AB «-'B

Nous avons vu qu'un ensemble de forces est dit avoir un potentiel par rapport à un système de corps quand leur travail reste le même dans le passage du système d'une première position A à une seconde position B, quelles que soient les trajectoires parcourues par les différents points du système. Mais ce n'est là qu'une vue assez superficielle, et il est temps de généraliser nos idées. On conçoit que, si la position dans l'espace des masses qui composent un système le définit complètement dans certains cas, souvent la position des masses est presque indifférente, et l'état de ces masses importe bien plus. Quand un

gramme d'hydrogène s'unit avec huit d'oxygène, il est singulièrement plus utile de considérer Tétat initial et Tétat final des corps en présence que leur situation par rapport à un plan horizontal. — Laissant donc nos premières définitions, 1res claires, mais pas assez profondes, nous dirons qu'un ensemble de forces a un potentiel, par rapport à un système quand leur travail reste le même dans le passage du système d'un premier état A à un second état B, quels. que soient les états intermédiaires traversés par les différentes parties du système.

Or, indépendamment de sa position dans l'espace, l'état d'une petite masse peut être caractérisé par exemple par sa vitesse; c'est même là un état d'une définition très simple, puisque la nature chimique de la petite masse n'est pas modifiée.

Mais la définition de l'état d'un système est un peu plus complexe. Tandis que, par exemple, on peut définir l'état d'une seule masse par sa vitesse, et qu'il n'y a ainsi, à proprement parler, qu'une série infinie d'états possibles ; s'il s'agit de deux corps, il y aura une infinité de séries possibles, puisqu'il suffit de donner à une des masses une vitesse arbitraire, et à l'autre la série infinie des vitesses pour avoir une première infinité d'états ; à chaque vitesse arbitraire du premier corps correspond ainsi une infinité d'états "du système et, par conséquent, il en existe en tout une infinité d'infinités. Et ainsi de suite, à mesure qu'augmente le nombre des masses du système. Mais on conçoit que, sous un point de vue particulier, plusieurs de ces combinaisons soient équivalentes. De même que l'on peut payer une même somme d'un grand nombre de manières en employant des monnaies de valeurs différentes, sans pour cela que le total se trouve modifié, et

que la valeur marchande de cette réunion de pièces ^e^ soit ni augmentée ni diminuée : ainsi, pour les vitesses , nous pouvons caractériser un des états du système, non plus par les valeurs individuelles des vitesses des diffé* rentes masses, mais par la somme des forces vives de chacune des masses. Soit mi, 772i, m^, etc., ces masses ^19 Vfj e^s, etc., les vitesses correspondantes; nous définirons Tétat du système par Texpression :

etc.

que nous appellerons, pour abréger, énergie actuelle. Gela veut dire qu'au point de vue particulier où nous nous plaçons il ne nous importe pas de savoir quelles sont les vitesses individuelles des masses prises isolément, mais simplement la valeur totale de la somme ci-dessus, de cette énergie actuelle.

Et, pour en revenir enfin à noire point de départ, nous disons, par rapport à cette énergie, à cet état choisi, qu'un système de forces a un potentiel, si le travail de ces forces reste le même quand on passe d'une certaine valeur UAde l'énergie actuelle, c'est-à-dire de l'état A, à une autre valeur Ub de cette énergie, c'est-à-dire à l'état B» quels que soient les états intermédiaires, c'est-à-dire les valeurs U prises successivement par Ténergie.

Ceci posé, nous pouvons enfin énoncer le théorème, remarquable suivant : les forces d'inertie admettent un potentiel qui est l'énergie actuelle. En effet, le principe fondamental de la dynamique a pour énoncé : /ab + T^b = o, en appelant /ab le travail des forces d'inertie. Or : Tab = Ub — Ua. Donc : /ab = Ua — Ub, ce qui démontre le théorème.

DBS PORGBS 7IVE8 BT DE LA FORGE DES CORPS 248

Quand des forces admettent un potentiel, le travail positif exécuté par les forces est numériquement égal au décroissement de ce potentiel. Pour employer une expression plus concrète, si le travail que peuvent fournir les forces est déjà actuellement représenté sous une certaine forme que nous avons appelée énergie potentielle, le travail eflectué par les forces quand on passe de la position A à la position B est égal à la diminution de cette énergie et a pour expression Tab == Ea — Eb. L'énergie actuelle n'est donc pas autre chose que l'énergie potentielle des forces d'inertie. Quand la force vive diminue, le travail des forces d'inertie est positif et représenté numériquement par celte diminution. Voici quelques conséquences de ce nouvel énoncé.

