IV

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proportionnelle à la force : soit par exemple 1 centimètre par dyne.

Si la force est constante entre les temps OA et OD, la courbe représentative est une droite BG et Faire du rectangle ABCD, égale au produit AD X AB, représente une quantité proportionnelle à la quantité de mouvements : la masse étant évaluée en grammes masses, la vitesse en

ftrcca

F temps

centimètres parcourus en une seconde, il y a autant dWités dans la quantité de mouvement mv qu'il y a de centimètres carrés dans Taire du rectangle ABCD. Si la force variait brusquement au temps OD pour devenir égale à DK et restait ensuite constante dans Tintervalle DE ; puis, qu'une même variation brusque se produisit au temps DE et ainsi de suite ; il est clair qu'il y aurait toujours autant d'unités dans la quantité de mouvement que de centimètres carrés dans Taire polygonale ABGKGIHFA. Enfin, si la force est d'intensité variable & chaque instant (sa direction restant constante) et si elle est représentée en fonction du temps par la courbe BG {fig. 3i), on peut démontrer rigoureusement et nous admettrons aisément, qu'il y a autant d'unités

ETUDB DES IMPULSIONS

dans la quantité de mouvement que de centimètres carrés dans Taire ABCD.

Ceci posé, il est évident que, pour imprimer à une masse la même quantité de mouvement, on peut procéder de bien des manières : la force étant de direction invariable, mais variable en intensité, il suffit que Taire ÂBCD ait une valeur constante ; à cette restriction près, nous sommes libres de supposer à sa courbe limitatrice BG telle forme, c'est-à-dire à la force telle loi qu'il nous plaira.

forces

bomps

Fio. 34.

En particulier, nous pourrions remplacer la courbe BC par une droite B,Ci et construire ainsi un rectangle AB|C|D dont Taire soit égale h Taire ABCD. Ce qui revient à remplacer Taction d'une force variable représentée par la courbe BC par celle d'une force constante représentée par la droite BiCi. Nous appellerons intensité moyenne de la force cette force constante dont Teffet définitif sera le même que celui de la force réelle si elle agit pendant le même temps 0, et la quantité de mouvement se trouve égale au produit de la force moyenne par la durée de son action; soit 0.

Jusqu'à présent nous n*avons fait aucune supposition

sur la valeur absolue du temps ; les théorèmes précédents sont donc absolument généraux. Nous allons maintenant nous limiter à un cas particulier fort important, celui où ce temps est très court, une fraction de seconde, par exemple. Le produit Fo prend alors le nom de percussion ou d'impulsion. On conclut de ce qui précède renoncé général : « La mesure d'une percussion ou d'une impulsion est la quantité de mouvement qu'elle imprime à une masse donnée invariable. »

Il résulte de la définition même de la force moyenne que la force vraie, variable dans le temps, est, aux différents moments de son action, tantôt plus grande, tantôt plus petite ; l'évaluation de la force moyenne donne donc une limite inférieure de la valeur maxima de la force vraie.

Si le produit F6 doit rester constant, en d'autres termes si la même vitesse doit être communiquée à une masse donnée, moins le temps 6 aura de durée, ^ plus la force moyenne doit avoir d'intensité, et a fortiori plus certaines valeurs au moins de la force vraie F sont considérables. Ainsi la^ pesanteur met à peu près soixante secondes à donner à un grave tombant en chute libre une vitesse de 600 mètres à la seconde ; dans un canon c'est en moins d'un centième de seconde que l'obus prend une telle vitesse ; il faut donc qu'au moins pendant une fraction de ce centième de seconde la pression totale de la poudre sur le plat de l'obus soit plus de six mille fois le poids du projectile, puisque cette pression n'est pas constante.

La percussion ne diffère en rien de l'action ordinaire d une force ; c'est tout simplement une force plus grande agissant pendant un temps plus court.

