CHAPITRE II

DËFnnnoNs de la force et du travail

L'état de conscience « fatigue » fournit à rhomme deux notions mécaniques, celle à'effort et celle de travail. Il faut d'abord les préciser et les ramener Tune à l'autre .

L'action musculaire d'un homme peut s'évaluer de deux manières également naturelles: l'une consiste à le charger d'un fardeau et à déterminer quel poids il peut supporter, tout en demeurant au repos; l'autre, à le faire travailler, par exemple élever des fordeaux, et à évaluer l'ouvrage dont il est capable. Il n'existe aucun rapport numérique nécessaire entre ces deux modes d'estimation; et un hercule de foire, qui porte à bras tendus des poids très lourds, peut n'être pas en état de gravir une montagne élevée. Bien que l'on soit resté fort longtemps — jusqu'à Descartes — sans avoir d'idées nettes sur les relations fondamentales qui existent entre l'effort et le travail, on voit cependant que le second implique un état de mouvement, ce que ne fait pas le premier. L'idée d'espace parcouru est donc étrangère à l'effort ; elle est, au contraire, intimement liée au travail.

Autre remarque d'importance capitale : l'idée de temps n'est associée ni à l'un ni à l'autre ; et, si pour se rendre

un compte exact de la puissance musculaire d'un homme, il est nécessaire de savoir pendant quel temps il peut supporter un fardeau, ou bien en' quel temps il peut Télever à une certaine hauteur, nous comprenons que cette donnée n'entre qu'accessoirement dans Tidée de Teffort ou du travail.

L'effort ou la force est identique à l'action d'un poids. Car, si Thomme supporte un fardeau, c'est qu'il réagit de la même façon que le poids agit : l'on peut admettre que deux grandeurs dont les effets se détruisent sont d'une nature identique.

L'effort, ou la force, est une cause de mouvement, s'il n'est pas équilibré par un effort égal et de sens inverse; mais, dans cet état d'équilibre même, l'effort ne cesse pas de s'exercer. Un corps pesant soutenu par une table ne laisse pas de faire constamment effort pour descendre, et il descendrait effectivement, si la table ne lui opposait un effort égal et de sens contraire. 11 est vrai qu'une tendance au mouvement n'est pas une quantité mesurable ; on ne peut évaluer une cause par un effet possible, mais non encore réalisé.

L'effort ou la force est une cause de déformation : appliqué à un corps, il en change la figure. Le corps est parfaitement élastique, s'il reprend exactement sa forme primitive, quand Feflort est supprimé ; dans le cas contraire, il est imparfaitement élastique. Si la déformation est permanente, le corps est moui L'expérience montre que presque tous les corps solides sont à peu près parfaitement élastiques pour de petites déformations et à peu près mous pour de grandes déformations. On appelle limite d'élasticité la déformation pour laquelle le corps cesse d'être à peu près parfaitement élastique. Un corps est parfaite-

ment dur, s'il ne se déforme pas sous Faction d'efforts; mais c'est là une pure abstraction. On appelle ressorts les corps élastiques dont les déformations sont considérables : par exemple les laines d'acier, les ressorts à boudin, les fils de caoutchouc, etc.

Pour évaluer les forces d'une façon précise, nous les comparons à des poids. A cette fin, suspendons un corps à une des extrémités d'un ressorti boudin vertical, dont l'autre est maintenue fixe ; nous constatons que la déformation (ici l'allongement) de ce ressort reste la même, quel que soit l'état de division du corps ou les changements de forme de ce corps ; d'où l'on peut conclure que deux volumes séparés -de 1 centimètre cube d'un même métal ont le même effet qu'un volume unique de 2 centimètres •cubes, et ainsi de suite. Et, comme l'action de la pesanteur, quelle qu'elle soit, nous parait devoir être la même sur chacun de ces centimètres cubes, nous admettrons que les efforts qui résultent delà pesanteur de volumes différents d'un métal homogène, sont proportionnels à ces volumes, pourvu qu'on reste au même point de la surface terres t-re.

Ceci posé, nous prendrons comme unité d'effort ou de force le poids à Paris d'une certaine masse de platine conservée aux Archives et appelée kilogramme. Le gramme «st la millième partie de cet effort. Un effort est de 10 gramme^ par exemple si, appliqué verticalement à un ressort à boudin, il l'allonge autant qu'un poids de 10 grammes. Pour faciliter ces comparaisons, on peut étalonner une fois pour toutes des ressorts, et l'on a ce qu'on appelle des dynamomètres.