Tout d'abord, si les forces qui agissent sur le système sont nulles, ou ont un travail nul, Tab = o. Donc Ub=;Ua, et les valeurs de l'énergie actuelle sont les mêmes pour le premier et le second état. Or, il existe une circonstance très importante où nous sommes sûrs a priori que le Iravail des forces est nul, au moins pour un petit déplacement du système à partir d'une position donnée; c'est celui où les forces se font équilibre, c'est-à-dire où le système demeurerait au repos, si on le supposait un instant au repos. D'où le théorème suivant: Quand un système passe par une de ses positions ou formes d'équilibre, l'énergie actuelle ne varie pas : ce qui revient au même, elle passe par un maximum ou un minimum. Cherchons à préciser ; nous avons vu que, pour Téquilibre stable, le travail des forces pour un petit déplacement fini, à partir de la position d'équilibre, est négatif. Appelons A la position d'équilibre, B cette position voisine : si l'équilibre est stable, on a Tab < o, puisque le travail des forces est résis-

tant, conséquemment Ub < Ua : donc l'énergie actuello passe par un maximum.

Exemple : Un pendule est à l'état d'équilibre stable, si la corde est verticale et le poids en bas ; donc, si le pendule fait des oscillations, le maximum de vitesse correspond au passage par la verticale. Ce même pendule, supposée la tige rigide, a une position d'équilibre instable, lorsque le poids est sur la verticale du point de suspension mais au dessus ; si donc on lance le pendule avec une vitesse suffisante pour qu'il décrive, non plus des va-etvient, mais des cercles complets, le minimum de la vitesse aura lieu lors du passage supérieur à la verticale.

Ce principe a été énoncé par le marquis de Courtivron, dans Y Histoire de r Académie pour 1749 sous la forme suivante : « Principe nouveau. De toutes les situations que prend successivement un système de corps animés par des forces quelconques et liés les uns aux autres par des fils, par des leviers ou tel autre moyen qu'on veuille supposer, celle où le système a la plus grande somme de produits des masses par le carré des vitesses, c'est-à-dire la

plus grande force vive, est la même situation que celle où il le faudrait placer en premier lieu, pour qu'il restât en équilibre. »

Une autre conséquence importante s'applique au cas où les forces mesurées par leurs effets statiques admettent un potentiel ; si l'on veut, s'il leur correspond une énergie potentielle E. Soient E^ et Eb les valeurs de cette énergie dans les situations A et B, on peut poser T^b = Ea — Eb- Or, on a aussi Tad = Ub — Ua ; d'où enfin :

Ea - Eb = Ub - Ua, Ea -h Ua = Eb + Ub

résultat qui s'énonce de la manière suivante :

La somme de l'énergie potentielle et de l'énergie actuelle est une quantité constante ; si la seconde croît, la première décroit d'autant ; inversement, à une diminution de la première correspond un accroissement de la seconde. Enfin, si on englobe les deux sortes d'énergie sous le même vocable d'énergie, on peut dire que l'énergie d'un système se conserve.

Mais il importe, de le redire à satiété; ce ne sont encore là que des manières de parler. Nous n'avançons, en employant ces formes, rien que de connu; nous ne faisons qu'énoncer d'une façon rapide et commode le résultat de nos hypothèses fondamentales, à savoir : V qu'il y a équilibre dans une situation, lorsque, pour un petit mouvement à partir de cette situation, le travail des forces est nul ; 2** que l'on peut appliquer le même principe aux forces d'inertie. Tout le reste n'est qu'une déduction nécessaire et mathématique, indiscutable une fois les principes admis, et qui ne renferme absolument rien de nouveau. Nous ne sommes pas plus libres de nier ces conséquences que, le postulatum d'Euclide admis, de nier que les trois angles d'un triangle valent deux droits.

La notion de force vive est si fondamentale que nous devons insister sur l'historique de sa découverte, afin de payer à Leibnilz, son auteur, un juste tribut d'admiration. Nous allons donc analyser un petit opuscule, CEssai de dynamique ^ qui résume ses idées. On y rencontre pour

248 DfiS FORGES VIVES ET DE LA FORCE DES CORPS

la première fois des démonstrations basées sur l'impossibilité du mouvement perpétuel, principe qui depuis a tant servi dans toutes les branches de la physique. L'opuscule débute par quelques définitions.

