CHAPITRE X

DES LOIS DU GHOG DANS DBSGARTES

Nous avons donné tant de preuves du génie de Descartes qu'il ne paraîtra pas injuste que nous insistions sur ses erreurs. Elles ont eu, au xv!!** siècle, un immense retentissement ; elles ont poussé la mécanique vers des progrès inattendus, car une grande idée fausse est souvent plus profitable qu'une médiocre qui serait vraie. Enfin, leurdiscussion nous permet de traiter plusieurs questions intéressantes et curieuses.

Toute la dynamique de Descartes est basée sur le choc et les lois du choc tirées de l'immutabilité divine. « De cela aussi, dit-il, que Dieu n'est point sujet à changer et qu'il agit toujours de même sorte, nous pouvons parvenir à la connaissance de certaines règles que je nomme les lois de la nature et qui sont les causes secondes des divers mouvements que nous remarquons en tous les corps, ce qui les rend ici fort considérables.

— La première est que chaque chose, en particulier, continue d'être en même état autant qu'il se peut et que jamais elle ne change que par la rencontre des autres. Ainsi nous voyons tous les jours que, lorsque cette matière

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est carrée, elle demeure toujours carrée, s'il n'arrive rien d'ailleurs qui change sa figure; et que, si elle est au repos, elle ne commence point à se mouvoir de soi-même ; mais, lorsqu'elle a commencé une fois de se mouvoir, nous n'avons aussi aucune raison de penser qu'elle doive jamais cesser de se mouvoir de même force pendant qu'elle ne rencontre rien qui retarde ou arrête son mouvement.

De façon que, si un corps a commencé une fois de se mouvoir, nous devons conclure qu'il continue par après de se mouvoir et que jamais il ne s'arrête de lui-même.

— La seconde loi que je remarque en la nature est que chaque partie de la matière en son particulier ne tend jamais à continuer de se mouvoîrsuivant des lignes courbes, mais suivant des lignes droites, bien que plusieurs de ses parties soient souvent contraintes de se détourner parce qu'elles en rencontrent d'autres en leur chemin. Celte règle dépend de ce que Dieu est immuable et conserve le mouvement par une opération très simple.

— La troisième loi que je remarque en la nature est que, si un corps qui se meut et qui en rencontre un autre, a moins de force pour continuer de se mouvoir en ligne droite que cet autre pour lui résister, il perd sa détermination sans rien perdre de son mouvement; et que, s'il a plus de force, il meut avec soi cet autre corps et perd autant de son mouvement qu'il lui en donne. Ainsi nous voyons qu'un corps dur que nous avons poussé contre un autre plus grand qui est dur et ferme rejaillit vers le côté d'où il est venu et ne perd rien de son mouvement ; mais que, si le corps qu'il rencontre estmou, il s'arrête incontinent, parce qu'il lui transfère tout son mouvement.

On connaîtra mieux la vérité de la première partie de

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cette règle si on prend garde à la différence qui est entre le mouvement d'une chose et sa détermination vers un côté plutôt que vers un autre, laquelle différence est cause que cette détermination peut être changée sans qu'il y ait rien de changé au mouvement. Car de ce que chaque chose telle qu'elle est continue toujours d'être en soi simplement et non pas comme elle est en regard des autres, il faut nécessairement qu'un corps qui se meut et qui en rencontre un autre si dur qu'il ne saurait le pousser, perde entièrement la détermination qu'il avait à se mouvoir vers ce côté-là; mais il ne faut point qu'il perde pour cela de son mouvement. D'autant qu'un mouvement n'est point contraire à un autre mouvement plus vite ou aussi vite que soi ; el qu'il n'y a contrariété qu'en deux façons seulement, à savoir entre le mouvement et le repos, ou bien entre la vitesse et la tardiveté du mouvement en tant que cette tardiveté participe de la nature du repos ; et entre la détermination qu'a un corps à se mouvoir vers quelque côté et la résistance des corps qu'il rencontre en son chemin.

