CHAPITRE XI

Nous avons ramené, dans le chapitre vi, la mécanique entière à l'application du seul principe des vitesses, virtuelles, en considérant comme appliquées au système non seulement les forces mesurables par leurs effets statiques, mais encore les forces d'inertie ; ces forces, qui représentent la résistance des corps au mouvement, ont pour expression mathématique un vecteur égal en longueur au produit de la masse par Taccélération, dont la direction est celle de l'accélération, mais dont le sens est contraire. Le principe fondamental, dit^'Alembert sous la forme donnée par Lagrange, s'énonce ainsi : Les travaux des forces dont la mesure est statique et des forces d'inertie sont égaux en valeur absolue, mais l'un résiste quand l'autre agit.

On peut donner aux travaux des forces d'inertie une autre expression que nous allons calculer dans le cas particulier des forces de la pesanteur. Si un corps commence sa chute au temps o avec une vitesse initiale r», et si g est l'accélération, au bout d'un temps / de chute, la vitesse est r = t'o -f- gt^ et l'espace parcouru est

e = v^t + - gf. Calculons l'expression suivante -r •

Nous trouvons aisément qu'elle est égale à mv^gt + - mg^l*.

Remplaçons, dans l'expression du travail de la pesanteur

mge^ e par sa valeur, il vient mge = mv^gt + z mg */*.

On a donc w;^^ = "ô g "

Le produit -~ de la masse par la moitié du carré de

la vitesse s'appelle force vive. Nous pouvons donc énoncer le résultat précédent en disant que le travail de la pesanteur est égal à la variation de la force vive. Ce résultat, que nous venons de démontrer dans le cas de la pesanteur, est absolument général. Soit Tab le travail des forces mesurées par leurs effets statiques quand on passe de l'état A à l'état B du système; soit Ua la somme des forces vives de tous les points du système dans le premier état, Ub la somme des forces vives de tous les points dans le second ; on démontre que Ton a généralement :

Tab =Ub- Ua.

Nous avons vu qu'un ensemble de forces est dit avoir un potentiel par rapport à un système de corps quand leur travail reste le même dans le passage du système d'une première position A à une seconde position B, quelles que soient les trajectoires parcouraes par les différents points du système. Mais ce n'est là qu'une vue assez superficielle, et il est temps de généraliser nos idées. On conçoit que, si la position dans l'espace des masses qui composent un système le définit complètement dans certains cas, souvent la position des masses est presque indifférente, et l'état de ces masses importe bien plus. Quand un

gramme d'hydrogène s'unit avec huit d'oxygène, il est singulièrement plus utile de considérer Tétat initial et Tétat final des corps en présence que leur situation par rappopt à un plan horizontal. — Laissant donc nos premières définitions, très claires, mais pas assez profondes, nous dirons qu'un ensemble de forces a un potentiel, par rapport à un système quand leur travail reste le même dans le passage du système d'un premier état  à un second état B, quels que soient les états intermédiaires traversés par les différentes parties du système.

Or, indépendamment de sa position dans l'espace, l'état d'une petite masse peut être caractérisé par exemple par sa vitesse; c'est même là un état d'une définition très simple, puisque la nature chimique de la petite masse n'est pas modifiée.

Mais la définition de l'état d'un système est un peu plus complexe. Tandis que, par exemple, on peut définir l'état d'une seule masse par sa vitesse, et qu'il n'y a ainsi, à proprement parler, qu'une série infinie d'états possibles ; s'il s'agit de deux corps, il y aura une infinité de séries possibles, puisqu'il suffit de donner à une des masses une vitesse arbitraire, et à l'autre la série infinie des vitesses pour avoir une première infinité d'états ; à chaque vitesse arbitraire du premier corps correspond ainsi une infinité d'états du système et, par conséquent, il en existe en tout une infinité d'infinités. Et ainsi de suite, à mesure qu'augmente le nombre des masses du système. Mais on conçoit que, sous un point de vue particulier, plusieurs de ces combinaisons soient équivalentes. De même que l'on peut payer une même somme d'un grand nombre de manières en employant des monnaies de valeurs différentes, sans pour cela que le total se trouve modifié, et

que la valeur marchande de celte réunion de pièces ^^ soit ni augmentée ni diminuée : ainsi, pour les vitesses ^ nous pouvons caractériser un des états du système, non plus par les valeurs individuelles des vitesses des différentes masses, mais par la somme des forces vives de chacune des masses. Soit mi, 7:^2, m;», etc., ces masses Vi, ^2, Va, etc., les vitesses correspondantes; nous définirons l'état du système par Texpression :

-2-+-2-+-Y- + etc.

que nous appellerons, pour abréger, énergie actuelle. Cela veut dire qu'au point de vue particulier où nous nous plaçons il ne nous importe pas de savoir quelles sont les vitesses individuelles des masses prises isolément, mais simplement la valeur totale de la somme ci-dessus, de cette énergie actuelle.

Et, pour en revenir enfin à notre point de départ, nous disons, par rapport à celte énergie, à cet état choisi ^ qu'un système de forces a un potentiel, si le travail de ces forces reste le même quand on passe d'une certaine valeur Ua de l'énergie actuelle, c'est-à-dire de l'état A, à une autre valeur Ub de cette énergie, c'est-à-dire à l'état B» quels que soient les états intermédiaires, c'est-à-dire les valeurs U prises successivement par l'énergie.

Ceci posé, nous pouvons enfin énoncer le théorème remarquable suivant : les forces d'inertie admettent un

potentiel qui est l'énergie actuelle. En effet, le principe fondamental de la dynamique a pour énoncé : /ab + Tab = o, en appelant /ab le travail des forces d'inertie. Or : Tab = Ub — Ua- Donc : /ab = Ua — Ub, ce qui démontre le théorème.