A cette fin on suspend au ressort des poids croissants et 1 on dresse une table à double entrée contenant les valeurs

de ces poids et les déformations correspondantes. Cet étalonnage est facilité par ce fait que les déformations, pourvu qu'elles soient petites, sont proportionnelles aux efforts.

Les efforts sont souvent exercés par l'intermédiaire de cordes; il est utile de définir la tension d'une corde. Supposons-la coupée en un point; attachons les deux bouts à un ressort à boudin étalonné, déterminons la déformation et reportons-nous à la table à double entrée que nous avons construite; le nombre de kilogrammes que nous lisons en regard de l'allongement observé est, par définition, la tension du câble.

A l'aide de ces données, nous pouvons aisément définir et représenter les éléments constitutifs des forces, puisque, toutes, elles peuvent se ramener aune traction ou à une pression.

Supposons que la traction soit exercée avec une corde : le point d'attache s'appelle point d'application de- la force, la direction de la force est celle

de la corde. Supposons que la pression soit exercée avec un ressort à boudin et de manière qu'il ne se courbe pas : la direction de la pression ou de la force est celle de l'axe du ressort; son point d'application, le point de contact du ressort.

Pour figurer la force {Jig, 1) portons sur la direction AB de la corde ou de l'axe du ressort, et à partir du point A d'application dans le sens de la corde, ou en sens inverse du ressort, une longueur AF représentant conventionnellement l'intensité de la force, — chaque centimètre correspond par exemple à 1 kilogramme.

La droite AF représente complètement les éléments de

32 DéFINITIONS DE LA FORCE ET DU TRAVAIL

la force : sa direction AB, son point (Inapplication A et son intensité AF. Dans ce mode de figuration toutes les forces sont assimilées à des tractions.

La seconde manière d'évaluer la force d'un homme est d^examiner Touvrage qu'il est en état de faire, par un travail suivi. Sous ce point de vue, pour arriver comme dans le premier cas & une évaluation précise, nous pouvons comparer le résultat de son travail à Teffet de la pesanteur ; car il est naturel d'évaluer ce travail, et par le poids qu'il peut élever, et par la hauteur à laquelle il l'élève- Et, comme il est sensible qu'élever un poids de 100 kilogrammes à 1,000 mètres de hauteur est la même chose^ dans cette manière d'évaluer les forces, qu'élever 200 kilogrammes à 500 mètres seulement, il suit que les forces sous ce nouveau point de vue, forces qui prennent alors le nom de travail, doivent être considérées comme proportionnelles aux poids élevés et aux hauteurs auxquelles il faut les amener, ou, ce qui revient au même, le travail est mesuré par le produit du poids par la hauteur. Si donc on appelle kilogrammètre le travail nécessaire pour élever verticalement un kilogramme à un mètre, tous les travaux seront estimables en kilogrammètres.

Carnot, dans son remarquable Esmi sur f équilibre et le mouvement^ précise ces notions par l'exemple suivant r « C'est de cette manière qu'on entend le mot force, lorsqu'on dit que le cheval équivaut pour la force à sept hommes ; on ne veut pas dire que, si sept hommes tiraient d'un côté^ et le cheval de l'autre, il y aurait équilibre, mais que, dans

DÉFiNlTIONS DK L\ FORCE ET DU TRAVAIL 33

Qn travail suivi, le cheval à lui seul élèvera par exemple autant d'eau du fond d'un puits à une hauteur donnée que les sept hommes ensemble pendant le môme temps. Quand on emploie des ouvriers, l'intérêt est de savoir ce qu'ils peuvent faire de travail dans un genre analogue à celui dont on vient de parler, bien plus que de savoir les fardeaux qu'ils pourraient porter sans bouger de place. Cette manière d'évaluer les forces est donc nalurelle et importante. »