BTUDE DBS IMPULSIONS 197

Ces Ihéorèmes, qui paraissent évidents, ont été longs à découvrir ; nous n'en voulons comme preuve que l'extrait suivant de Fontenelle dans VHistoire de F Académie pour 17H. « La force motrice, dit-il, ou n'est appliquée qu'un moment au corps qu'elle meut, ou elle lui est appliquée pendant tout le temps de son mouvement. Dans le premier cas, elle lui imprime une vitesse qui doit demeurer la même pendant un temps infini, supposé que d'ailleurs rien ne s'y oppose. Dans le second cas, l'application continuelle de la force augmente à chaque instant la vitesse de l'instant précédent. La première vitesse est uniforme, la seconde accélérée.

La force simplement motrice, c'est-à-dire celle qui produit une vitesse uniforme, n'étant appliquée qu'un instant au corps qu'elle meut, ne peut avoir de variété dans son action, ni par conséquent être variable, et même, à proprement parler, elle n'est pas constante non plus, parce qu'il faudrait pour cela qu'elle agit également pendant une suite d'instants et de temps égaux. Mais par la raison contraire la force accélératrice peut être constante ou variable.

Si pendant le premier instant, ou temps que la force accélératrice a été appliquée au corps, elle lui a imprimé un certain degré de vitesse, elle lui imprimera un nouveau degré égal pendant un second temps égal et toujours ainsi de suite. Donc les sommes de ces vitesses, ou la vitesse totale acquise par le corps au bout d'un certain temps sera toujours comme ce temps et les vitesses acquises au

bout de différents temps seront comme ces temps. La force simplement motrice est d'autant plus grande qu'elle fait parcourir un certain espace déterminé en moins de temps ; cette mesure de grandeur convient aussi à la force accélératrice.

Mais le temps entre dans Tidée de force accélératrice, parce qu'il est le temps pendant lequel la force a été appliquée ou a agi ; et il est clair que le temps n'entre pas de cette manière dans l'idée de force simplement motrice. Si la mesure de grandeur de la force simplement motrice est la vitesse uniforme qu'elle produit, donc la mesure de la force accélératrice est la vitesse produite divisée par le temps employé à la produire. »

Pour revenir à nos notations, nous avons trouvé FO =' mv. Ce que Fontenelle appelle force simplement motrice n'est pas autre chose que ce que nous avons désigné par le nom d'impulsion ou de percussion ; ce qu'il appelle force accélératrice, c'est ce que nous désignons sous le nom de force ; et on a bien, du moins quand la

force est constante, F = -r-î c'est la vitesse divisée par

le temps employé à la produire.

En définitive, les conclusions de Fontenelle sont mathématiquement exactes, mais l'idée qu'il se faisait de la percussion est absolument fausse. Car, au lieu de la considérer comme l'action d'une force grande et pouvant être variable, agissant pendant un temps court, mais fini, il la regarde comme quelque chose d'irréductible à une force accélératrice agissant un temps fini ; il suppose même qu'elle agit en un instant.

C'est, d'ailleurs, ce qui résulte du passage qui suit l'extrait cité ; il y parle de la force simplement motrice

comme infiniment grande par rapport à la force accélératrice. Or, si les gens peu exercés aux mathématiques confondent très grande et infiniment grande, si les philosophes peuvent voir dans Tinfini une extension indéfinie du fini, sous la plume d'un mathématicien ce mot infiniment grand prend un sens nettement déterminé, qui dans l'espèce constitue une grave erreur ; surtout si Ton remarque la date de Fécrit en question, 17H, c'est-à-dire bien des années après la publication des travaux de Leibnitz et de Newton sur le calcul des infiniment petits.

Bemouilli, dans un discours sur la commwiication du mouvement daté de 1724, expose des idées parfaitement exactes sur la nature du choc et par conséquent de l'impulsion.