Quand des forces admettent un potentiel, le travail positif exécuté par les forces est numériquement égal au décroissement de ce potentiel. Pour employer une expression plus concrète, si le travail: que peuvent fournir les forces est déjà actuellement représenté sous une certaine forme que nous avons appelée énergie potentielle, le travail efTectué par les forces quand on passe de la posi-; tion A à la position B est égal à la diminution de cette énergie et a pour expression T^b = Ea — Eb. L'énergie actuelle n'est donc pas autre chose que l'énergie potentielle des forces d'inertie. Quand la force vive diminue, le travail des forces d'inertie est positif et repi^éserité numériquement par cette diminution. Voici quelques conséquences de ce nouvel énoncé.

Tout d'abord, si les forces qui agissent sur le système sont nulles, ou ont un travail nul, Tab == o. Donc Ub=Ua, et les valeurs de l'énergie actuelle sont les mêmes pour le premier et le second état. Or, il existe une circonstance très importante où nous sommes sûrs a priori que le travail des forces est nul, au moins pour un petit déplacement du système à partir d'une position donnée; c'est celui où les forces se font équilibre, c'est-à-dire où le système demeurerait au repos, si on le supposait un instant au repos. D'où le théorème suivant: Quand un système passe par une de ses positions ou formes d'équilibre, l'énergie actuelle ne varie pas : ce qui revient au même, elle passe par un maximum ou un minimum. Cherchons à préciser; nous avons vu que, pour l'équilibre stable, le travail des forces pour un petit déplacement fini, à partir de la position d'équilibre, est négatif. Appelons A la position d'équilibre, B cette position voisine : si l'équilibre est stable, on a Tab < o, puisque le travail des forces est résis*

tant, conséquemment Ub < Ua : donc l'énergie actuelle passe par un maximum.

Exemple: Un pendule est à Tétat d'équilibre stable, si la corde est verticale et le poids en bas ; donc, si le pendule fait des oscillations, le maximum de vitesse correspond au passage par la verticale. Ce même pendule, supposée la tige rigide, a une position d'équilibre instable, lorsque le poids est sur la verticale du point de suspension mais au dessus ; si donc on lance le pendule avec une vitesse suffisante pour qu'il décrive, non plus des va-etvient, . mais des cercles complets, le minimum de la vitesse aura lieu lors du passage supérieur à la verticale.

Ce principe a été énoncé par le marquis de Gourtivron, dans V Histoire de P Académie pour 1749 sous la forme suivante : « Principe nouveau. De toutes les situations que prend successivement un système de corps animés par des forces quelconques et liés les uns aux autres par des fils, par des leviers ou tel autre moyen qu'on veuille supposer, celle où le système a la plus grande somme de produits des masses par le carré des vitesses, c'est-à-dire la

plus grande force vive, est Ja même situation que celle où il le faudrait placer en premier lieu, pour qu'il restât en équilibre. »

Une autre conséquence importante s'applique au cas où les forces mesurées par leurs effets statiques admettent un potentiel ; si Ton veut, s'il leur correspond une énergie potentielle E. Soient Ea et Eb les valeurs de cette énergie dans les situations A et B, on peut poser Tab == Ea — Eg. Or, on a aussi Tab =^ Ub — Ua ; d'où enfin :

Ea - Eb = Ub - Ua, Ea + Ua = Eb + U

résultat qui s'énonce de la manière suivante :

La somme de Ténei^ie potentielle et de Ténergie actuelle est une quantité constante ; si la seconde croit, la première décroit d'autant ; inversement, à une diminution de la première correspond un accroissement de la seconde. Enfin, si on englobe les deux sortes d'énergie sous le même vocable d'énergie, on peut dire que l'énergie d'un système se conserve.

Mais il importe de le redire à satiélé ; ce ne sont encore là que des manières de parler. Nous n'avançons, en employant ces formes, rien que de connu; nous ne faisons qu'énoncer d'une façon rapide et commode le résultat de nos hypothèses fondamentales, à savoir : 1* qu'il y a équilibre dans une situation, lorsque, pour un petit mouvement à partir de cette situation, le travail des forces est nul ; 2^* que l'on peut appliquer le même principe aux forces d'inertie. Tout le reste n'est qu'une déduction nécessaire et mathématique, indiscutable une fois les principes admis, et qui ne renferme absolument rien ce nouveau. Nous ne sommes pas plus libres de nier ces conséquences que, le postulatum d'Euclide admis, de nier que les trois angles d'un triangle valent deux droits.

La notion de force vive est si fondamentale que nous devons insister sur l'historique de sa découverte, afin de payer à Leibnitz, son auteur, un juste tribut d'admiration. Nous allons donc analyser un petit opuscule, F Essai de dynamique^ qui résume ses idées. On y rencontre pour

248 DfiS FORGES VIVES ET DE LA FORCE DES CORPS

la première fois des démonstrations basées sur Timpossibilité du mouvement perpétuel, principe qui depuis a tant servi dans toutes les branches de la physique. L'opuscule débute par quelques définitions.

Définition I. — De la force égale, moindre ou plus grande.

Lorsqu'il y a deux états tellement faits que, si Tun pouvait être substitué à lautre sans aucune action du dehors, il s'ensuivrait un mouvement perpétuel, on dirait que la force a été augmentée, ou que la force de l'état substitué est plus grande. (Le mot force est pris ici dans le sens d'énergie, ce qui importe peu pourvu qu'on soit prévenu.)

Définition II. — La quantité de mouvement est le produit de la masse par la vitesse : les masses sont mesurées par les poids.