Définition I. — De la force égale, moindre ou plus grande.

Lorsqu'il y a deux états tellement faits que, si l'un pouvait être substitué à l'autre sans aucune action du dehors, il s'ensuivrait un mouvement perpétuel, on dirait que la force a été augmentée, ou que la force de l'état substitué est plus grande. (Le mot force est pris ici dans le sens d'énergie, ce qui importe peu pourvu qu'on soit prévenu.)

Définition II. — La quantité de mouvement est le produit de la masse par la vitesse : les masses sont mesurées par les poids.

Définition III. — Le mouvement perpétuel est impossible. On dit qu'il y a mouvement perpétuel quand le système, partant d'un certain état, revient à ce même état ; et que, sans qu'il y ail eu d'actions extérieures, non seulement le premier état est restitué, mais le système peut produire encore quelque effet. (Cette définition comporte comme cas particuliers la définition vulgaire ; car dans tout mouvement il faut vaincre des frottements ; un système ne peut donc, sans forces extérieures, continuer indéfiniment à se mouvoir sans créer pour ainsi dire de quoi compenser le travail des frottements.)

Axiome I. — La même quantité de force se conserve; on ne peut substituer l'un à l'autre que des états égaux,

DBS FORCES YlVfiS ET DE LA FORGE DBS CORPS i249

suivant la définition I ; ou, ce qui revient au même, l'effet entier est égal à sa cause.

Axiome II. — Il faut autant de force pour élever une livre à la hauteur de 4 pieds qu'il en faut pour élever quatre livres à la hauteur d'un pied. (Cet axiome montre que le mot force est bien pour Leibnitz l'équivalent du mottmvail.)

Postulatum /. — On demande que toute la force d'un corps puisse être transférée sur un autre corps donné ou, du moins, si on suppose cette translation, qu'il n'en arriverait aucune absurdité. On peut imaginer certaines machines pour l'exécution de ces translations de force ; mais, quand bien même on n'en donnerait pas la construction, c'est assez qu'il n'y ait pas impossibilité.

Postulatum IL — On demande que les empêchements extérieurs soient exclus ou négligés comme s'il n'y en avait aucun.

Toutes ces définitions posées, ces axiomes et ces postulats admis, Leibnitz démontre que la force des corps, en langage moderne leur énergie, est mesurée par la force vive et non par quelque autre fonction de la vitesse, telle que la quantité de mouvement. Voici la suite des propositions.

Proposition I. — Les vitesses que les corps pesants acquièrent en descendant sont comme les racines carrées des hauteurs d'où ils descendent, et vice versa; les corps, en vertu des vitesses qu'ils ont, peuvent remonter aux hauteurs d'où ils devraient descendre pour acquérir ces

vitesses, et cela que le corps soit gros ou petit, la chute oblique ou verticale, pourvu qu'on observe la deuxième demande. (Nous connaissons déjà cette proposition ; elle avait été démontrée avant Leibnilz, par Galilée et Huyghens.)

Proposition II (qui peut se déduire de l'axiome II et du postulatum I). — Un corps A pesant une livre, en descendant de la hauteur de 16 pieds, peut élever un corps B pesant 4 livres à une hauteur qui soit tant soit peu moindre de 4 pieds. Cela se prouve par la statique commune. Par exemple, à Taide d'un fléau de balance dont les bras soient comme de 1 à 4. D'ailleurs, ce n'est pas autre chose que l'énoncé du principe des vitesses virtuelles. Cette proposition est, en plus, générale pour le deuxième axiome.

Proposition III. — Supposez que la quantité de mouvement se conserve toujours, on peut faire en sorte qu'à la place d'un corps de 4 livres avec 1 degré de vitesse, on obtienne un corps d'une livre avec 4 degrés de vitesse. Ce qui résulte de la définition 11 et du postulat I. Car (postulat I) on peut transporter toute la force de A sur B; donc, si A seul était en mouvement, B ensuite sera seul en mouvement. Comme rien d'accidentel n'a absorbé quelque chose de force (demande II) il faut que B ait la même quantité de mouvement que A.

Proposition IV. — Supposez qu'à la place de 4 livres avec 1 degré de vitesse on puisse acquérir 1 livre avec 4 degrés de vitesse ; je dis qu'on pourra obtenir le mouvement perpétuel.