« Un corps dur, veut-il démontrer, rencontrant directement, avec une vitesse déterminée, un ressort d'une élasticité parfaite, dont un bout est appuyé sur un plan invariable, sera repoussé selon la même direction et avec la même vitesse. » A l'occasion de ce théorème, il donne du phénomène l'analyse très profonde que voici : « Cette proposition est claire et la vérité en saute aux yeux, pour peu d^attention qu'on fasse à la nature de l'action et de la réaction. Car, dans le premier instant que le corps atteint le ressort débandé, ce ressort est contraint de se resserrer, et par là il acquiert un peu de force, au moyen de laquelle il résiste un peu au corps et lui ôte par conséquent un peu de vitesse. Dans le second instant, le corps comprimant un peu le ressort, celui-ci reçoit un nouveau petit degré de force et fait perdre au corps quelque peu de sa vitesse, et cela continue ainsi par tous les degrés infiniment petits, jusqu'à ce que, la vitesse du corps étant éteinte, il ait communiqué toute la force au ressort par un

nombre infini de diminutions élémentaires ou infiniment petites. Mais, dès que le corps est parvenu au repos, le ressort commence à se débander et à lui rendre successivement et dans un ordre renversé de temps ces mêmes éléments de vitesse qu'il lui avait ôtés ; en sorte que la perte du dernier instant de vitesse sera réparée par le gain dans le premier instant, celle du pénultième dans le second instant, et ainsi de suite; jusqu'à ce que, le ressort étant entièrement débandé, le corps aura regagné sa première vitesse, mais dans uii sens contraire. »

Nous aurons occasion de revenir sur ce théorème ; mais voilà pour Tinstant ce qui en fait le grand intérêt : assimilant les corps durs élastiques à des ressorts, il étend sa proposition au choc de ces corps et ajoute : « Toute action se fait successivement et par élément, quelque petite que paraisse la durée de l'action entière. Ainsi le choc de deux corps qui paraît commencer et finir dans le même instant, ne laisse pas d'être d'une durée qui, à parler proprement, a ses éléments, je veux dire un nombre infini de parties infiniment petites. » On le voit ; nous sommes loin de Fontenelle et de sa force motrice qui s'exerce en un instant ; avec Bernouilli, le choc est ramené à l'action d'une force grande, mais finie, agissant pendant un temps court, mais fini. La théorie complète de l'impulsion, de la percussion ou du choc est donc connue.

ÉTUDB DES IMPULSIONS 201

Nous allons étudier maintenant comment Descartes et ses contemporains comprenaient le choc ; cela est d'une importance philosophique très grande, bien que cette partie de la mécanique ne fût alors qu'un tissu de curieuses erreurs.

Le premier fait qui résulte des considérations précédentes, ^'est qu'il y a une infinité de manières équivalentes de communiquer une certaine vitesse à une masse donnée, mais qu'il sera nécessaire d'employer des forces d'autant plus intenses que leur durée d'action devra être plus courte. Et réciproquement, si l'on a à sa disposition une masse en mouvement, on peut, en lui opposant un obstacle, s'en servir pour exercer une pression sur cet obstacle. Cette pression est généralement variable avec le temps; elle dure, si l'obstacle est mou, ou si le corps mobile est mou, jusqu'à ce qu'ils aient perdu toute vitesse i:çlative, qu'ils soient en repos l'un par rapport à l'autre; si les deux corps sont élastiques jusqu'à ce que, par leur réaction réciproque, ils se soient séparés par le choc. Mais en tous cas, qu'après le choc ils restent ou non en contact, il y aura toujours un instant où les deux corps n'auront aucune vitesse relative, puisque, avant de rebondir, s'il rebondit, il faut bien que le mobile s'arrête un instant. Soit 6 le temps qui s'écoule entre le commencement du choc et cet instant où les deux corps n'ont pas de vitesse relative. Si on représente les pressions en fonction du temps comme l'indique la figure 34, l'aire ABCD, égale à la quantité de mouvement que possédait le corps mobile,

est toujours la même, quelles que soient les conditions du choc. Si F est la pression moyenne, le produit Fo est dona complètement déterminé.