DÉFiNrnoN III. — Le mouvement perpétuel est impossible. On dit qu'il y a mouvement perpétuel quand le système, partant d'un certain état, revient à ce même état ; et que, sans qu'il y ait eu d'actions extérieures, non seulement le premier état est restitué, mais le système peut produire encore quelque effet. (Cette définition comporte comme cas particuliers la définition vulgaire ; car dans tout mouvement il faut vaincre des frottements ; un système ne peut donc, sans forces extérieures, continuer indéfiniment à se mouvoir sans créer pour ainsi dire de quoi compenser le travail des frottements.)

Axiome /. — La même quantité de force se conserve; on ne peut substituer l'un à l'autre que des états égaux,

suivant la définition I ; ou, ce qui revient au même, l'effet entier est égal à sa cause.

Axiome II. — Il faut autant de force pour élever une livre à la hauteur de 4 pieds qu'il en faut pour élever quatre livres à la hauteur d'un pied. (Cet axiome montre que le mot force est bien pour Leibnitz l'équivalent du mot travail.)

Postulalum L — On demande que toute la force d'un corps puisse être transférée sur un autre corps donné ou, du moins, si on suppose cette translation, qu'il n'en arriverait aucune absurdité. On peut imaginer certaines machines pour l'exécution de ces translations de force ; mais, quand bien même on n'en donnerait pas la construction, c'est assez qu'il n'y ait pas impossibilité.

Postulalum IL — On demande que les empêchements extérieurs soient exclus ou négligés comme s'il n'y en avait aucun.

Toutes ces définitions posées, ces axiomes et ces postulats admis, Leibnitz démontre que la force des corps, en langage moderne leur énergie, est mesurée par la force vive et non par quelque autre fonction de la vitesse, telle que la quantité de mouvement. Voici la suite des propositions.

Proposition I. — Les vitesses que les corps pesants acquièrent en descendant sont comme les racines carrées des hauteurs d'où ils descendent, et vice versa ; les corps, en vertu des vitesses qu'ils ont, peuvent remonter aux hauteurs d'où ils devraient descendre pour acquérir ces-

vitesses, et cela que le corps soit gros ou petit, la chute oblique ou verticale, pourvu qu'on observe la deuxième demande. (Nous connaissons déjà cette proposition; elle avait été démontrée avant Leibnitz, par Galilée et Huyghens.)

Proposition II (qui peut se déduire de Taxiome II et du postulatum I). — Un corps A pesant une livre, en descendant de la hauteur de 16 pieds, peut élever un corps B pesant 4 livres à une hauteur qui soit tant soit peu moindre de 4 pieds. Gela se prouve par la statique commune. Par exemple, à Taide* d'un fléau de balance dont les bras soient comme de 1 à 4. D'ailleurs, ce n'est pas autre chose que l'énoncé du principe des vitesses virtuelles. Gette proposition est, en plus, générale pour le deuxième axiome.

Proposition III, — Supposez que la quantité de mouvement se conserve toujours, on peut faire en sorte qu'à la place d'un corps de 4 livres avec 1 degré de vitesse, on obtienne un corps d'une livre avec 4 degrés de vitesse. Ce qui résulte de la définition 11 et du postulat I. Gar (pos* tulat 1} on peut transporter toute la force de A sur B; donc, si A seul était en mouvement, B ensuite sera seul en mouvement. Gomme rien d'accidentel n'a absorbé quelque chose de force (demande II) il faut que B ait la même quantité de mouvement que A.

Proposition IV* — Supposez qu'à la place de 4 livres avec 1 degré de vitesse on puisse acquérir 1 livre avec 4 degrés de vitesse ; je dis qu'on pourra obtenir le mouvement perpétuel.

Faisons qu'un globe A de 4 livres descende de la hauteur 1 et acquière 1 degré de vitesse. Soit maintenant obtenu qu'à sa place un globe B d'une livre ait 4 degrés de vitesse (hyp.)- Le globe B montera à 16 pieds (prop. I); puis, engagé dans une balance et redescendant à l'horizon, il pourra élever A d'une hauteur de 4 pieds (prop. II). Au commencement, A était élevé d'un pied au-dessus de l'horizon, B était sur l'horizon. Maintenant B est sur l'horizon, A est à une hauteur 4. C'est le mouvement perpétuel.

Proposition V. — Supposé que la quantité de mouvement se conserve toujours, on peut obtenir le mouvement perpétuel mécanique. Ce qui résulte immédiatement des propositions III et IV.

On comprend, d'après ces théorèmes, que Leibnitz ait voulu refuser à la quantité de mouvement le nom de force des corps ; car, s'il existe quelque chose de mesurable qui caractérise la puissance d'un corps, le propre de ce quelque chose est de pouvoir s'échanger et se conserver ; on ne peut admettre ni cet échange, ni cette conservation pour les quantités de mouvement.

Ce travail éliminatoire effectué, on peut alors se demander s'il n'existerait pas quelque autre fonction de la vitesse, qui satisfasse à ces conditions.

Proposition VL — Un corps de 4 livres de poids et de 1 degré de vitesse a seulement le 1/4 de la quantité de force d'un corps d'une livre de poids et de 4 degrés de vitesse.

Si A (4 livres) monte à 1 pied, B (1 livre) montera à 16 pieds (prop. I).

B monte une livre à 16 pieds: donc 16 livres à un pied (axiome 11).

A monte une livre à un pied (hypothèse).

Or, la force d'élever 16 livres à un pied est quadruple -de la force d'élever 4 livres à un pied (sens commun)* Donc C. Q. F. D.

Proposition VII. — Un corps de 4 livres de poids et de 1 degré de vitesse a la même force qu'un corps d'une livre de poids et de 2 degrés de vitesse. Même démonstration.

Ces propositions jointes montrent que la force des corps est mesurée par le produit de la masse par le carré de la vitesse, en d'autres termes par la force vive.