On connaîtra mieux aussi la vérité de la seconde partie de cette règle si on prend garde que Dieu ne change jamais sa façon d'agir et qu'il conserve le monde avec la même action qu'il l'a créé. Car, tout étant plein de corps et néanmoins chaque partie de la matière tendant à se mouvoir en ligne droite, il est évident que dès le commencement que Dieu a créé la matière, non seulement il a mû diversement ses parties, mais aussi qu'il les a faites de telle nature que les unes ont dès lors commencé à pousser les autres et à leur communiquer une partie de leur mouvement; et parce qu'il les maintient encore avec la même action et les mômes lois qu'il leur a fait observer

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en leur création, il faut qu'il conserve maintenant en elles tout le mouvement qu'il y a mis dès lors, avec la propriété qu'il a donnée à ce mouvement de ne pas toujours demeurer attaché aux mêmes parties de la matière et de passer des unes aux autres, selon leurs diverses rencontres; en sorte que ce continuel changement qui est dans les créatures ne répugne en aucune façon à l'immutabilité qui est en Dieu et semble même servir d'argument pour le prouver. »

Voilà l'ensemble du système de Descartes ; nous allons d'abord le discuter avant d'étudier en détail les règles qu'il en déduit. Les deux premières lois énoncent seulement le principe de l'inertie, elles sont inattaquables. Il n'en est pas de même de la troisième qui renferme l'affirmation que la même quantité absolue de mouvement se conserve. Nous savons déjà que la loi est fausse et que ce n'est pas la somme des valeurs absolues des quantités de mouvement qui est constante, mais la somme algébrique, les vitesses comptées sur une droite étant prises positivement de droite à gauche par exemple et négativement de gauche à droite. Mais il est intéressant d'étudier l'argumentation elle-même de Descartes.

On lit dans un mémoire d'un monsieur Carré, membre de l'Académie, mémoire publié en 1706, le passage suivant : « Il y a eu de grands philosophes et il y en a encore qui soutiennent que Dieu conserve toujours une égale quantité absolue de mouvement dans la nature, parce que tout autre principe leur parait ne pas pouvoir s'accorder

avec rimmutabilité de Dieu ni avec les lois générales suivant lesquelles il a construit et conservé ce vaste univers ; ce qui parait d'abord très vraisemblable, Qt il n'y a guère que Texpérience qui en puisse faire voir la fausseté. Mais parce que les expériences sur les corps durs à ressort ne sont pas d accord avec ce principe, puisque dans une infinité de chocs il y a du mouvement qui se perd et d'autre qui se rétablit; il a fallu en chercher un autre qui ne s'oppos&t ni à l'immutabilité divine ni aux expériences. » Nous avons déjà dit combien cette manière de raisonner, si naturelle au XVII* siècle, est contraire aux habitudes

d'esprit des savants d'aujourd'hui. 11 n'y a pas un principe si évident qu'il paraisse qu'on puisse opposer à une

expérience bien faite ; et, de plus, les savants se soucient infiniment peu de connaître les raisons premières des phénomènes, sachant par l'expérience de Thistoire que c'est un leurre de les chercher. Non qu'ils dédaignent toutes les spéculations des métaphysiciens ; mais ils considèrent ceux-ci comme parlant une langue spéciale, les attendent au passage de la théorie à l'application et se donnent le plaisir du spectacle de leur embarras.

Donc les lois du choc ou l'immutabilité divine devaient subir une transformation ; c'est Dieu qui céda. Le Révérend Père Malebranche trouva le dénouement du mystère. « Dans cette proposition, dit-il — Dieu conserve toujours dans l'univers une égale quantité de mouvement, — il y a une équivoque qui fait qu'elle est vraie en un sens et fausse en un autre, conforme ou contraire à l'expérience. Elle est vraie en ce sens que le centre de pesanteur de deux ou plusieurs corps qui se choquent se meut toujours de môme vitesse avant et après le choc. De sorte qu'il est vrai de dire que Dieu conserve toujours de même part le même

transport de matièi'e. Elle est fausse et eontraire à Texpérience prise en ce sens ^e la quantité absolue de mouvement demeure la même. »