Est-il possible pratiquement, le produit restant constant, de donner à l'un des facteurs des valeurs arbitraires^ par exemple de faire durer le choc moins longtemps,, corrélativement d'augmenter la force moyenne? L'expérience montre que la durée du choc dépend de la plus ou moins grande facilité que les corps ont à se déformer : je ne dis pas de leur élasticité, car nous avons appelé corp& élastique un corps qui déformé revient exacteq^ent à sa forme primitive ; l'acier est un corps très élastique, toutefois il se déforme très peu; le caoutchouc, qui se déforme^ beaucoup, n'est pas un corps parfaitement élastique; le plomb, qui se déforme aussi beaucoup, ne Test pas du tout^

D'où résulte que la force moyenne qui s'exerce entreles deux corps pendant leur choc est d'autant pins grande que les corps, élastiques ou non, se déforment plus facilement ; et, d'après une remarque que nous avons faite, il en sera de même de quelques valeurs au moins* de la force vraie, puisqu'une quantité est toujours, au moins un certain temps, supérieure à sa moyenne.

Tandis qu'une balle d'ivoire tombant, sur un plan de marbre, ne reste en contact avec lui qu'une très petite

fraction de seconde, ■ . ^ ^^^ par exemple, une balle de

lU,OUU

caoutchouc tombant sur le sol y demeure adhérente pendant un temps très notable, tonséquemment, si on place un objet fragile entre le plan de marbre et la balle d'ivoire, il sera brisé; tandis que le même objet, placé entre le sol et une balle élastique de même poids que la balle d'ivoire, et tombant de la même hauteur, peut ne pas

l'être. Car un corps qui, sans dommage, supporte longtemps une faible, pression peut être brisé par une forte pression agissant un temps très court.

On peut démontrer que cette interprétation du phénomène est exacte par une intéressante expérience qu'on a discutée sans aboutir pendant tout le xvii* siècle.

On lit dans une lettre de Descartes, datée de 1640, le passage suivant : « De dire combien il faut de pesanteur pour égaler la force d'un

Fio. 35.

coup de marteau, p'est une question de fait où le raisonnement ne sert de rien sans Texpérience. »

Consultons donc l'expérience et voyons ce qu'elle nous répond.

Soit une balance [fig . 35) dont on a supprimé un des plateaux; on l'a remplacé par un crochet à l'extrémité du fléau et un contrepoids C qui fait équilibre à l'autre plateau, dans lequel on met un poids P. Au crochet est suspendu par un fil le poids;? < P. Un arrêt D maintient le fléau horizontal. Soulevons le poids p d'une hauteur h et laissons-le retomber; c'est comme si nous donnions un coup de marteau sur le plateau B supposé remis en place. L'appareil est donc disposé de manière à pouvoir comparer ce choc à la pesanteur; c'est bien là Texpérience requise par Descartes : nous allons montrer qu'elle n'a absolument aucun sens. En effet, supposons que la hauteur h reste constante ainsi que le poidsy? : la quantité de mouvement à dépenser est donc toujours la même, au

moment où le cordon commence à être tendu et agit sur le crochet B. A supposer qu'un choc fût comparable à un poids, le choc serait inférieur à l'excès P — p ou le surpasserait suivant que le plateau A resterait ou non au contact de l'arrêt D. Or, l'expérience montre que ce contact subsiste ou non pour la même quantité de mouvement, suivant la nature de l'élasticité du cordon qui tient le poids ; de sorte que, avec une quantité de mouvement, c'est-à-dire avec une impulsion donnée et un excès P — p donné, nous ferons à notre gré que le contact cesse ou ne cesse pas. Il suffit, pour que le plateau A se sépare de l'appui D, qu'à un instant quelconque la force appliquée en B de haut en bas soit supérieure au poids P. Or, pour une quantité donnée de mouvement, le produit F6 seul est donné ; si donc nous nous arrangeons pour que o soit petit, en d'autres termes si nous prenons un fil peu extensible, la force moyenne F et au moins quelques valeurs de la force vraie sont plus grandes que P ; le plateau est soulevé. Si nous prenons un fil très extensible, comme du caoutchouc, la quantité de mouvement s'éteint lentement, ô est grand, et F est aussi petit que nous voudrons; le contact ne cessera pas. Ainsi l'expérience donne tel résultat que l'on désire.

