V -h tJ

Déterminons maintenant le centre de la masse. C'est un point Ct tel que l'on ait AC, X w == BC, X M. Soit L» la distance OCi, on a :

AC, = L, - rf BCi = D — L|.

Le point Ci est donc déterminé par l'équation :

{U — d)m= (D— LOM, et remplaçant d par do -f- «/, D par Dq — V/, il vient :

j Mly^-i- mdo mv — MV

Or, par hypothèse, mv = MV. On en déduit facilement :

Ve/o + yDo

Le centre de gravité est fixe et coïncide avec le point de rencontre.

Enfin, je dis qu'au moment du choc les mouvements se détruisent réciproquement. Car, la réaction étant toujours égale à Faction, il naît entre les corps pendant le choc des forces égales et opposées; les impulsions produites de part et d'autre sont constamment égales, et, puisqu'elles sont mesurées par les quantités de mouvement qui sont égales, suivant l'hypothèse, les deux corps seront réduits au repos en même temps. Comme ils sont parfaitement durs, c'est-à-dire privés d'élasticité, ou parfaitement mous, rien ne leur rendant le mouvement qu'ils auront perdu, ils resteront au repos.

Voici une seconde proposition qui complète la précédente. Si les deux corps qui se meuvent l'un contre l'autre avec des vitesses réciproquement proportionnelles aux masses, ou, ce qui revient au même, avec des quantités de mouvement égales, sont parfaitement élastiques, je dis : V qu'après le choc chacun d'eux se meut en sens contraire, avec sa première vitesse et, par conséquent, avec sa première quantité de mouvement; 2* que leur commun centre de masse demeure aussi immobile après le choc qu'il Tétait avant.

En effet, supposer les corps parfaitement élastiques, c'est admettre que dans le choc, au moment où les vitesses sont réduites à zéro, il s'est formé entre les deux corps comme un ressort bandé qui commence alors à se débander en faisant, de part et d'autre, sur les deux corps des efforts égaux pour les éloigner l'un de l'autre. Chaque corps oppose au mouvement, par son inertie, une résistance proportionnelle à la masse, d'où il suit que, lorsque le ressort est entièrement débandé, les deux corps continuent à se mouvoir en sens inverse de leur premier mouvement avec des vitesses égales aux vitesses qu'ils

ETUDE DBS IMPULSIONS 211

possédaient primitivement; ces vitesses ont seulement changé de direction. Quant au centre de masse, je dis qu'il coïncide toujours avec le lieu du choc ; car, puisque Ton a mt; = MV, après un temps t quelconque, on a encore mr/=MV^, or, î;/=CA, V/= CB, d'oùmCA= MCB. Le point C reste donc bary centre.

Le problème du choc des corps est donc complètement résolu pour des corps non élastiques parfaitement durs ou parfaitement mous et pour des corps complètement élastiques, au moins dans le cas où les quantités de mouvement des deux corps sont égales. Mais on peut ramener tous les cas à celui-ci par un artifice de raisonnement dû à Bernouilli.

Il remarque que, si deux ou plusieurs corps qui se meuvent sur un plan ou dans un espace quelconque viennent à se rencontrer et à se heurter les uns les autres de telle manière qu'on voudra, les mouvements qui résulteront de leur choc seront les mêmes les uns par rapport aux autres, soit que le plan ou l'espace dans lequel ils sont soit en repos, soit qu'il se meuve lui-même d'un mouvement uniforme. Car la force du choc dépend seulement des vitesses relatives. Or, ces vitesses ne changent pas avant le choc, soit que le plan ou l'espace soit sans mouvement, soit qu'il se meuve uniformément suivant une direction donnée ; les vitesses relatives seront donc les mêmes après le choc. C'est une application d'une proposition générale sur les forces intérieures que nous avons eu l'occasion de démontrer.

Partant de là, pour résoudre le problème de la communication du mouvement, il n'y a qu'à supposer que le mouvement des corps se fait sur un plan auquel on impose arbitrairement un mouvement égal et opposé à celui du

centre de gravité, ce qui ne change rien aux chocs des corps sur ce plan. De cette manière et par rapport aux objets qui sont en repos absolu, le centre de gravité n'aura point de vitesse; les corps A et B auront même quantité de mouvement; nous sommes ramenés au cas précédent. Chacun des corps est repoussé après le choc avec la vitesse qu'il avait avant le choc.