Descartes a l'honneur d 'a voir énoncé, le premier, des idées parfaitement cl aires touchant l'essence et la mesu re lu tra xaJL; et nous insisterons d'autant plus sur ce point que les historiens l'ont passé sous silence. Cet inconcevable oubli peut s'expliquer par le fait que Descartes expose ses idées dans des lettres au Père Mersenne que ni Montucla ni Poggendorff ne se sont donné la peine de lire. Voici ce qu'on trouve dans une lettre au Père Mersenne datée de 1638 : « Vous avez enfin entendu le mot de force au sens où je le prends, quand je dis qu'il faut autant de force pour lever un poids de 100 livres 2 pieds de haut qu'un de 200 livres un seul pied, etc., c'est-à-dire qu'il faut autant d'action ou autant d'effort. Je veux bien croire que je ne m'étais pas ci-devant assez expliqué, puisque vous ne m'aviez pas entendu ; mais j'étais si éloigné de penser à la puissance qu'on nomme la force d'un homme, lorsqu'on dit qu'un tel a plus de force qu'un tel, etc., que je ne pouvais aucunement me douter qu'on pût prendre le mot en ce sens-là. Je ne considère donc pas du tout en cet écrit la puissance qu'on nomme la force d'un homme, mais l'action qu'on nomme la force, par laquelle un poids peut être levé, soit que cette action provienne d'un homme ou d'un ressort, ou d'un autre poids, etc. » Et, dans une autre lettre plus explicite encore, il ajoute: ^ J'ai parlé delà force qui

sert pour lever un poids, laquelle a deux dimensions, non de celle qui sert en chaque point pour le soutenir, laquelle n a qu*une dimension. » Malgré Tobscurité apparente qui provient de l'emploi du mot force dans deux acceptions aussi difTérentes, puisqu^il désigne alternativement l'cflort et le travail, on ne peut exprimer avec plus de netteté ce fait que le travail est mesuré par le produit d'une force par un espace parcouru. Nous donnerons d'ailleurs de plus amples explications quand nous parlerons du principe des vitesses virtuelles.

Jusqu^à présent nous n'avons envisagé que le cas où le déplacement du poids se fait suivant la verticale; ou, ce qui revient au même, le cas où le déplacement est parallèle à la direction de la force ; ce n'est pas le cas général, qu'il faut aborder maintenant.

Cherchons d'abord quelle quantité d'action un homme peut fournir, lorsqu'il éprouve de son travail toute la fatigue qu'il peut soutenir chaque jour sans dérangement dans son économie animale. Nous extrayons les résultats qui suivent d'un admirable mémoire lu à l'Institut, l'an VI, par l'illustre citoyen Coulomb. Cette quantité d*action peut êlre dépensée de bien des manières ; nous n'insisterons que sur deux d'entre elles: transport d'un fardeau suivant la verticale, transport d'un fardeau suivant l'horizontale.

Lorsque nous montons l'escalier de nos maisons, si nous n'avons pas à nous élever au-delà de 20 ou 30 mètres, nous pouvons monter à raison de 14 mètres par minute. Pour calculer, d'après cette expérience, la quantité d'action fournie par un homme, il faut multiplier le poids de l'homme par la hauteur à laquelle il s'est élevé, et, en supposant le poids moyen de 70 kilogrammes, on trouve 080 kilogrammètres dépensés par minute. Mais un tel

travail ne saurait être soutenu longtemps. Pour atteindre à 300 mètres, il ne faudrait d'après l'estimation précédente que vingt et une minutes; or les ouvriers qui montaient tous les jours à la tour Eiffel mettaient de trente-cinq à quarante minutes. On peut supposer qu'un homme ne supportera le travail d'ascension de 14 mètres par minute tout au plus que quatre heures effectives par jour, ce qui ferait en kilogrammètres 235,000 par jour. Cette estimation est, d'ailleurs, hypothétique et peut être exagérée. Si l'on base le calcul sur la hauteur à laquelle un homme de force moyenne pourrait s'élever tous les jours en montagne, on est conduit à abaisser le résultat çi-dessus et à évaluer à 205,000 kilogrammètres la quantité d'action journalière des hommes qui montent un escalier commode sans être chargés d*aucun fardeau.

Lorsque les hommes voyagent pendant plusieurs jours sans aucune charge, ils peuvent parcourir facilement dans leur journée 50 kilomètres, soit pour la quantité d'action ou produit de leur poids par le chemin parcouru 3,500,000 kilogrammes transportés à un mètre. On ne doit plus parler ici de kilogrammètres, parce que ce terme doit être réservé au déplacement d'un faix suivant la verticale. On constate que cette quantité d'action est très supérieure à celle qui correspond à Tascension d'un escalier, puisqu'elle est sensiblement dix-sept fois plus grande.