Immédiatement d'ailleurs on tomba d'accord pour reconnaître que cette loi porte « beaucoup plus le caractère des attributs divins. Car le mouvement de tous les corps en général est toujours le même; tout demeure, pour ainsi dire, dans un parfait et immuable équilibre. Il est clair que Dieu agit toujours de la même manière, avec uniformité, une parfaite simplicité, puisqu'il observe sans cesse cette loi dans les chocs infinis des corps, que leur centre de pesanteur demeure au repos, ou se meuve toujours, nonobstant le choc, avec la même vitesse ; et par conséquent qu'il y ait toujours dans toutes les parties de l'univers prises ensemble le même mouvement et la même force ».

Il y a fort à parier que, si l'expérience avait indiqué une autre loi, on aurait trouvé qu'elle exprime remarquablement la sagesse et les autres attributs du créateur.

Laissons donc tous ces raisonnements, qui sont des curiosités historiques, et discutons les difficultés qui sont les conséquences nécessaires du principe de la conservation de la quantité absolue du mouvement.

En premier lieu, il y a contradiction entre ce principe et les règles de la composition des mouvements. Un mouvement ÂB [fxg, 39) peut et re remplacé par deux mouvements AH et AC qui sont les deux côtés d'un parallélogramme dont le mouvement AB est la diasconale. Car il est évident

que, si le mobile  décrit en un certain temps la droite AH sur un plan mobile qui se déplace de lui-même dans le même temps de la longueur AC, il parviendra au bout de ce temps au point B. Mais il est non moins évident que AB < AH -h AC et que, puisque nous pouvons représenter au point A les vitesses par l'espace qu'elles feraient parcourir au mobile dans l'unité de temps, la conservation de la quantité absolue de mouvement n'a pas lieu dans le remplacement de la vitesse AB par ses composantes AH etAC.

Or, Descartes connaissait parfaitement ces conséquences; il s'en est tiré par de subtiles distinctions absolument inadmissibles. Car, et c'est là un fait entièrement remarquable, toute ssiDioptrique^ qui est peut-être son œuvre la plus parfaite, est basée sur cette décomposition des vitesses dont il niait implicitement la possibilité.

« Il faut remarquer, dit-il, dans sa Dioptrique^ que la détermination à se mouvoir vers quelque côté peut, aussi bien que le mouvement et généralement que toute autre sorte de quantité, être divisée en toutes les parties desquelles on peut imaginer qu'elle est composée. Et on peut imaginer que la détermination à se mouvoir de la balle qui se meut de A à B est composée de deux autres dont l'une la fait descendre suivant AC, et l'autre aller à gauche suivant AH. »

Naturellement on se demanda pourquoi Descartes employait cette expression : « détermination à se mouvoir » ; et Hobbes,dans une critique de la Dioptrique ^Aïi qu'ilaurait mieux valu, « au lieu de la détermination, dire le mouvement déterminé ».

Descartes se défendit avec d'autant plus de soin qu'il sentait que son système entier en dépendait. « Bien qu'on

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puisse dire, écrit-il au Père Mersenne, en lôil, que la vitesse de la balle qui va de â en B soit composée de deux autres vitesses, à savoir celle de A vers H et celle d'A vers C, j'ai cru devoir m^abstenir de cette façon de parler, de peur que par là Ton en vînt à entendre que, dans le

mouvement ainsi composé, la quantité de ces vitesses et la proportion de l'une à l'autre demeurent, ce qui n'est nullement vrai. Car, si cela était, si nous supposions, par exemple, qu'une balle fût mue d' A vers la droite avec 1 degré de vitesse et de haut en bas pareillement avec 1 degré : elle parviendra en B avec 2 degrés de vitesse, dans le même temps qu'une autre balle qui serait aussi mue de A vers la droite avec 1 degré et de haut en bas avec 2 degrés parviendra en G avec 3 degrés de vitesse ; d'où il arriverait que la proportion de la ligne AB à la ligne AG serait

comme 2 à 3, laquelle est toutefois comme 2 à V^IO, etc. »

Hobbes, et en cela il avait raison, ne fut pas ^

très convaincu par cette réponse, qui suppose implicitement ce qu'il fallait démontrer, la nécessité de la conservation de la quantité absolue de mouvement.