Voilà toute la dynamique de Leibnitz ; on ne peut dire en moins de mots tant de choses profondes et vraies. S'il prend pour mesure de la force des corps la force vive, c'est qu'elle est immuable, peut s'échanger, correspond absolument à l'idée que nous nous faisons de l'énergie. 11 en montre la source dans le travail, et pose comme nécessaire la transformation réciproque du travail et du mouvement. 11 montre, enfin, que la quantité de mouvement ne satisfait pas à ces conditions et donne le dernier coup au système de Descartes.

C'est en 1686, mais sous une forme moins systématique, que Leibnitz publia ses idées pour la première fois. Dans cet écrit, il reproche aux Cartésiens d'admirer leur maître sans aucun discernement, de remplacer la réflexion par

la tradition, et leur démontre la fausseté de la règle de Descartes. Ce fut le début d^une querelle qui servit assurément à éclaircir les idées que Ton avait alors en dynamique, mais qui devint bientôt une pure dispute de mots»

Une réplique ne se fit pas attendre : elle fut envoyée par un abbé de Gonti à la République des Lettres de septembre 1686. Toute l'argumentation se réduit à ceci : « Dans l'exemple de M. de Leibnitz, le corps d'une livre monterait à la hauteur de 4 aunes dans un temps comme 2^ et le corps de 4 livres monterait d'une aune dans un temps comme 1. Puisque les temps sont inégaux, il n'est pas étrange qu'on trouve inégales les quantités de mouvement : les forces des deux corps ne sont pas égales. » L'abbé assaisonnait sa critique d'injures dans le goût du temps.

La réponse parut au mois de février 1687; elle est digne du grand philosophe.

« Les Cartésiens, dit-il, prétendent qu'il se garde la même force en somme, qu'ils estiment toujours par la quantité de mouvement. Par exemple, s'il y a un corps de 4 livres d'une vitesse de 1 degré et qu'on suppose que toute sa force doit maintenant être transférée sur un corps d'une livre,* n'est-il pas vrai que les Cartésiens prononceront que dans cette supposition il faudra que ce corps reçoive une vitesse de 4 degrés, afin que la même quantité de mouvement soit gardée? Mais selon moi ce corps ne doit recevoir qu'ime vitesse 2, de sorte que l'opposition est assez manifeste.

Et, en estimant les forces que les corps ont acquises, ces Messieurs ne se mettent point en peine si elles ont été acquises en un temps long ou court, inégal ou égal. En effet, le temps ne seii de rien à cette estime. Voyant un

corps d'une grandeur donnée aller d'une vitesse donnée, ne pourra-t-on pas estimer sa force sans savoir en quel temps et par quels détours ou délais il a acquis la vitesse qu'il a? Urne semble qu'on peut juger ici sur l'état présent sans savoir le passé. Quand il y a deux corps parfaitement égaux et semblables et qui ont une même vitesse, mais acquise dans l'un par un choc subit, dans l'autre par quelque descente de durée notable, dira-t-on que leurs forces sont différentes? Ce serait comme si on disait qu^na komme est plus riche à qui l'argent a coûté plus de temps à gagner. Mais, qoi phis est, il n'est pas nécessaire que les deux corps que j'avais proposés dlent parcouru leurs différentes hauteurs en temps inégaux; car, selon qu'on change la ligne de descente, en la rendant plus ou moins inclinée, on peut faire d'une infinité de façons que ces deux corps descendent de leurs différentes hauteurs en temps égaux. »

La question semblait donc complètement élucidée ; Leibnitz avait clairement expliqué sa pensée, ce qu'il entendait par force des corps, en quoi sa définition était plus avantageuse que l'ancienne. Malgré cela, pendant quarante ans, on va ressasser contre lui les mêmes ridicules arguments, et chacun tiendra à honneur de dire son petit mot sur la force des corps. M. de Voltaire lui-môme, en 1744, envoie à V Académie un mémoire que M. de Fontenelle n'a pas honte de louer.

D'ailleurs, Fontenelle n'avait pas attendu jusque-là pour donner son avis. Dans V Histoire de l'Académie de 1721, voici en quels termes il traite l'opinion de Leibnitz : « Les pins grands génies ne sont pas incapables de grandes erreurs. Outre le fonds commun à toute la nature humaine, ils peuvent avoir une confiance en eux-mêmes qui, quoique

légitime, en général, et justifiée par un grand nombre de succès, ne manquera guère d'être un principe trompeur nlans quelques applications particulières. On va le voir par l'exemple de feu M. Leibnitz qui suffira seul pour ^consoler les grands hommes tombés dans ce cas. Tous les mathématiciens modernes conviennent que la force des ^orps est le produit de leur masse par leur vitesse, et Ton ne voit pas que la mesure de la force motrice dût être le carré de la vitesse. Car, d'où viendrait ce carré? Quels seraient les deux eflFets de la vitesse ?

« Cependant, comme nous l'avons dit en 1716, M. Leibnitz prenait pour mesure de la force des corps en mouvement le produit de leur masse, non par la vitesse, mais par le carré de leur vitesse. Sa principale raison et celle qui parait l'avoir conduit à cette pensée est que, selon le système de Galilée très bien démontré et reçu de tout le monde, un corps poussé de bas en haut avec un degré de vitesse et qui monte par exemple à une toise, monte à 4, s'il est poussé avec 2 degrés, à 9 s'il l'est avec 3. Or, les forces sont comme les espaces qu'elles font parcourir et ces espaces sont comme les carrés des vitesses, donc les forces sont comme les carrés. » Or, ainsi que nous l'avons vu, jamais Leibnitz n'a dit de pareilles absurdités. Il prévient qu'il appelle force des corps quelque chose qui peut se transmettre et quia pour équivalent un travail accompli ou pouvant être accompli. Mais ce travail le peut être d'une infinité de manières, et ce n'est que dans le cas, tout à fait particulier, d'une force constante et d'un déplacement parallèle à la force que les forces au sens de Leibnitz se trouvent comme les espaces qu'elles font parcourir. D'ailleurs, puisque les corps en mouvement, si rien ne les en empêche, conservent indéfiniment leur vitesse, si

prend pour force des corps le chemin qu'ils peuvent rcourir, la force des corps est toujours infinie. Assuréint la force d'un corps, au sens de Leibnitz, dépend :n de l'espace que le corps peut parcourir, à la condin que, pendant ce parcours, il y ait un travail accompli itre certaines forces.