Descartes était loin d'avoir sur ce sujet des idées nettes, et ses conclusions sont diamétralement opposées aux précédentes, comme il résulte d'une discussion bizarre entre lui et le Père Mersenne. Voici de quoi il s'agissait:

On trouve dans des lettres de 1639 le commencement de la controverse. « Il y a, dit-il, diverses choses à considérer en la percussion, comme la durée du coup qui fait qu'on rendra une balle plus plate en la frappant d'un marteau sur un coussin que sur une enclume. » Le Père

Mersenne essaye Texpérience et trouve un résultat opposé. II fait part de ses doutes à Descartes, qui lui répond : « Je m'étonne de ce que vous n'aviez pas encore ouï qu'on peut mieux aplatir une balle de plomb sur un coussin ou sur une enclume suspendue et qui peut céder au coup que sur une enclume ferme et immobile, car c'est une expérience fort vulgaire. Ce n'est pas assez de frapper une balle de plomb avec beaucoup de force pour l'aplatir, mais il faut aussi que cette force dure quelque temps, afin que les parlies de cette balle aient loisir cependant de changer de situation. Or, quand cette balle est sur une enclume ferme, le marteau rejaillit en haut, quasi au même instant qu'il l'a frappée, et ainsi n'a pas le loisir de l'aplatir tant que si l'enclume ou autre corps qui est sous cette balle, cédant au coup, fait qu'il demeure longtemps appuyé sur elle. »

Nouvel insuccès du Père Mersenne, qui redemande un supplément d'explication. Pour le coup le maître y met de l'ironie. « Par un coussin, j'entendais une enclume suspendue ou bien une plaque de fer mise sur un coussin; car, de prendre un coussin tout seul et bien mou, il est aisé de croire que la balle se doit enfoncer dedans au lieu de s'aplatir. »

« Gomme il y a des choses qu'on enfonce mieux avec un marteau de bois qu'avec un de fer, et d'autres au contraire. C'est ainsi que les charpentiers ou menuisiers se servent d'un maillet de bois pour frapper leur ciseau et fendent, par ce moyen, plus aisément leur bois que s'ils se servaient d'un marteau de fer. Lorsque les cuisiniers veulent rompre l'os d'une éclanche de mouton avec le dos d'un couteau, ils le mettent seulement dans leur main ou sur une serviette et, frappant dessus, le cassent plus aisément que s'il était sur une table ou sur une enclume. » Discu-

ton» «a peu toutes ces interprétations, qui, pour le dire dès Tabord, soat absolument erronées.

Il est plus facile d'i^latir du plomb sur une enclume que sur un coussin ; et, pour ce qui est du coussin recouvert d'un morceau de fer, ce a'est là qu'une défaite. Quant à cette explication que, le coiqi étant de plus longue durée, les parties de la balle ont le loisir de se déplacer, nous avons vu que c'est tout le contraire qm a lieu. Si les menuisiers em]>loient des maillets en bois, c'est que leurs outils ont des manches en bois, pour la commodité du travail ; et, s'ils se servaient de marteaux de fer, ils abîmeraient ces manches et les mettraient rapidement hors d'usage. Aussi les serruriers, dont les outils ne sont pas emmanchés de bois, se servent-ils toujours de marteaux de fer, avec lesquels les effets sont moins doux, mais plus intenses.