Faisons qu'un globe A de 4 livres descende de la hau^r teur 1 et acquière 1 degré de vitesse. Soit maintenant obtenu qu'à sa place un globe B d'une livre ait 4 degrés de vitesse (hyp.). Le globe B montera à 16 pieds (prop. I); puis, engagé dans une balance et redescendant à l'horizon, il pourra élever A d'une hauteur de 4 pieds (prop. II). Au commencement, A était élevé d'un pied au-dessus de l'horizon, B était sur l'horizon. Maintenant B est sur l'horizon, A est à une hauteur 4. C'est le mouvement perpétuel.

Proposition V. — Supposé que la quantité de mouvement se conserve toujours, on peut obtenir le mouvement perpétuel mécanique. Ce qui résulte immédiatement des propositions III et IV.

On comprend, d'après ces théorèmes, que Leibnitz ait voulu refuser à la quantité de mouvement le nom de force des corps ; car, s'il existe quelque chose de mesurable qui caractérise la puissance d'un corps, le propre de ce quelque chose est de pouvoir s'échanger et se conserver; on ne peut admettre ni cet échange, ni cette conservation pour les quantités de mouvement.

Ce travail éliminatoire effectué, on peut alors se demander s'il n'existerait pas quelque autre fonction de la vitesse, qui satisfasse à ces conditions.

Proposition VI, — Un corps de 4 livres de poids et de 1 degré de vitesse a seulement le 1/4 de la quantité de force d'un corps d'une livre de poids et de 4 degrés de vitesse.

Si A (4 livres) monte à 1 pied, B (1 livre) montera à 16 pieds (prop. I).

252 DBS FORGES VIVES ET DE LÀ FORGE DBS GORPS

B monte une livre à 16 pieds; donc 16 livres à un pied (axiome II).

A monte une livre à un pied (hypothèse).

Or, la force d'élever 16 livres à un pied est quadruple de la force d'élever 4 livres à un pied (sens commun). Donc C. Q. F. D.

Proposition VIL — Un corps de 4 livres de poids et de 1 degré de vitesse a la même force qu'un corps d'une livre de poids et de 2 degrés de vitesse. Môme démonstration.

Ces propositions jointes montrent que la force des corps est mesurée par le produit de la masse par le carré de la vitesse, en d'autres termes par la force vive.

Voilà toute la dynamique de Leibnitz ; on ne peut dire en moins de mots tant de choses profondes et vraies. S'il prend pour mesure de la force des corps la force vive, c'est qu'elle est immuable, peut s'échanger, correspond absolument à l'idée que nous nous faisons de l'énergie, il en montre la source dans le travail, et pose comme nécessaire la transformation réciproque du travail et du mouvement. Il montre, enfin, que la quantité de mouvement ne satisfait pas à ces conditions et donne le dernier coup au système de Descartes.

C'est en 1686, mais sous une forme moins systématique, que Leibnitz publia ses idées pour la première fois. Dans cet écrit, il reproche aux Cartésiens d'admirer leur maître sans aucun discernement, de remplacer la réflexion par

DBS FORGES VIVES BT DE LA FORGE DBS GORPS 25^

la tradition^ et leur démontre la fausseté de la règle de Descartes. Ce fut le début d'une querelle qui servit assurément à éclaircir les idées que Ton avait alors en dynamique, mais qui devint bientôt une pure dispute de mots.

Une réplique ne se fit pas attendre : elle fut envoyée par un abbé de Gonti à la République des Lettres de septembre 1686. Toute l'argumentation se réduit à ceci : « Dans l'exemple de M. de Leibnitz, le corps d'une livre monterait à la hauteur de 4 aunes dans un temps comme 2y et le corps de 4 livres montera'it d'une aune dans un tcmpscomme 1. Puisque les temps sont inégaux, il n'est pas étrange qu'on trouve inégales les quantités de mouvement: les forces des deux corps ne sont pas égales. » L'abbé assaisonnait sa critique d'injures dans le goût du temps.

La réponse parut au mois de février 1687; elle est digne du grand philosophe,

« Les Cartésiens, dit-il, prétendent qu'il se garde la même force en somme, qu'ils estiment toujours par la

quantité de mouvement. Par exemple, s'il y a un corps de- 4 livres d'une vitesse de 1 degré et qu'on suppose que toute sa force doit maintenant être transférée sur un corpsd'une livre, n'est-il pas vrai que les Cartésiens prononceront que dans cette supposition il faudra que ce corpsreçoive une vitesse de 4 degrés, afin que la même quantité de mouvement soit gardée ? Mais selon moi ce corps ne doit recevoir qu'une vitesse 2, de sorte que l'opposition est assez manifeste.