L.ea saines idées dynamiques s'étaient tellement obscurs sous l'influence du principe des vitesses virtuelles mal erprété que de Maîran, dans un fort long mémoire, blié en 1718, dît ce qui suit : « L'effet le plus univerlement connu de la force en tant qu'appliquée aux -ps, ou en tant qu'on imagine qu'elle y réside après y >ir été appliquée, c'est le mouvement. Force et mouve- ^nt ne sont ici que des grandeurs susceptibles de plus de moins et par là toujours relatives à quelque terme i leur doit servir de commune mesure. » Autant rreurs que de mots. La force au sens moderne, en it qu'elle est appliquée à un corps, n'est pas mesurée p ta vitesse, mais par les changements dans la vitesse ; tant qu'elle y réside, c'est-à-dire au sens de Leibnitz, B n'est pas représentée par la quantité de mouvement

produit de la masse par la vitesse, puisque cette mtité ne peut pas se transmettre d'un corps à un autre 13 changement de valeur. « La force appliquée à un ps, que rien n'empêche de se mouvoir, continue de iran, y produit donc du mouvement; de ce que je con- 3 un corps en mouvement, je conçois une force qui le t mouvoir. Ce mouvement peut être uniforme ; comme il ne saurait nous indiquer d'autre mesure de la force

le produit que la simple vitesse du mobile multipliée ■ sa masse. » Ce passage n'a pas plus de sens que le icédent, car de ce que je conçois un corps en mouve-

rigide se déplace seulement sur une sphère. Si la suspension se compose de deux fils rigides, la trajectoire est une circonférence; enfin, s'il y a trois fils rigides, le centre de la balle est immobile.

Généralement, on peut direqu*un système est libre, par rapport k un élément géométrique, quand cet élément (angle ou distance) n'est pas nécessairement invariable. Cette liberté peut être i^iîl^f^rftlfi n\ i bilatéral e, et cette distinction est assez fondamentale pour qull soit nécessaire d'insister.

Soit considéré dans un système un certain angle dont nous désignons la valeur actuelle par 6 : la liberté est dite bilatérale lorsque les conditions géométriques imposées n'empêchent pas de donner à cet angle une valeur plus grande et une valeur plus petite que 0. De même, soit considérée dans un système une certaine distance dont nous désignons la viileur actuelle par d : la liberté est dite bilatérale lorsque les conditions géométriques imposées n'empêchent pas de supposer à cette distance des valeurs plus grandes et plus petites que d. La liberté est au contraire unilatérale lorsque l'angle ou la distance ne peuvent recevoir qu'un accroissement ou qu'une diminution, et non pas l'un et l'autre. Ainsi, lorsqu'une balle est attachée à un point fixe par un fil rigide, la liberté est bilatérale sur une sphère de rayon égal à la longueur du fil, parce que, ii partir d'une position donnée sur cette sphère, deux petits mouvements en sens inverse sont également possibles sur la sphère ; la liberté est nulle vers l'intérieur ou l'extérieur de la sphère. Si le fil de suspension n'est pas rigide, la liberté reste toujoui's bilatérale sur la sphère dont le rayon est égal à la longueur du fil ; mais, à partir d'un point de cette sphère et en dehors d'elle, la liberté est unilat''-

raie, parce qtie la distance de la balle au point de suspension peut bien diminuer, mais elle ne peut croître, autant du moins que nous supposons le fil inextensible.

Soit, comme second exemple, un corps placé sur une table : la liberté est bilatérale parallèlement à la table, unilatérale dans un sens perpendiculaire ; car le corps peut bien s'élever au-dessus de la table, il ne peut descendre au dessous.

Jusqu'à présent, nous avons considéré ces liaisons comme de pures conditions géométriques; mais nous ne devons A

pas nous borner à cet aperçu trop abstrait. Les liaisons, par le fait même qu'elles peuvent, le cas échéant, gêner les mouvements, sont capables de donner naissance à des forces. Assurément, ces forces sont généralement impossibles à mesurer directement; mais cette impossibilité d'une détermination directe ne peut faire mettre en doute leur existence. Ces forces sont d'ailleurs d'une nature particulière ; elles n'existent pas du seul fait de la liaison ; il faut, pour leur donner une existence réelle, qu'une force telle qu'une traction ou une pression, intervienne. De ce qu'un corps est suspendu par une corde à un clou, il ne résulte pas nécessairement une action de la corde et du clou sur le corps. Mais, si le corps est pesant, la corde se tend, et à ce moment seulement la liaison intervient comme une véritable force pour annuler la pesanteur.

Ceci posé, cherchons à résoudre le problème suivant : Dans quel cas plusieurs forces peuvent-elles se faire^ l^re.

Il est clair que la solution dépend de la définition que nous donnerons de Téquilibre. Si nous disons que des forces se font équilibre lorsque leurs effets simultanés sont nuls, il ne peut jamais y avoir équilibre ; car deux efforts, appliqués comme on voudra & un corps, le déforment nécessairement. Aussi n'envisage-t-on pas Téquilibre d'une manière aussi générale, mais simplement par rapport à la propriété des forces d^engendrer le mouvement. On dit que des forces se font équilibre si, appliquées simultanément à un système, celui-ci reste immobile. On fait abstraction des petites déformations que ces forces produisent sur les parties nécessairement plus ou moins élastiques du système.