Il répond par un raisonnement très compliqué auquel Descartes déclare ne rien com- .prendre. Descartes reproche entre autres choses à Hobbes jde composer des déterminations à se mouvoir avec des mouvements déterminés entre lesquels il faut pourtant

avouer qu'on ne saisit pas très bien de différence. Si l'argumentation de Descartes a un sens, il ne peut être que le suivant : Soient plusieurs déterminations à se mouvoir AB, AC, AD [fig. 40). Composons-les suivant la règle du parallélogramme : nous obtenons ainsi une direction AM sur laquelle, pour avoir le n: ouvement vrai, nous devons prendre une longueur non pas égale à AM, mais bien à AN = AB + AC + AD. Voilà où commence la difficulté ; la vitesse réelle est donc dirigée suivant AM et égale à AN. Supposons que le mobile, déjà parti pour gagner le point N, reçoive alors une nouvelle détermination AP; comment composerons-nous ce mouvement réel AN et cette détermination? C'est ce que Descartes a oublié de nous dire. On peut résumer ce qui précède en quelques mots : la composition des mouvements cesse d'être indépendante de Tordre dans lequel on les compose. Et Doscartes n'a jamais pu se tirer de cet embarras.

On peut envisager la question sous une forme un peu plus générale qui nous amène à parler des quantités vectorielles et scalaires.

Il existe deux sortes de grandeurs. Les unes sont des quantités numériques ordinaires, généralisées en ce sens que par convention elles peuvent se trouver précédées du signe -h ou du signe — . Ces signes ne font pas entre les quantités numériques des différences qualitatives, mais servent à les grouper en deux séries admettant comme origine commune le et divergeant dans les deux sens. Ces quantités portent le nom de scalaires, parce qu'on peut les con-

cevoir comme formant les degrés d'une échelle qui s^étendrait en ligne droite depuis les quantités négatives très grandes jusqu'aux quantités positives très grandes. Un mobile se déplacerait sur cette échelle et servirait d'index, désignant par sa position la quantité scalaire, autrement dit, la valeur du scalar. La direction que Téchelle pourrait occuper dans l'espace n'importe pas ; la valeur du scalar en est indépendante. Quand nous disons que l'énergie potentielle d'un corps est 20 kilogrammètres, nous avons tout dit; l'énergie potentielle, étant un scalar, est complètement définie.

Les autres quantités qu'on rencontre en mécanique sont appelées vectorielles; ce sont des vecteurs. Elles ont les attributs de la droite ; elles sont définies non seulement par leur longueur, mais par leur direction. A l'aide d'un vecteur, nous voyageons à partir de l'origine A du vecteur jusqu'à son extrémité B (/î.9. 41). C'est « un véhicule qui transporte un certain point mobile de A en B, en décrivant cette droite AB ». Par essence le vecteur représente un déplacement fini dans l'espace. Une quantité de mouvement est un vecteur, c'est-à-dire une quantité dirigée : il ne suffirait pas de poser que la quantité de mouvement est tel nombre, pour qu'elle soit complètement définie ; il faut ajouter les éléments nécessaires pour déterminer la direction du vecteur.

Parmi les scalars fondamentaux, nous citerons la force vive, le travail, la chaleur, les potentiels; parmi les quantités vectorielles, les vitesses, les quantités de mouvement, les accélérations, les forces, les intensités des champs élec* triques ou magnétiques.

Cela posé, il devient évident qu'un principe de conservation aura un énoncé tout différent s'il s'applique à dés quantités scalaires ou à des quantités vectorielles. . Puisqu'il est de l'essence d'un scalar d'être complètement connu par sa valeur numérique précédée de son signe, dire que des quantités scalaires se conservent revient à dire que leur somme algébrique est constante. Au contraire, pour les quantités dont c'est l'essence d'être dirigées, un principe de conservation implique que la résultante des vecteurs ait une longueur et une direction constantes. Bien entendu, le problème est encore indéterminé, puisque nous n'avons pas encore dit comment se déterminerait la résultante des vecteurs.