Et, en estimant les forces que les corps ont acquises,, ces Messieurs ne se mettent point en peine si elles ont été acquises en un temps long ou court, inégal ou égal. En effet, le temps ne sert de rien à cette estime. Voyant un

corps d'une grandeur donnée aller d'une vitesse donnée, ne pourra-t-on pas estimer sa force sans savoir en quel temps et par quels détours ou délais il a acquis la vitesse qu'il a? lime semble qu'on peut juger ici sur l'état présent sans savoir le passé. Quand il y a deux corps parfaitement égaux et semblables et qui ont une même vitesse, mais acquise dans l'un par un choc subit, dans l'autre par quelque descente de durée notable, dira-t-on que leurs forces sont différentes? Ce serait comme si on disait qu'un homme est plus riche à qui l'argent a coûté plus de temps à gagner. Mais, qui plus est, il n'est pas nécessaire que les deux corps que j'avais proposés aient parcouru leurs différentes hauteurs en temps inégaux; car, selon qu'on change la ligne de descente, en la rendant plus ou moins inclinée, on peut faire d'une infinité de façons que ces deux corps descendent de leurs différentes hauteurs en temps égaux. »

La question semblait donc complètement élucidée ; Leibnitz avait clairement expliqué sa pensée, ce qu'il entendait par force des corps, en quoi sa définition était plus avantageuse que l'ancienne. Malgré cela, pendant quarante ans, on va ressasser contre lui les mêmes ridicules arguments, et chacun tiendra à honneur de dire son petit mot sur la force des corps. M. de Voltaire lui-même, en 1744, envoie à V Académie un mémoire que M. de Fontenelle n'a pas honte de louer.

D'ailleurs, Fontenelle n'avait pas attendu jusque-là pour donner son avis. Dans V Histoire de C Académie A^ 1721, voici en quels termes il traite l'opinion de Leibnitz : « Les plus grands génies ne sont pas incapables de grandes erreurs. Outre le fonds commun à toute la nature humaine, ils peuvent avoir une confiance en eux-mêmes qui, quoique

légitime, en général, et justifiée par un grand nombre de succès, ne manquera guère d'être un principe trompeur dans quelques applications particulières. On va le voir par l'exemple de feu M. Leibnitz qui suffira seul pour consoler les grands hommes tombés dans ce cas. Tous les mathématiciens modernes conviennent que la force des corps est le produit de leur masse par leur vitesse, et Ton ne voit pas que la mesure de la force motrice dût être le carré de la vitesse. Car, d'où viendrait ce carré? Quels seraient les deux effets de la vitesse ?

« Cependant, comnie nous l'avons dit en 1716, M. Leibnitz prenait pour mesure de la force des corps en mouvement le produit de leur masse, non par la vitesse, mais par le carré de leur vitesse. Sa principale raison et celle qui parait l'avoir conduit à cette pensée est que, selon le système de Galilée très bien démontré et reçu de tout le monde, un corps poussé de bas en haut avec un degré de vitesse et qui monte par exemple à une toise, monte à 4, s'il est poussé avec 2 degrés, à 9 s'il l'est avec 3. Or, les forces sont comme les espaces qu'elles font parcourir et ces espaces sont comme les carrés des vitesses, donc les forces sont comme les carrés. » Or, ainsi que nous l'avons vu, jamais Leibnitz n'a dit de pareilles absurdités. Il prévient qu'il appelle force des corps quelque chose qui peut se transmettre et qui a pour équivalent un travail accompli ou pouvant être accompli. Mais ce travail le peut être d'une infinité de manières, et ce n'est que dans le cas, tout à fait particulier, d'une force constante et d'un déplacement parallèle à la force que les forces au sens de Leibnitz se trouvent comme les espaces qu'elles font parcourir. D'ailleurs, puisque les corps en mouvement, si rien ne les en empêche, conservent indéfiniment leur vitesse, si

on prend pour force des corps le chemin qu'ils peuvent parcourir, la force des corps est toujours infinie. Assurément la force d'un corps, au sens de Leibnitz, dépend bien de l'espace que le corps peut parcourir, à la condition que, pendant ce parcours, il y ait un travail accompli contre certaines forces.