Coulomb fit des expériences avec des portefaix et colporteurs; il trouva moyennement que la quantité d'action qu'ils dépensent peut être évaluée à 1,536,000 kilogrammes transportés à un mètre.

Il résulte des faits précédents une importante conclusion, vaguement entrevue depuis une époque très reculée, autant dire toujours : c'est que les quantités d'actions que four-

nissent des hommes en montant un escalier ne sont pas du même genre que celles des hommes qui marchent librement sur un terrain horizontal. Et la raison de cette différence est que, dans le premier cas, ils sont obligés, à chaque pas, d'élever leur poids à la hauteur d'une marche, tandis que dans le second ils donnent à leur corps un déplacement parallèle au sol. Ce dernier mouvement n'est pas empêché par leur pesanteur; en sorte qu'à chaque pas ils n'ont qu'à produire le transport alternatif des jambes et l'élévation très peu considérable de leur centre de gravité. Celui-ci monte et retombe par un mouvement oscillatoire d'une amplitude de 2 à 3 millimètres, qui dépend principalement de l'art que les hommes acquièrent, lorsqu'ils voyagent souvent, de soutenir leur centre de gravité à peu près parallèlement au terrain sur lequel ils marchent. Aussi ne doit-on pas s'étonner de voir le premier mode de fatigue donner une quantité d'action dix-sept fois moindre que le second. En définitive, on peut énoncer ce qui distingue les deux cas étudiés en disant que, dans l'ascension d'un escalier, le point d'application de la force (ici la pesanteur) est déplacé parallèlement à la force; que, dans la marche horizontale, le déplacement de ce point se fait normalement à la direction de la force.

Si donc nous supposions que l'homme apprît à ne pas déplacer du tout son centre de gravité et parvînt, par une habitude longuement acquise, à réduire au minimum ses mouvements inutiles, on concevrait que la distance horizontale qu'il pourrait parcourir ne serait limitée que par sa vitesse, tandis que la distance verticale ne pourra jamais dépasser une limite peu supérieure à 2,000 ou 3,000 mètres.

C'est par des considérations de cette nature, bien qu'in-

finiment moins nettes, qu'on parvint vers le milieu du xvi* siècle à cette conclusion que le travail est nul quand la force dont on déplace le point d'application est normale à ce déplacement, loi qui peut encore s'énoncer ainsi sous forme schématique : Une sphère parfaitement polie, roulant sur un plan horizontal parfaitement poli, peut être déplacée, sans qu'il en résulte dépense de travail.

Restait à savoir ce que devient le travail lorsque le déplacement n'est pas normal à la direction de la force, ni parallèle, mais oblique. Galilée énonça le rapport exact, mais d'une manière qui a donné lieu à bien des malentendus et dont Tambiguïté a été vertement relevée par Descartes.

C'est à ce dernier que revient l'honneur d'avoir trouvé l'énoncé rigoureux. Le travail résultant d'une force, représentée en grandeur et direction par la droite AF [fig. 2) et dont le point d'application A se déplace dans la direction AB d'une longueur AB, est représenté par le produit AB X AFt*, la longueur AFi est la projection de AF sur AB, projection obtenue, selon la définition ordinaire, en abaissant du point F une perpendiculaire FFi sur la direction AB. Cette loi renferme bien comme cas particuliers: 1* celui oii la force est parallèle au déplacement, on a AF, =t AF; 2* celui où la force est normale au déplacement, on a AFi = 0. Dans le premier cas, le travail a pour mesure le produit de la force par le déplacement, dans le second il est nul.

Voilà donc un important résultat obtenu, le travail est relié à l'effort par le moyen de l'espace. Désignons gêné-

ralement par F la force totale et par F la force utile, c'està-dire la projection de la force sur le déplacement ; nous aurons la définition suivante du travail : « Le travail est le produit de la force utile par le déplacement. »

Nous devons faire maintenant une distinction essen* tielle: le travail peut être agissant ou résistant. Soit un poids P que nous élevons à une hauteur H ; nous devons accomplir un travail PH, autant du moins, ce que nous avons toujours supposé, que la vitesse du mobile reste toujours très petite ou plus généralement la même tout le temps de l'opération ; car on conçoit qu'un changement dans la vilesse puisse nécessiter une dépense de travail. Le travail que nous accomplissons est agissant ; mais le poids du corps, qui à chaque instant fait équilibre à la force de notre bras, accomplit un travail résistant ; et, d'après la définition même du travail, ces deux travaux sont égaux numériquement. On aperçoit facilement la loi générale ; le travail est agissant quand l'angle de la force et du déplacement est aigu : la force facilite alors le déplacement ; il est résistant quand cet angle est obtus : la force gêne le mouvement. On convient de considérer le premier comme positif, le second comme négatif.