Nous avons déjà rencontré certains vecteurs — les forces ; — nous avons traité de leur composition et montré que la résultante de deux vecteurs ayant une même origine est la diagonale du parallélogramme construit sur ces vecteurs comme côtés; mais de ce qu'une telle règle s'applique aux forces, il ne s'ensuit pas qu'elle soit générale et nécessaire, ou du moins il faut préciser à quelles conditions elle s'impose. Nous allons entrer dans quelques détails sur les propriétés des opérations algébriques.

Représentons par le signe û un opérateur, c'est-à-dire désignons par ce signe le symbole d'une opération. Il pourra signifier, par exemple. Tune des opérations arithmétiques. Soient maintenant des quantités a, 6, c quelconques, vectorielles ou scalaires ; une opération entre ces quantités est représentée par le symbole ttûftOc. L'opération est dite commutative, si on peut poser :

aQbQc = aQcQb = bQaQc. etc.

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Exemple : Taddition est commutative, car on a :

2+3 + 5 = 2 + 5 + 3 =5+2+3, etc.

L'opération est dite associative, si on peut poser :

aQbOc= a {Qbùc) = {aùb) ûc.

Exemple : Taddition est associative, car on a :

La multiplication est associative, car on a :

Nous pouvons maintenant nous proposer la recherche d'une opération associative et commutative appliquée à des vecteurs. Or, nous n'en trouvons qu'une seule que nous appellerons addition et qui consiste précisément à prendre pour somme de deux vecteurs la diagonale du parallélogramme construit sur ces vecteurs comme côtés. La soustraction rentre dans cette opération à la condition de prendre le vecteur à soustraire en sens contraire en lui conservant sa longueur et de lui appliquer la règle précédente d'addition. Voilà pour quelle raison générale la règle de Descartes devait conduire à des résultats ne satisfaisant pas au principe de Tassociabililé et de la commutabilité.

On voit maintenant avec quelles règles générales le principe de Descartes est en contradiction : d'abord, c'est un principe de conservation entre quantités vectorielles,

dans lequel elles sont traitées comme des quantités scalaires ; de plus, les opérations que ce principe suppose implicitement ne sont ni associatives ni commutatives.

Des lois qu'il pose, Descartes déduit une série de règles; quelques-unes sont des conséquences nécessaires des lois, d'autres en sont indépendantes.

On suppose en général : 1* ou bien que les corps sont ou parfaitement durs ou parfaitement mous, c'est-à-dire qu'ils sont incapables de changer de figure par le choc^ ou que, s*ils en changent, ils ne reprennent point celle qu'ils avaient auparavant, en un mot, qu'ils sont sans ressort : car un corps à ressort n'est ni parfaitement dur, ni parfaitement mou, puisqu'il reprend ensuite sa première figure ; 2^ ou bien que les corps sont à ressort parfait, c'est-à-dire qu'ils reprennent exactement leur figure première. Descartes suppose, au contraire, que les corps parfaitement durs sont à ressort parfait : c'est donc dans cette hypothèse qu'il faut juger ses règles. Son erreur (d'ailleurs fort excusable, car les idées sur l'élasticité au commencement du xvii^ siècle étaient des plus sommaires) provient de ce qu'il confond les deux sens du mot élastique.

On lit dans une lettre de 1641 : « Je demeure bien d'accord que la portion de la terre sur laquelle tombe une balle cède et prête tant soit peu, comme aussi que la partie de la balle qui touche la terre se recourbe un peu en

dedans; mais je soutiens que le bond qu elle fait est toujours plus empêché de ce que la balle et la terre cèdent

Tune et Tautre, qu'il n'est aidé de leur ressort. Il est incroyable et contre le sens commun qu'on puisse dire que, si la terre et la balle étaient si dures qu'elles no pussent en aucune façon prêter ou se courber en dedans, il ne se ferait aucune réflexion. »

Mais ce n'est pas seulement parce que la balle et la terre cèdent (sont élastiques au sens vulgaire du mot) qu'il y a rebondissement, c'est parce qu'après avoir cédé elles ont plus ou moins le pouvoir de reprendre leur forme primitive (sont élastiques au sens scientifique du mot).

