties JtD et BU ^ étant entre elles par hypothèse comme w.est à «, on pourra diviser FDy. double de AD^ en 2 m partie» égales, et Z^ E double de i? 2? en 2 n partie^, aussi égales aux précédentes. Si au milieu de chacune de

ces divisions, on applique une ferce égale à — ,, en

aura de jP* en jD) 2 m fosce» parallèles entre ellesy

P dont chacune sera égalé à — ,. et dont l'action totale

P sera équivalente à leur somme 2. m X —, c'est-à-dire à 77» d, ou à la forée P. De même on aura de J^ en £, a n forces parallèles et égales à —, dont l'action sera la même que celle de la force Q, ou n p^ Les forces données P, Qy, se trouveront donc ainsi remplacées par 2 toh- 2 tî autres fbrces, égales et? parallèles entre elles, dont la résultante sera évidemment la même que celle des deux, pisemières. Or ces z. mHr-%n forces égales, étant également distribuées Ife long de la droite F E (§ 26), doivent avoir pour résultante une force- égale à leur somme, et qui passe par le milieu C de la droite F£: donc la résul-

tante jR, égale k^im-^ù^n) —, ou à P-^-Qy et parallèle aux directions de ces forces, passera par le point €, milieu de la droite E P.

— sa —

Mais de jiD=AF, et B D—BEj on déduiï:

AD-^BD ou AEzuAF-^B E:^ ce qui montre que jt B est égale â la moitié de la ligne totale FE. On di àonc AB— F C— CE. DeAB=FC, retranchant la partie commune ACy il reste AFzzBC^ ou à cause de AF~AD, ADzizBC. De AB — C E, retranchant la partie commune C B^ il reste BE ou BDzziAC. Mettant donc dans la proportion P : QzzzAD : BD^ au lieu de -4 /? et de BD leurs valeurs fiCet AC^ il vient: P : QjzzBC : A C, ce qui fait voir, ainsi que Tcnonce le théorème, que le point C d'application de la résultante partage la droite A B en deux parties réciproquement proportionnelles aux forces P et Q.

Considérons actuellement le cas où ces forces seraient incommensurables^ décomposons la force P Fig. i8. en deux autres P et 77, dont la première soit commensurable avec Q. La résultante des deux forces P, Q, suivant ce qui précède, passera par un point G, tel qu'on aura :

/: QznBG: AG.

II est visible que le point d'application de la résultante des deux forces P, Q, sera nécessairement situé entre les points G et A^ car le i*' antécédent P augmentant, le 2}^*" antécédent B G doit augmenter aussi. Supposons donc que ce point soit situé en (7, et faisons GCczx-, nous aurons:

BGzziBC^.T,

AG=ACH-a:.

Substituant ces expressions dans la proportion

précédente, et mettant au lieu de P, sa valeur P—i7^

il viendra P ^11: Q—BC-^x ^ AC-%-x\

ou ce qui est la même chose :

çT" AC^x *

Jja force JP^ pouvant être prise aussi voisine de P, qu'on voudra, et la différence 77 de ces deux forces pouvant devenir plus petite que toute grandeur don-* née, le rapport variable du i^. membre tend sans cesse vers la limite — ; mais à mesure que p' diffère de

moins en moins de la force P, le point G se rap proche du point C, et la quantité GC o\i x devient

de plus en plus petite: Le rapport constant — peut

donc être considéré comme la limite du second membre. Or deux quantités variables toujours égales

ont aussi des limites égales: donc on a — =r: — ,

onPiQ — BCiAC, C.Q:P.D.

COROLI.MRE I, 28. Pour faire équilibre â deux forces quelconquesi Py Q, appliquées au}( extrémités d'une droite inflexi* ble A Bj il faut donc diviser cette droite, au point Fîg. 19*^. C^ en deux parties réciproquement proportionnelles à ces forces, et appliquer en ce point une troisième force égale à la somme P+Q, qui agisse en sens contraire, et dont la direction soit parallèle à celles des deux forces données.

Pour opérer la division dont il s'agit, il suffît d*ob« server que de la proportion :

PiQzzBC :AC, (i)

on déduit:

P-^Q.P — BC-^ACoixABiBC.

Les trois premiers termes étant connus^ on trouve pour le quatrième, qui sert â déterminer le point C:

De la même proportion (i), on déduirait également:

COROLLAIRE a.

Fig. la 2g. Une force unique R appliquée â un point C d'une droite inflexible, peut toujours se décomposer en deux autres P et Q^ qui étant appliquées â deux points ji^ Bj données sur cette droite, agissent parallèlement â CiS, et sont capables du même effet que la force R. Pour trouver les grandeurs de ces forces P, Q, qui varient avec la position des points d'application -^ et JB, il suffit de partager la force R en deux parties réciproquement proportionnelles aux distancés données AC^ CB^ au moyen des deux pro«^ portions suivantes:

JB:BC=R:P^

AB: A C — R: Q, desquelles on déduit :

' — aS — R.AC

COROLLAIIE 3.

Zo. Si Vox\ applique au. point C, dans lequel la Fig. au résultante des àtxxsk forces P, Q, coupe leur droite d'aj^lication A Jî; une force .y, égale et directement opposée a cette résultante, il est clair que les troiir forces P, Qj *y, ser(»t en équilibre. Chacune d'elles {% 9) pouvant être regardée comme étant égale et directement opposée à la résultante des deux autres, il s'ensuit que la résultante des deux forces S^ Qy qui agissent parallèlement, mais en sens contraires, est une force p, égale et directement opposée à la force P. Or cette dernière est égale à la diffé* rence des forces S^ Ç, et agit dans un sens contrai* re â la plus grande S de ces deux forces: Donc i^. la résultante p des deux forces *?, Q, parallèles et agissant en sens contraires, est égale à leur différen- ^® '^ — Qf et agit dans le sens de la plus grande , suivant une direction parallèle â celles des forces, €t 2®. à cause de la proportion:

P-î- Q ou S : Qz=z A B : J C, les distances du point A d'application de cette résultante aux deux points CetB, sont réciproque--^ ment proportionnelles aux forces S, Q.

COROLLAIRE 4- 3 1. De ce dernier principe, on déduit comme conséquence immédiate, le moyen de déterminer la position du point A d'application de la résultante des

deux forces S^ Qj qui sont parallèles et agissent eti

sens contraires^ car de la proportion précédente

S : Q — AB: J C, on déduit:

S-^Q: QzzzAB-^JCoix BC: AC, etS—Q: S=AB—ACo\iBC: AB,

dans les quelles tous les termes sontconnus, àTexcep-

tion des derniers.

32. Si les deux forces S^ Q, dont les directions sont parallèles, et qui agissent en sens contraires, sont égales entre elles, i^. leur résultante p qui est égale à S — Q, devient nulle: 2°. de la proportion:

S-^Q: Ç=BC: AC, on déduit pour la distance de son point d'applicatîoix au point C,

Ce qui fait voir que cette distance est infinie. Pour faire équilibre aux deux forces égales et dirigées eu sens contraires S, Q, il faudrait donc appliquer à la droite inflexible C JBf, une force nulle, et dont la direction passât â une distance infinie; résultat qui sans être absurde, est inexécutable en pratique, et fait voir qu'il est impofssible, au moyen d'une force unique, de faire équilibre à deux iorces égales dont les directions sont parallèles, et qui agissent en sens contraires.

Pour mettre en équilibre le système de forces dont il s'agit, il serait donc indispensable d'y indroduirc

deux forces nouvelles, et comme l'une d'elles pourrait être arbitraire^ il s'ensuit qu'on peut établir l'équilibre d'une infinité de manières.