Ceci posé, il nous est bien facile de donner les formules générales qui résolvent le problème du choc des deux corps ; nous avons en effet plus haut calculé la vitesse du centre de gravité ou barycentre ; car nous avons obtenu pour sa distance au point 0, origine, l'expression :

, MDq + mrfo mv — MV

Cela revient à dire que sa vitesse est

mv — MV m + M

vitesse dirigée. à partir de l'origine vers la droite.

Imprimons au plan et aux corps qu'il supporte une vitesse égale dirigée vers la gauche. Dans ces conditions, la vitesse définitive du point A est y — u vers la droite, la vitesse du point B est V + w vers la gauche. Pendant le choc le centre de gravité étant immobile, après le choc la vitesse du point A est v — u vers la gauche ; et celle du point B, V + w vers la droite. Arrêtons maintenant le plan auxiliaire, ce qui revient à restituer aux corps qu'il supporte une vitesse u vers la droite ; la vitesse du point A devient v — 2u vers la gauche ; la vitesse du point

B, V H- 2w vers la droite ; soient wetVf ces vitesses, on a en définitive :

^^ (M — m)v-\-2MV ^y (m — M)V + 2mt; m + M m + M

Si les corps n'avaient pas été élastiques, après le choc ils auraient été ramenés au repos. Mais, par Tarrèt du plan auxiliaire, ils auraient pris vers la droite une vitesse :

mv — MV m + M .

On voit que de toute façon le centre de masse conserve dans le choc son mouvement en vitesse et en direction, ou, ce qui revient au même, la somme des quantités de mouvement reste constante, pourvu que Ton considèro comme positives les quantités dont les vitesses sont dirigées en un sens, et négatives celles dont les vitesses sont dirigées en sens contraire. En effet, la vitesse du centre de gravité est donnée par la formule :

mv — MV

Or mv — MV représente justement la somme des quantités de mouvements ainsi calculée; on voit qu'elle est égale au produit de la vitesse du centre de gravité par la somme des masses. Il revient donc au même de dire que la somme des quantités de mouvement se conserve, avec la restriction indiquée, ou de dire que la vitesse du centre de gravité est invariable.

Mais nous reviendrons plus loin sur cette importante question de la conservation de la quantité de mouvement.

ÂTUDE DBS IMPULSIONS

Les lois de la communication du mouvement ont fait travailler les physiciens à un point qu'on ne saurait croire, vu le peu de place que cette question occupe dans les traités de physique modernes; cependant jusque vers 1670 on ne sut rien d'exact. Presque en même temps Wrenn, Wallis et Huyghens donnèrent la solution du problème et

Mariotte, en 1679, publia une très remarquable et très longue série d'expériences d'une précision qui n'était pas habituelle à cette époque.

Le principe de sa méthode expérimentale est excellent :

il s'agissait de faire en sorte que deux corps se rencontrent directement avec des vitesses qui soient l'une à l'autre en telle raison que Ton voudra. Il y parvint en utilisant les propriétés du pendule. On sait que la vitesse qu'un grave possède dans un plan horizontal est indépendante du chemin qu'il a parcouru et ne dépend que de la hauteur de la chute ; de plus, que cette vitesse est proportionnelle à la racine carrée de cette hauteur. Soit donc un poids suspendu à un cordon de longueur BE = /; si on lâche le poids d un point G, la vitesse sur la verticale BE est proportionnelle à V^DE {fig.dS). Or, dans la circonférence construite avec BE comme rayon, on a CE2 = 2/.DE, CE = V2l VUE. La corde CE est donc proportionnelle à la racine carrée de la longueur DE. Donc

ÉTUOE DES IMPULSIONS 215

la vitesse du mobile en E est proportionnelle à la corde CE et sensiblement à Tare CE, tant que cet arc correspond à un angle moindre que 15®. De plus, Fexpérience montre qu'un pendule lâché du repos, alors qu'il fait un angle quelconque, mais petit, avec la verticale parvient toujours dans le même temps à cette verticale. Donc les deux balles E et F lâchées en même temps de deux points C et I correspondant à des arcs inégaux CE et FI parviennent ensemble sur la verticale et s'y choquent avec des vitesses connues proportionnelles aux arcs CE et FI. g^

Les résultats des expériences sont conformes à la théorie. Nous allons seulement discuter quelques expériences sur la chute des corps qui servent d'illustration à des idéeâ singulières de Descartes, et qu'il est bon de connaître pour la suite.