Fio. 42.

Rappelons, pour faciliter les comparaisons, les formules que nous avons démontrées au chapitre précédent. Les corps sont A et B, y et V leurs vitesses, m et M leurs masses; le premier va de gauche à droite, le second de droite à gauche. Si les corps sont sans ressort, la vitesse après le choc est commune, dirigée vers la droite et égale à :

mv — MV

Si les corps sont à ressort parfait, la vitesse est pour le corps A vers la gauche :

(M — m)v-h2My .

pour le corps B vers la droite :

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On se souviendra que toute vitesse comptée négativement doit être prise en sens inverse.

Par exemple, si w est négatif, le point A après le choc va vers la droite ; de même si W est négatif, le point B après le choc se dirige vers la gauche.

RÈGLES DE DESGARTES

I. — La première est que, si deux corps B et G étaient exactement égaux et se mouvaient d'égale vitesse en ligne droite l'un vers l'autre, lorsqu'ils viendraient à se rencontrer, ils rejailliraient tous deux également et retourneraient chacun vers le côté d'où ils seraient venus, sans perdre rien de leur vitesse ; car il n'y a point en cela de cause qui la leur puisse ôter, mais il y en a une fort évidente qui les doit contraindre de rejaillir et, parce qu'elle serait égale en l'un et l'autre, ils rejailliraient tous deux en même façon.

Cette règle est vraie pour les corps à ressort ; les formules donnent en effet e^ = f = V, W = t; = V. Leibnitz la trouve même manifeste d'elle-même. Cette règle est à la rigueur fausse, puisque, ainsi que nous l'avons fait remarquer, les corps absolument durs sont sans ressort et, par conséquent, ne peuvent rejaillir. On trouve en

effet dans ce cas w = o.

II. — La seconde règle est que, si B était tant soit peu plus grand que C et qu'ils se rencontrassent avec la même vitesse, il n'y aurait que C qui rejaillirait vers le côté d'où il serait venu et ils continueraient par après leur mouvement tous deux ensemble vers ce même côté; car,

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B ayant plus de force que G, il ne pourrait être contraint par lui de rejaillir.

III. — La troisième que, si ces deux corps étaient de même grandeur, mais que B eût tant soit peu plus de Titesse que G, non seulement après s'être rencontrés C seul rejaillirait et ils iraient tous deux ensemble comme <ievant, vers le côté d'où G serait venu, mais aussi il serait nécessaire que B lui transférât la moitié de ce qu'il aurait de plus de vitesse, à cause que, Tayant devant soi, il ne pourrait aller plus vite que lui ; car il lui est plus aisé de communiquer de ses degrés de vitesse à G qu'il n'est aisé è G de changer le cours de tout le mouvement qui est en B.

Il est extraordinaire que Descartes ait pu énoncer des (ois aussi fausses, bien entendu en admettant avec lui que <ies corps parfaitement durs sont à ressort : car, puisque, lorsqu'il y a égalité parfaite entre les masses et les vitesses, les corps rejaillissent, il est contraire à tous les principes 'de continuité que le rejaillissement cesse dès que les masses ou les vitesses deviennent tant soit peu différentes. Effectivement les formules nous apprennent que les corps continuent à rejaillir : dans le cas où les masses sont tant soit peu inégales, c'est la plus faible qui rejaillit avec le plus de vitesse; si ce sont les vitesses qui diffèrent, les masses étant alors rigoureusement égales, il y a simplement échange des vitesses, de sorte que tout se passe comme si le choc n'avait pas eu lieu. Il se trouve même que dans ce dernier cas la quantité absolue de mouvement se conserve, et Descartes aurait naturellement été amené i énoncer cette règle si ses idées sur la dynamique n'avaient été faussées par une conception singulière de la

force des corps, conception dont la quatrième règle va nous donner la clef.