Les saines idées dynamiques s'étaient tellement obscurcies sous rinfluence du principe des vitesses virtuelles mal interprété que de Mairan, dans un fort long mémoire, publié en 1718, dit ce qui suit : « L'effet le plus universellement connu de la force en tant qu'appliquée aux corps, ou en tant qu'on imagine qu'elle y réside après y avoir été appliquée, c'est le mouvement. Force et mouvement ne sont ici que des grandeurs susceptibles de plus ou de moins et par là toujours relatives à quelque terme qui leur doit servir de commune mesure. » Autant d'erreurs que de mots. La force au sens moderne, en tant qu'elle est appliquée à un corps, n'est pas mesurée par la vitesse, mais par les changements dans la vitesse ; en tant qu'elle y réside, c'est-à-dire au sens de Leibnitz, elle n'est pas représentée par la quantité de mouvement ou produit de la masse par la vitesse, puisque cette quantité ne peut pas se transmettre d'un corps à un autre sans changement de valeur. « La force appliquée à un corps, que rien n'empêche de se mouvoir, continue de Mairan, y produit donc du mouvement; de ce que je conçois un corps en mouvement, je conçois une force qui le fait mouvoir. Ce mouvement peut être uniforme ; comme tel il ne saurait nous indiquer d'autre mesure de la force qui le produit que la simple vitesse du mobile multipliée par sa masse. » Ce passage n'a pas plus de sens que le précédent, car de ce que je conçois un corps en mouve-

ment, je conçois qu'une force Ta mû, dont Teffet total se trouve avoir été la quantité de mouvement, comme nous Tavons vu ; mais de là je ne peux rien conclure sur la force qu'il possède actuellement, sur les effets qu'on peut produire avec lui.

Au lieu de discuter ainsi à perte de vue, à savoir s'il parait évident ou absurde que la force ou l'énergie renfermée dans un corps est proportionnelle à la vitesse ou à son carré, il y avait deux choses plus importantes à faire : 1* vérifier expérimentalement si dans le choc des corps la même quantité de force vive se conserve ; 2* vérifier si la force vive donne bien la mesure du travail que peut effectuer un corps. C'est ce qu'on se décida à tenter.

La première vérification, à savoir que dans le choc des corps parfaitement élastiques la même quantité de force vive se conserve, est due à Jean Bemouilli. Dans un fort beau mémoire daté de 1724 et présenté à l'Académie sous le titre suivant : Discours sur les lois de la communication du mouvement^ il repose la question sur son véritable terrain. Il distingue d'abord nettement de la force vive la force morte, la pression, ce que nous appelons absolument la force : « La seule pression ou la force morte que reçoit un obstacle immobile, dit-il, par l'effort d'un ressort qui cherche à se débander, ne diminue en rien la force (lisez énergie) du ressort, bien loin de l'épuiser. L'air, par exemple, condensé dans un récipient, fait un effort continuel pour se dilater, sans jamais rien perdre de sa force ; parce que les parois du récipient, ne

pouvant céder, ne font que soutenir sa pression, sans affaiblir Télasticité de l'air. Mais la force du ressort se consume, en donnant du mouvement au corps, c'est-à-dire en produisant une force vive; la production du moindre degré de cette force demande la perte ou la destruction d'un degré égal de la force du ressort (lisez énergie). L'une est la cause; l'autre, Teffet immédiat qui en résulte : or, la cause ne saurait périr en tout ou en partie, qu'elle ne se retrouve dans l'effet à la production duquel elle a été employée.

C'est dans cette égalité que consiste la conservation des forces des corps qui sont en mouvement ; puisqu'il est visible que la plus petite partie d'une cause positive ne saurait se perdre, qu'elle ne reproduise ailleurs son effet, par lequel cette perte soit réparée. M. de Leibnitz est le premier qui a remarqué que cette force n'était point égale au produit de la masse par la vitesse ; mais que sa mesure était le produit de la masse par le carré de la vitesse. » On doit conclure de Tidée môme de la force vive que la somme en doit rester constante dans le choc, « car elle est quelque chose de si positif, absolu et indépendant, qu'elle resterait dans les corps, quand même le reste de l'univers serait anéanti. Il est donc clair que la force vive d'un corps diminuant ou augmentant à la rencontre d'un autre corps, la force vive de cet autre corps doit en échange augmenter ou diminuer de la même quantité. »

Considéré comme une pure spéculation géométrique, ce théorème avait été démontré par Huyghens ; mais tant s'en faut que la démonstration de Bernouilli soit équivalente. Comme il le remarque très justement, pour Huyghens, ce n'était qu'une vérité stérile, pour lui l'application d'un principe fondamental.