Nous avons vu que Descartes avait cherché à comparer le choc et la pesanteur; et voici quelles considérations l'avaient amené à se poser ces questions ; elles se rat* tachent d'ailleurs à son système général des tourbillons : c< La force de la percussion, dit-il, ne dépend que de la vitesse du mouvement. Car il faut savoir, quoique Galilée et quelques autres disent le contraire, que les corps qui commencent à descendre ou à se mouvoir en quelque façon que ce soit ne passent point par tous les degrés de tardiveté ; mais que, dès le premier moment, ils ont une certaine vitesse qui s'augmente beaucoup après, et c'est de cette augmentation que vient la force de la percussion. Par exemple, si le marteau A pèse 100 livres et qu'il ait seulement un degré de vitesse, lorsqu'il commence à descendre de soi-même, il ne pressera Tenclume B que de la force que donne ce degré de vitesse à cent livres ; et, si un autre marteau qui ne pèsera qu'une livre acquiert

100 degrés de vitesse en tombant sur cette enclume de 5 ou 6 pieds de haut, il la pressera aussi fort que le marteau A. Or, la main conduisant ce marteau peut en augmenter la vitesse de plusieurs milliers de degrés ; le marteau a dix mille fois plus de force que lorsqu'il est posé fort doucement. Cela ne vient que de ce qu'au moment qu'il rencontre cette enclume il est en train de se mouvoir dix mille fois plus vite. » Mariotte renchérit naturellement sur le dire du maître. Il pose d'abord cet avertissement : « Galilée a fait quelques raisonnements pour prouver qu'au premier moment qu'un poids commence à tomber, sa vitesse est plus petite qu'aucune qu'on puisse déterminer. Mais ces raisonnements sont fondés sur les divisions à l'infini, tant des vitesses que des espaces passés et des temps des chutes, qui font des raisonnements très suspects, comme celui que les anciens faisaient pour prouver qu'Achille ne pourrait jamais attraper une tortue; auquel raisonnement il est difficile de répondre et donner une solution... » On ne peut guère en vouloir à Mariotte, en 1679, de ne pas être au courant du calcul des infiniment petits, bien qu'Archimède en ait connu suffisamment pour la réfutation de ces ridicules problèmes classiques.

Mariotte ne s'en tient pas là à ce raisonnement et, reprenant l'expérience indiquée par Descartes, il cherche à démontrer que la vitesse « de passer un espace de deux lignes en une seconde », c'est-à-dire une vitesse de 4°^°*,5 par seconde, est certainement moindre que celle que possèdent les corps pesants au commencement de leur chute. Pour le montrer, il prend de petits canons en verre qu'il place sur un plan et charge de poids jusqu'à les écraser. Puis, il laisse tomber de médiocre hauteur des poids de fer, et il augmente ces poids jusqu'à ce que derechef les

bouts de verre soient écrasés. « Or, si par exemple il fallait 400 livres de poids pour écraser le petit cylindre et -que, laissant tomber de 7 pouces (0",19) un poids de

2 livres 2 onces, il en écrasât un semblable, on ferait

<;ette analogie, comme 400 est à 2 livres -' ainsi une

vitesse à parcourir 830 lignes (1"',87) en une seconde, qui «st la vitesse acquise pendant la chute, est à 4 lignes et un peu plus. D'où vous pourrez juger que la première vitesse d'un poids de 400 livres, qui commence à tomber dans un air calme, est telle qu'il pourrait faire quatre lignes (9"°*) en une seconde, s'il continuait à se mouvoir uniformément selon cette première vitesse. »

Nous avons vu que ces expériences ne prouvaient rien ; 'elles n'en sont pas moins curieuses, car elles montrent combien cette idée de percussion que nous venons d'étudier, 4tait délicate et que des notions exactes de calcul différentiel étaient indispensables pour la bien comprendre.