Jusqu'à présent, la force était supposée constante, et le déplacement rectiligne. Nous allons nous élever, par de pures considérations mathématiques, à la notion de travail quand le déplacement s'effectue sur une courbe, et que la force est variable.

Pour faciliter Tintelligence de ce qui suit, nous userons

d'une représentation graphique. Soient {fig. 3) deux droites rectangulaires, OH horizontale, OV verticale. Prenons sur la droite OH une longueur ÂB d'autant de millimètres qu'il y a de mètres dans le déplacement Dt et une longueur OM sur la verticale d'autant de millimètres qu'il y a de kilogrammes dans la force utile Fx supposée constante. Le travail FiHi, mesuré en kilogrammètres, sera égal à Taire

Forces utiles

Dl E,

C Dép

acements

du rectangle ABAiBi mesurée en millimètres carrés. Arrivés au point B, supposons que la force utile devienne Fi, représentée, suivant nos conventions, par la droite BB^, et qu'elle reste telle pendant le déplacement BC = Dj. Le travail est pour ce déplacement F^^ évalué en kilogrammètres, ou, ce qui revient au même, est égal à l'aire du rectangle BBiCCi évaluée en millimètres carrés, et ainsi de suite. Nous avons supposé que la force utile variait brusquement ; si nous supposions, au contraire, ce qui a lieu généralement, qu'elle varie d'une façon continue, il devient évident, et on le pourrait démontrer rigoureusement, que le travail s'obtient de la manière sui-

vaute. Prenons [fig. 4) sur la droite horizontale des points ABCD, etc., distants entre eux d'autant de millimètres qu'il y a de mètres dans lé déplacement réel, élevons en chacun de ces points des verticales longues d'autant de millim.ètres que la force . xHile contient de kilogrammes, nous obtenons une série de points AiBiCiD,, etc. Joignons tous ces points par unq courbe coAtinue. Le travail effectué dans le déplacement AD est en kilogrammètres égal au nombre de millimètres carrés contenus dans Taire AAjDjD.

Notre représentation n'est pas encore parfaite, car elle

Forces utiles

A B C . D Déplacements

ne nous permet pas de distinguer si le travail est agissant ou résistant. Nous conviendrons donc de porter la verticale, qui représente la force utile, au-dessus de l'horizontaie, si la force utile F est positive, c'est-à-dire si l'angle de la force F avec le déplacement est aigu ; au-dessous de Thorizontale, si la force utile F est négative, si l'angle de la force F avec le déplacement est obtus. Le travail est donc positif, si Taire représentative est au-dessus de Thorizontale, négatif si Taire est au dessous. Et, comme la somme de quantités, les unes positives, les autres négatives, s'obtient en additionnant séparément les premières et

les secondes, et en retranchant la seconde somme de Ja première, le travail total ou définitif correspondant à un déplacement donné s'obtient en retranchant des aires situées au-dessus de l'horizontale OH les aires situées au dessous.

Si ces deux aires sont séparément égales, le travail résultant est nul.

Forces utiles

Pour prendre un exemple très simple, soit à évaluer le travail que Ton dépense à tendre un fil de caoutchouc. Soit OA [fig, 5) la longueur initiale ; il faut déterminer d'abord quel effort on doit exercer sur le fil pour lui donner les longueurs successives OB, OC, OD. Il suffit d'y suspendre des poids. L'expérience montre que le nombre de grammes nécessaires à un allongement donné est proportionnel à cet allongement; c'est-à-dire que, s'il faut 1 kilogramme pour l'allonger de 0",5, il en faut 2 kilogrammes pour l'allonger 1 de mètre, etc. Portons sur l'horizontale

des longueurs AB, AC, etc., représentant les allongements ; élevons aux points BCD des perpendiculaires représentant les forces utiles F, qui se confondent ici avec les forces totales F, puisque la force est dirigée suivant le déplacement; les points obtenus BiGtDt sont sur une droite* puisque les forces BBi, CC, etc., doivent être proportionnelles aux allongements AB, AC, etc. L^aire du triangle ADDi représente le travail nécessaire à rallongement total, si, bien entendu, le mouvement est toujours très lent.