La Seconde vérification, à savoir que la force vive donne bien une mesure du travail, avait été tentée même avant Leibnit/ par plusieurs méthodes. On faisait tomber un corps d'une certaine hauteur sur une matière molle, capable de céder et de s'enfoncer, comme la cire ou la glaise ; puis, on le faisait tomber d'une hauteur' plus grande, quadruple par exemple, sur la même matière ; il n'avait dans le second cas qu'une vitesse double, et cependant l'enfoncement était quadruple. L'astronome Riccioli se servit d'un poinçon dont il notait l'enfoncement dans du beurre.

Voici les nombres qu'il trouva :

Hauteor de la boule

Abaisiemeot du poÎDçon

Or, si la boule tombe de 8 pouces et possède 1 de vitesse, tombant de 32 pouces elle en possède 2 ; de 72, elle en possède 3; de 128, elle en possède 4. Si la règle de Descartes avait été vraie, le s enfoncements auraient été égaux à 40, 80, 120, 160; on voit qu'ils sont beaucoup plus grands. L'expérience est, d'ailleurs, assez complexe et ne peut donner des résultats fort exacts.

Enfin, on chercha quelle vitesse devait posséder un corps pour bander une suite de ressorts. Appelons ressorts semblables ceux dont les résistances sont toujours en même rapport pour des ouvertures semblables. Imaginons plusieurs ressorts appuyés les uns contre les autres, ainsi que l'indique la figure 44. Il est d'abord évident qu'il ne faut

260 DBS FORCES VIVES BT DE LA. FORGE DBS CORPS

pas plus de pression pour bander la suite entière composée d^un nombre quelconque de ressorts que pour en bander un seul ; mais il faut que le point d'application de la pression se déplace d'autant plus qu'il y a plus de ressorts. Donc une pareille suite de ressorts nous permet de dépenser tel travail que nous voulons, puisque le travail dépensé pour

bander une suite est proportionnel au nombre des ressorts de la suite. À Taide de cette proposition, il devenait bien facile de vérifier ou d'infirmer les conclusions de Leibnitz :

les expériences furent faites par l'académicien Camus en 1728 ; il montra que le nombre des ressorts bandés par un corps en mouvement était proportionnel au carré de la vitesse, c'est-à-dire à la force vive du corps.

Un point rendait le principe de Leibnitz difficile à admettre : c'est que l'on savait d'expérience certaine que deux corps mous ou parfaitement durs se rencontrant avec des vitesses en raison inverse de leurs masses ou, si l'on veut, avec des quantités de mouvement égales, s'arrêtent tout net. Puisqu'ils se font ainsi équilibre, ne fautil pas que leurs forces soient égales? C'était bien mal interpréter ridée de Leibnitz ; car les forces, au sens qu'il leur donne, ne peuvent jamais s'équilibrer, puisque ce sont des quantités scalaires essentiellement positives ; elles ne

doivent pas s'annuler, et, si elles paraissent le faire ici|. ce n'est qu'en apparence.

Jean Bemouilli leva cette contradiction par une fort remarquable démonstration. Il s'appuie sur les propriétés des ressorts que nous signalons plus haut. Il imagine deux corps  et B [fig. 45) de différentes masses, et entre eux une rangée de ressorts égaux ; si on veut, un ressort à boudin homogène. Les corps se touchent d'abord au point G et les ressorts sont bandés. Lorsqu'ils viendront à se débander, les corps seront poussés et prendront, d'après le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, des quantités de

FiG. 45.

mouvement égales. Soient A, B leurs masses, a, b leurs vitesses, on laura ak = 6B. Non seulement les vitesses définitives, mais les vitesses intermédiaires et par conséquent les espaces parcourus au bout d'un temps quelconque jouissent de cette propriété, on a AC A = BC B :

le rapport tt; = r^st invariable. Or, à chaque instant, les

ressorts doivent être également tendus : les nombres de ressorts compris dans les longueurs CA et CB sont donc dans le rapport de ces longueurs, qui est d'après l'équation ci-dessus constant et égal au rapport inverse des masses. Le point G est donc comme un obstacle immobile, contre lequel les ressorts GA et GB se débandent. Dans ces conditions, la force vive communiquée au corps A est fournie par la suite AG, et la force vive fournie au corps B par la

26â DES FORGES VIVES ET DE LA FORGE DES GORPS

suite BC. Ces énergies sont entre elles comme le nombre des ressorts, c'est-à-dire dans le rapport :

AC A a aka ka

BC B b ô-^'Bô—Bô

puisque ka = B6. C. Q. F. D.