Pour l'éclanchc de mouton, le fait est vrai en un sens, mais fort mal interprété. On sait que les déformations se transmettent tout le long d'un corps solide ; si l'on frappe un coup de marteau au milieu d*un bâton, le choc n'est pas ressenti aux extrémités en même temps et la vitesse de la propagation de ce choc, égale à la vitesse de propagation du son, n'est que de quelques mille mètres par seconde. Ce ne sont donc que les parties qui entrent en contact avec le marteau qui supportent tout d'abord l'effet total; il peut donc se faire qu'il y ait rupture sous le choc au point touché, auquel cas la pression ne se transmettra évidemment pas. Ces faits sont connus de toute antiquité des bateleurs et, sans remonter trop haut, on lit dans la Mécanique de La H ire, publiée en 1695, après des raisonnements analogues aux précédents, le passage qui suit : « On peut appuyer cette raison par

quelques expériences, comme si Ton pose un bâton sur le bord de deux verres ; et, en frappant un très grand coup «ur le milieu du bâton, on le rompt sans que les verres se «cassent. De même que si Ton met dans la main un os <l'éclanche de mouton et qu'on Fy soutienne par ses extréfnit(^, lorsqu'on donnera un coup assez fort sur le milieu <le Tos, il se cassera sans faire aucune impression sur la main ; mais, si le coup n*est que médiocre, Tos ne se cassera pas et la main portera le coup. » Ce que La Hire n'ajoute pas, c'est que, si on place l'os sur une enclume et •qu'on donne le coup assez fort, non seuleAient il se cassera, mais il se réduira en miettes ; et, si les bouchers n'ont garde de procéder ainsi, c'est précisément qu'ils ne veulent pas obtenir un effet aussi énergique.

Laissons ces discussions, qui n*avaient d'autre but que J'éclaircir une curieuse controverse, tout en montrant la difficulté du sujet, et passons à Tétude du choc des corps. La solution complète du problème est maintenant aisée.

Nous allons définir tout d'abord <^ qu'on appelle centre de masse, ou barycentre, ou centre de gravité. Soient deux points matériels; en A est supposée con- p^^ 3^ <lensée une masse m ; en B, une

masse M. On appelle barycentre un point C placé sur la droite AB tel que le produit CB X M == CA X /w. Ajoutons une troisième masse |x au point D {fig, 36). Pour

208 ÉTUDE DBS IMPULSIONS

trouver le bary centre des trois masses, nous supposerons en G, barycentre des masses m et M, transportée la masse totale m + M, puis nous chercherons le point E tel que le produit CE X (//i -f- M) = ED X k, et ainsi de suite jusqu'à Tépuisement de toutes les masses. On démontre : 1" que le point barycentre général ainsi trouvé est indépendant de Tordre dans lequel ont été successivement prises les diflFérentes masses; 2" que, si le système est supposé pesant et de dimensions assez restreintes pour que les forces de la pesanteur puissent être considérées comme parallèles en tous les points du système, c*est par le barycentre ou centre de masse que passe la résultante des forces de la pesanteur; il prend alors le nom de centre de gravité.

Fio. 37.

Ceci posé, nous allons démontrer la proposition suivante : si deux corps non élastiques se meuvent à la rencontre l'un de Tautre avec des quantités de mouvements égales : 1** leur centre de masse est immobile; 2" ils se rencontrent en ce centre de masse ; 3° après le choc ils restent immobiles.

Soient t; et m, V et M les vitesses et les masses des points A et B [fig, 37) ; ils se déplacent dans le sens des flèches, soit d^ = OA, Dq = OB les distances de ces points à une origine 0, au commencement de Fexpérience; déterminons la position des masses au bout du temps /. La distance OA sera devenue d^=^d^ \ vt\ la distance OB, D = Dq — V/.

Le choc 8 lieu lorsque les distances OÂ et OB sont égales, c'est-à-dire à une époque déterminée par la rela-

tionrf= Doudo-^vt^Do— Yt. D'où t =5û-^=-^.

Pour trouver la distance du point de rencontre C à l'origine, soit L, il suffit de chercher la distance à l'origine du point A à cette époque, c'est-à-dire substituer la valeur

/ = ^ ^ ^ dans les relations rf = /i^ -[- vt^

d ou L = -*'r7 — ; ^•