Pour aller du simple au complexe, imaginons qu'une seule force agisse sur le système considéré et cherchons les conditions d'équilibre.

Puisque, par la définition même de la force, elle tend à produire un mouvement, le mouvement aura lieu effectivement et il n'y aura pas équilibre, si rien ne s'oppose à l'action de cette force. D'où résulte nécessairement qu'un système ne peut être immobile sous l'action d'une force unique, que s'il intervient des liaisons qui, le cas échéant, donneront naissance à des forces.

De plus, nous pouvons admettre comme un fait d'expérience vulgaire que deux tractions ou deux pressions

52 PRINGIPS DBS VITESSES VIRTUELLES

égales et de sens contraires détruisent leurs effets, non cerles en ce qui touche les déformations, mais en ce qui touche le mouvement produit. Si nous attelons à un chariot et en sens inverse deux chevaux également forts, le véhicule reste immobile, bien que les planches avec lesquelles il est construit puissent être déformées, et même disjointes ou brisées, si Ton dépasse leur limite d'élasticité.

D'où cette conclusion : pour qu'un système soit en équilibre sous l'action d'une force unique, il faut qu'il existe des liaisons capables de donner naissance à une seconde force égale et opposée à la première. D'où enfin cette règle : la recherche des positions d'équilibre revient à celle des positions pour lesquelles les liaisons donnent naissance à une force égale et opposée à la force donnée : c'est une application fondamentale du grand principe de l'égalité de l'action et de la réaction dans l'équilibre.

Nous n'en sommes guère plus avancés^ car, ainsi que nous l'avons fait remarquer, il est très difficile pratiquement, pour ne pas dire impossible, de mesurer directement les forces qui proviennent des liaisons, et il serait avantageux de remplacer cette règle par une autre où ces forces n'intervinssent pas.

Nous y parviendrons par les considérations suivantes :

A partir d'un état donné d'un système, les liaisons laissent généralement plusieurs mouvements possibles pour chacune de ses parties ; ces déplacements ne se feront pas nécessairement, mais rien n'empêche que nous ne les supposions arbitrairement réalisés. Pour les distinguer d'un déplacement qui aurait réellement lieu, nous les appellerons déplacem ents virtue ls. Par exemple, si un corps est posé sur une table en un point A, rien n'empêche de

lui supposer toute une série de' petits déplacements virtuels à partir de ce point  dans tout l'espace au-dessus de la table.

Pour chacun de ces petits déplacements il existe un petit travail de la force donnée, travail que nous appellerons travail virtuel correspondant au déplacement. Il est positif ou négatif, suivant que Tangle de la force et du déplacement, que Ton peut, vu sa petitesse, considérer comme rectiligne, est aigu ou obtus. Si Tangle est aigu, ou le travail positif, la force favorise le déplacement ; s'il est obtus, ou le travail négatif, la force gêne le déplacement. Enfin, si Tangle est droit, le travail est nul et la force ne gène ni ne favorise le déplacement.

Or, puisque par hypothèse les petits déplacements en question sont possibles ou, ce qui revient au même, ne sont pas empêchés par les liaisons ; et puisque tous les mouvements qui correspondent à un travail positif sont favorisés par la force, il résulte que, pour que la position initiale du système, à partir de laquelle nous supposons effectués ces petits déplacements, soit une position d'équilibre, un travail positif ne peut correspondre à aucun de ces déplacements.

D*où cette première conclusion : pour qu'une position soit d'équilibre, il faut que les liaisons ne permettent à partir d'elle que des déplacements correspondant, au moins tant qu'ils sont petits, à des travaux nuls ou négatifs. Ce qui est de toute évidence.

Cherchons maintenant dans quel cas le travail peut être négatif, dans quel cas il doit être nul. Si pour un certain déplacement le travail est négatif, pour un déplacement de sens contraire il devient positif, car rien n'est changé d'un cas à l'autre que la direction du mouvement ; d'obtus

Tangle de la force et du déplacement devient aigu. IL résulte que, si la liberté par rapport à ce déplacement est bilatérale, le travail correspondant à ce déplacement doit être nul pour qu'il y ait équilibre. Si la liberté est unilatérale, le travail peut 6tre négatif. Soit par exemple un corps pesant sur une table horizontale. Pour tous les déplacements parallèles à la table, la liberté est bilatérale, mais le travail est nul. Pour un déplacement vertical de bas en haut, le travail de la pesanteur est négatif, puisqu'elle s'oppose au mouvement ; l'équilibre n'en subsiste pas moins, parce que la liberté est unilatérale, le déplacement de haut en bas, pour lequel le travail serait positif, étant impossible. Le même raisonnement s'applique au cas d'une balle pesante sphérique suspendue par son centre à un point fixe au moyen d'un fil non rigide ; l'équilibre a lieu si le fil de suspension est vertical, bien que pour un déplacement vertical de bas en haut le travail de la pesanteur soit négatif.

Le problème de l'équilibre est donc résolu dans le cas d'une seule force appliquée à un système.

Et, puisque par un raisonnement indépendant nous étions parvenus à cette conclusion que, d ans la position d'éqpii libre, les liaisons devaient nécessairement donner naissance à une force égale et opposée à la force supposée appliquée au système, nous sommes certains que cette condition est réalisée chaque fois que p our les déplacements bilatéraux le travail est nul, que pour les déplacements unilatéraux le travail est nul ou négatif.