Réciproquement, si les corps mous ou parfaitement dur» se meuvent Tun vers Tautre avec des vitesses réciproques aux masses, leurs vitesses seront annulées par le choCf bien qu'ils ne possèdent pas la même quantité de force vive.

De la démonstration de Bernouilli on déduit la règle du partage des forces vives entre deux corps qui sont mus simultanément par un ressort : par exemple un obus dans un canon. Soient M et m les masses du canon et deTobus, \ eiv les vitesses correspondantes au moment où le projectile sort de l'arme. Puisque le gaz de la poudre joue le rôle de ressort et appuie également sur Tarme et l'obus, on doit avoir MV = mv.

^, ^ - MV2 V m

Doù: — r== — = --

mv^ V M

Les quantités de force vive sont en raison inverse des masses, les quantités de mouvement sont égales. Donc le canon doit reculer et avec une vitesse d'autant plus petite que son poids est plus fort relativement à celui du projectile. En second lieu, presque toute la force vive passe dans Tobus et il en reste d'autant moins dans la masse du canon que cette masse est plus grande. Pour ces deux raisons on a tout intérêt à augmenter la masse du canon. Car : 1^ le recul de Taffût est gênant; 2^ la puissance

de destruction d'un corps est mesurée par sa force vive, c'est-à-dire le travail qu'il peut accomplir et non par sa quantité de mouvement ; il y a donc avantage à ce que presque toute la force vive disponible se retrouve dans le projectile. Ces considérations expliquent pourquoi Ton peut sans danger résister au recul d un fusil, et non s'exposer au choc de la balle, bien que les quantités de mouvement du fusil et de la balle soient égales. Admettons que dans un fusil le rapport des forces vives ou de destruction de l'arme et de la balle soit de 1 à 100 ; la force de destruction de la balle s'exerce sur une surface peut-être cent fois moindre ; la balle produit donc pour une surface donnée un effort de destruction dix mille fois plus grand que celui du recul.

Le principe de Leibnitz s'imposait, et ceux même qui chicanaient sur les mots, se refusant à admettre l'expression de force des corps en mouvement comme synonyme de force vive, étaient forcés de convenir que la force vive représente bien quelque chose d'existant réellement dans les corps. Bien qu'ils reprochassent à Leibnitz de rétablir dans la science de prétendus êtres, des qualités réelles, ils ne pouvaient nier Tapplicatioa, au moins très générale, du principe de l'équivalence entre le travail et la force vive. Ce fut d'Alembert, en 1760, qui montra que ce principe est la conséquence nécessaire des principes de l'équilibre et de la mesure dynamique des forces par l'accélération qu'elles produisent.

Avec l'étude du principe des forces vives, nous terminons l'étude de la mécanique proprement dite ; on ne peut faire sortir rien de plus des hypothèses fondamentales ; l'œuvre est achevée, les routes sont barrées. A la vérité, on usera peut-être encore bien des siècles à résoudre tel

cas particulier; mais c'est là occupation de mathématiciens, et cela n'a rien à voir avec la philosophie de la science. Au fond la résolution d'un nouveau problème de mécanique n'a qu'un intérêt secondaire et spécial : on peut chercher à approfondir les causes des perturbations des astres, donner des formules plus exactes pour déterminer le cours de la lune, on n^introduira pas dans la science une seule idée nouvelle. La mécanique est une science parfaite ; elle peut ne trouver dans les mathématiques qu'une aide incomplète : il suffit qu'elle ait donné la forme générale renfermant tous les cas particuliers; son rôle est achevé.

Mais plus générale que la mécanique dont nous venons de suivre le développement, et qui a abouti, à la fin du siècle dernier, à la mécanique analytique de Lagrange, s'en est constituée une autre, dont le développement dure encore et dont les notions fondamentales même sont encore en pleine évolution. Nous allons consacrer à son étude la fin de ce travail.