Supposons maintenant qu'après avoir donné au fil rallongement AD nous le laissions revenir à sa longueur primitive ; d'agissant, le travail de la main devient résistant ; les forces doivent être portées au-dessous de l'horizontale ; le travail correspondant à la contraction du fil est représenté par l'aire négative DD'tA' égale en valeur absolue à l'aire positive ADiD.

Le travail total est nul ; nous avons retrouvé dans la seconde partie de l'opération le travail dépensé dans la première.

Nous voici donc parvenus à l'idée très générale de travail accompli dans un déplacement donné, la trajectoire du point d'application de la force étant quelconque, ainsi que la direction de la force. On peut aller d'un lieu à un autre lieu par divers chemins et Ton conçoit que les tra* vaux calculés pour ces différents chemins puissent être très différents. C'est, en général, ce qui se présente lorsque des forces de frottement entrent en jeu. Il est clair que^ pour transporter un fardeau au sommet d'une montagne,.

il y a économie à choisir le chemin le plus dur et le plus régulier, alors même qu'il serait le plus long. Toutefois, comme nous pouvons, par des procédés divers, rendre le frottement presque nul, en substituant le roulement au frottement proprement dit, en aplanissant les trajet* toires, etc., nous en pouvons faire abstraction et chercher s'il n'y aurait pas des forces telles et tellement disposées que le travail dépensé fût le inème pour amener un corps d'un lieu à un autre lieu, quel que soit le chemin choisi.

Il n'est guère difficile de trouver un exemple où soit réalisée cette hypothèse. Les forces de la pesanteur nous le fournissent. Quel que soit le chemin qu'on emploie pour porter un corps d'un point à un autre, abstraction faite des frottements, le travail est le même. La démonstration est très aisée, si Ion considère : en premier lieu^ qu'une courbe peut être remplacée par un polygone d'un grand nombre de côtés, ou, ce qui revient au même, une trajectoire quelconque par une série de plans inclinés; en second lieu, que si on utilise plusieurs plans inclinés pour passer d'un plan horizontal sur un autre plan horizontal, le travail reste le même; car, si la force utile diminue, le chemin augmente, quand l'inclinaison du plan devient de plus en plus faible, et cela exactement dans la même proportion ; le produit ne varie donc pas ; entroisième lieu, que le déplacement sur un plan horizontal parfaitement poli n'entraîne aucune dépense de travail. Nous parvenons ainsi à prouver non seulement que le travail est indépendant du chemin parcouru quand on transporte un corps pesant d'un point à un autre, mais encore que, si le corps est parti d'un plan horizontal d'une certaine cote pour s'arrêter sur un autre plan d'une autre cote, le travail estindé-

44 DéFINITIONS DE LA FORGE ET DU TRAVAIL

pendant des positions des points de départ et d'arrivée et ne dépend que de la différence des cotes des deux plans horizontaux.

Dans le cas très important, que nous venons de voir réalisé pour la pesanteur, où le travail pour passer d'un point à un autre, et plus généralement d'une surface à une autre surface, est indépendant du chemin parcouru, les forces sont dites^ avoir un potentiel. Telles sont les forces électriques, magnétiques, de la gravitation, c'està-dire les plus importantes parmi celles que nous connaissons. Cherchons à préciser l'idée que recouvre cette dénomination.

Pris au sens vulgaire, le mot potentiel ou virtuel représente ce qui existe, mais d'une manière non complètement déterminée, ce qui tend à une détermination plus précise et qui l'atteindra si rien ne Tempêche. L'être en puissance tend à passer à l'état actuel. Laissant pour Tinstant ce «ens métaphysique de côté, nous sommes libres d'appeler éiiergie potentielle d'un corps, dans une position donnée A, le travail total que peuvent accomplir les forces qui agissent sur ce corps, lorsqu'il passe de sa position donnée A à une autre B, à laquelle on supposera toujours le corps ramené, qui sera pour ainsi dire le terminus de tous les déplacements.