Nous sommes maintenant en mesure de préciser ce qu'on appelle équilibre stable, instable et in différe nt. Pour savoir s'il y a équilibre dans une position donnée Si, il faut imprimer au système de corps, à partir de cette posi-

tion, un petit mouvement qui l'amène de Si dans une position voisine S^; à partir de cette seconde position, nous pouvons donner au système un nouveau petit déplacement dans la même direction : plusieurs cas peuvent alors se présenter.

Premièrement, si le travail, nul pour le premier déplacement, reste nul pour le suivant, on dit que l'équilibre ^ est ind ifférent . Par exemple^ soit un corps pesant poli placé sur un plan horizontal poli. Pour un premier déplacement horizontal, le frottement étant nul, et le déplacement normal h la force qui est verticale, le travail est nul. Continuons de mouvoir le corps horizontalement, le travail reste constamment nul, et l'équilibre indifférent.

En second lieu, si le travail, d'abord nul, devient négalUy Téquilibre est stable . Prenons comme exemple un pendule simple déplacé h partir de la verticale. La balle pesante décrit un cercle. Pour un tout petit mouvement, le travail est nul, car la force verticale de la pesanteur coïncide d'abord avec le rayon ; elle est donc normale au déplacement qui s'effectue sur le cercle; mais, pour un déplacement plus grand, le poids monte, l'angle du déplacement et de la force est obtus, le travail s'effectue contre la pesanteur, il est négatif; l'équilibre est stable.

En troisième lieu, si le travail, d'abord nul, devient positif, l'équilibre est instable . Soit, comme exemple, un corps pesant poli, placé sur un cylindre poli dont l'axe est horizontal. Le corps est placé, au début de l'expérience, sur la verticale qui passe par l'axe; il y a équilibre, car un petit mouvement s'effectue sur le cercle, et la partie la plus élevée de ce cercle est horizontale, puisque le rayon y est vertical. Mais un mouvement, qui n^est pas très petit, fait descendre le poids ; l'angle du déplacement et de la force

-v^r-ïV

est aigu, le travail de la pesanteur est positif; Téquilibre n'a plus lieu : on dit qu il était instable.

En dernier lieu, nous avons vu que le travail pouvait être négatif dès Torigine du mouvement, pour un certain déplacement, sans que l'équilibre cesse d'exister, à la seule condition que le mouvement opposé & celui que Ton con*

sidère soit impossible. Dans ce cas, l'équilibre est stable. L'exemple le' plus simple que l'on puisse donner est celui d'un corps placé sur une table : l'équilibre, que nous avons trouvé indifférent pour les déplacements horizontaux, est stable pour es mouvements verticaux.

Il s'agit maintenant de lever la restriction que nous avons introduite, à savoir qu'il n'y a qu'une seule force appliquée au système.

La solution générale dépend du principe suivant connu sous le nom de principe des vitesses virtuell es, appellation fort mauvaise d'ailleurs, ainsi que nous aurons l'occasion de le montrer :

« Un système est en équilibre dans une position donnée si le travail de toutes les forces correspondant à un petit déplacement quelconque parmi les déplacements possibles à partir de cette position est nul, si le déplacement peut être effectué dans les deux sens; est nul ou négatif, s*il ne le peut que dans un seul. »

Ce principe, qui est la généralisation de la règle précédente, conduit à des résultats exacts dans tous les cas où on a voulu l'appliquer. Il semble que cela ne puisse suffire et qu'il serait utile d'en avoir une démonstration

générale. Mais ce serait se méprendre étrangement sur les conditions de certitude de la science. Nous ne saurions mieux faire que de citer à ce propos un passage remarquable d'un mémoire de Poinsot sur l'équilibre et le mouvement des systèmes.

<c Une démonstration générale du principe des vitesses virtuelles devrait au fond revenir à établir la mécanique entière sur une autre base : car la démonstration d'une loi qui embrasse toute la science ne peut être autre chose que la réduction de cette science à une autre loi aussi générale, mais évidente, ou du moins plus simple que la première, et qui, partant, la rende inutile. Chercher h démontrer le principe des vitesses virtuelles pour l'heureux usage qu'on en a fait, c'est chercher à s'en passer pour cet usage même, soit en trouvant quelque autre loi aussi féconde, maiç plus claire, soit en fondant sur d'autres principes une théorie générale de l'équilibre, dont les propriétés des vitesses virtuelles ne deviennent plus alors qu'un simple corollaire. En d'autres termes, si l'on essayait de mettre d'une manière générale et bien développée, à la tète d'une mécanique basée sur ce principe, sa démonstration, l'ouvrage se trouverait fait deux fois : je veux dire que cette démonstration comprendrait déjà toute la mécanique. »

Et ce que Poinsot dit ici excellemment du principe des vitesses virtuelles, nous le pourrions répéter textuellement pour un principe quelconque. Donner d'un principe une démonstration, c'est lui enlever celte qualité d'être nn postulat et la transporter aux propositions qui ont servi à sa démonstration. La question actuelle revient donc à la suivante : Â quel caractère peut-on juger qu'un principe mérite d'être conservé comme tel, puisqu*aussibien,

ainsi qu'il résulte même des discussions présentées au premier chapitre, des postulats non évidents sont indispensables, les propositions évidentes étant trop générales pour qu'on en puisse tirer le détail des phénomènes.

Ce caractère est le suivant : il importe assez peu que le principe soit clair ou obscur, la clarté ou Tobscurité étant choses fort relatives ; il importe qu'il soit général. Or, ainsi que nous le verrons, nous possédons d'autres principes qui sont tout aussi généraux que le précédent, et qui sont au moins aussi clairs. Mais le principe du travail virtuel a sur les autres cet avantage incomparable d'introduire la notion fondamentale du travail, qui n'est pas seulement une simple définition, une entité algorithmique, mais quelque chose de mesurable, non seulement dans ses éléments constitutifs, espace et force, mais en soi, ayant une existence objective, susceptible de transformation et d'équivalence.