Supposons, par exemple, un corps pesant de poids P qui se trouve d'abord à diverses hauteurs Hi, Hi,etc., et qu'on ramène toujours à la surface de la terre ; le travail total accompli pendant ce déplacement par les forces de la pesanteur est PHi, PH^, etc. Ces produits représentent l'énergie potentielle du corps par rapport à la surface de la terre. Ce n'en est pas l'énergie potentielle absolue; car, «i l'on creuse un puits de hauteur A, les forces de la

pesanteur auront accompli des travaux P (Hi + /i}^ P (Hj + h), etc., quand le corps, partant des hauteurs Hi, Hj, etc., au-dessus de la surface terrestre, sera parvenu au fond du puits. Pour avoir Ténergie potentielle absolue, il faudrait ajouter aux travaux PH,, PH2, etc., le travail de la gravité, en supposant le puits prolongé jusqu^au centre de la terre et le corps continuant à descendre jusqu'en ce point. Cette dernière position du corps est telle qu'on ne puisse en trouver une autre pour laquelle le travail accompli soit plus grand.

Il est bien clair que Ton ne saurait parler d'énergie potentielle que dans le cas où les travaux accomplis par les forces considérées, quand le corps passe d'une position à une autre position, sont indépendants de. la trajectoire employée; car c'est le seul cas où chaque position peut être caractérisée par une valeur déterminée et unique de l'énergie potentielle. Aussi dit-on alors, par abréviation, que les forces possèdent un potentiel.

Ceci posé, soit Ea, l'énergie potentielle correspondant à la position A,, Eaj celle qui correspond à la position Aj, la position B étant prise comme terminus des déplacements; en d'autres termes, ces énergies sont les travaux que peuvent accomplir les forces agissant sur le corps, quand on passe des positions Ai, Aj à la position B. Comme la trajectoire est indifférente, je suppose que le corps aille de Ai en B en passant par Aj. Désignant par Tab le travail des forces quand on va de A à B, nous avons Ea, = TajBi

Eaj = Ta^b.'

Mais Ea, = Ta,a2 + ^a,. , puisque par hypothèse le cor^ s^ partant de Aj parvient en B en passant par A^. D'où enfin TaiAj == Ea, — Ea,. En langage vulgaire, pour trouver le travail correspondant au passage du corps de Ai en Aj, il

suffit de prendre la différence des énergies correspondant à ces deux positions.

Appliquons aux forces de la pesanteur ; supposons que le corp6 passe de la hauteur Hi à la hauteur H^, les énergies correspondurtes sont PHi et PHj ; le travail des forces pendant le déplacement est P (H, — Hj).

Il est peu de théorèmes aussi importants dans la mécanique, et cela tient à ce que toutes les forces delà nature semblent admettre un potentiel, au moins lorsqu'on ne s'arrête point aux apparences. Nous verrons plus loin quelle est la forme de l'énergie une fois qu'elle a quitté l'état potentiel et qu'elle est parvenue à l'état actuel.

Jusqu'à présent nous n'avons fait qu'énoncer sous une certaine forme le résultat de nos définitions du travail, définitions dont nous n'avons d'ailleurs apporté, dans ce qui précède, aucune démonstration expérimentale. Jusqu'à présent donc, l'expression énergie potentielle est une simple définition de mot. Mais nous en dépassons singulièrement le sens, en restituant au mot potentiel son acception scolastique; ce qui implique que nous admettions, dans un corps ou autour d'un corps qui sera soumis à des forces, quelque chose d'existant réellement, bien que sous forme virtuelle, et qui représente le travail qu'accompliront les forces. Sous quelle forme existe ce quelque chose, est-ce dans le corps ou dans le milieu ambiant, nous ne le déciderons pas pour le moment. Sans insister d'ailleurs sur les idées que nous indiquons seulement, nous ferons remarquer que ces mots, potentiel et actueK sont purement relatifs, qu'une même grandeur peut être successivement potentielle ou actuelle suivant la grandeur de comparaison.

Ainsi que nous le disions plus haut, ce chapitre ne con-

tient que des définitions appuyées sur des considérations assez vagues. Ces définitions, prises telles quelles, sont inattaquables, mftis inutiles, car rien ne prouve qu'elles représentent quelque chose de réel. Dans ce qui suit, nous allons mettre en œuvre la notion de travail telle que nous Tavons précisée, et de Timpor tance des principes où elle intervient nous pourrons conclure le bien-fondé de nos définitions et, jusqu'à un certain point et avec de prudentes réserves, la justesse de l'expression énergie potentielle, alors même qu'on ne la dépouillerait pas de sa compréhension métaphysique.