Enfin, il permet de négliger toutes les réactions produites par les liaisons dont l'estimation individuelle serait extrêmement difficile.

Aussi l'admettrons-nous sans démonstration et nous contcnterons^nous de le légitimer par ses conséquences.

Nous admettrons d'une manière analogue que tout ce qui a été dit des diiïérentes sortes d'équilibre reste vrai, quel que soit le nombre des forces.

Dans le cas où les forces qui agissent sur le système admettent un potentiel, et nous avons vu qu'il en était ainsi chaque fois que le travail, correspondant au passage d'une position à une autre position, est indépendant des trajectoires choisies, le principe du travail virtuel prend une forme particulièrement intéressante.

On dit qu'une grandeur est fonction d'une autre grandeur lorsque les valeurs de la première dépendent des valeurs de la seconde. Ainsi la température de l'atmosphère est une fonction de l'heure. L'une des grandeurs s'appelle la variable (heure ou temps); l'autre, la fonction (température). On peut dresser un tableau à double entrée : dans la première colonne sont les valeurs de la variable ; dans la seconde, celles de la fonction. Supposons que, pour une certaine valeur de la variable (deux heures de l'aprèsmidi), la fonction ait une certaine valeur (25^ G.). On dit que pour cette valeur particulière de la variable la fonction passe par un maximum, lorsque pour toutes les valeurs de la variable voisines de cette valeur (deux heures moins cinq minutes, moins dix, etc., deux heures cinq minutes, dix, etc.), la fonction a des valeurs plus petites (moindres que 25"*).

Pour un minimum, les valeurs de la fonction pour des valeurs voisines de la variable seraient plus grandes. Dire que la température est minima à deux heures du matin, c'est dire qu'elle prend à cette heure-là sa plus petite valeur.

Lorsqu'une grandeur atteint une valeur maxima ou mi-

.vç

nima, elle semble constante aux environs de ce maximum ou minimum. Par exemple, la longueur des jours est maxima au solstice d'été, minima au solstice d'hiver ; on se convaincra, en consultant un calendrier, qu'à ces époques plusieurs jours consécutifs ont la même durée. La température de l'atmosphère est maxima vers deux heures de l'après-midi, minima à deux heures du matin ; on sait par une expérience journalière qu'elle varie peu entre une heure et trois heures. Un pendule qui oscille atteint son maximum de vitesse quand il passe par la verticale ; les expériences montrent qu'autour de cette position cette vitesse est sensiblement constante. Et réciproquement on peut dire que, lorsqu'une grandeur variable en fonction d'une autre grandeur, comme la température en fonction des heures, la longueur des jours en fonction des dates, la vitesse du pendule en fonction de l'angle qu'il fait avec la verticale, lorsqu'une telle grandeur cesse de croître, elle passe généralement par un maximum ou un minimum.

Revenons au cas où les forces qui agissent sur le système ont un potentiel. Nous avons vu que le travail Tj,, effectué par ces forces dans le passage du système de la position 1 à la position 2, est égal à la variation de l'énergie potentielle, ou, pour préciser, à la différence El — Ei des énergies potentielles qui caractérisent ces deux positions. Soit 1 une position d'équilibre, et 2 une position quelconque très voisine; le travail T,i est généralement nul, d'où résulte que l'on a généralement Ei = E,; l'énergie potentielle est constante pour toutes les positions voisines de la position d'équilibre, elle y passe donc par un minimum ou un maximum.

Mais on peut aller plus loin. Nous avons vu que l'équilibre stable est caractérisé par ce fait que, si l'on prend la

PRINGIPB DBS VITESSES VIRTUELLES 61

position 2 un peu plus éloignée de la position 1 que précédemment, le travail des forces est négatif; ce qui nécessite l'inégalité E^ > Ei. Une position d'équilibre stable jouit donc de cette propriété que l'é nergie potentielle y est minimum . Inversement, l'équilibre instable est tel que le travail des forces est positif dans le passage de la position 1 à la position 2 ; pour une position d'équilibre instable, l'énergie potentielle est donc maximum.

En définitive, un système est à l'état d'équilibre stable lorsque Ténergie potentielle a la plus petite valeur possible, étant données ses liaisons actuelles.

Bien que cela ne résulte point encore de nos postulats, nous pouvons admettre, comme un fait d'expérience, qu'un système tend toujours vers un état d'équilibre stable et finit par s'y arrêter, ce que nous traduisons dans notre langage conventionnel par cette formule : « L'énergie potentie lle d'un système tend toujours vers un minimu m. » Ce n'est encore évidemment là qu'une manière de dire les choses ; nous verrons plus tard, quand il nous sera possible de restituer à l'expression d'énergie potentielle une signification plus concrète, de lui supposer une existence objective, d'imaginer existant déjà sous une certaine forme tout le travail que des forces sont capables d'accomplir, nous verrons de quelle généralisation cette formule est susceptible.

Nous allons appliquer ces considérations à l'équilibre d'un système de corps pesants.

Prenons comme terminus de tous les déplacements la surface du sol, et soit un corps de poids P placé à une hauteur H. Son énergie potentielle est PH, ainsi qu'il a été expliqué. Le produit PH représente, en effet, le travail que peut accomplir la force de la pesanteur, lorsque le

corps tombe de «a position actuelle sur le sol. Pour Téquilibre le principe du travail virtuel nous apprend que Ténergie potentielle est minimum. Or le poids P est invariable, donc la hauteur H est la plus petite possible ; le corps est aussi rapproché du sol que le lui permettent les liaisons. S'il est par exemple attaché par un (il à un point fixe, sa position d'équilibre stable correspond à la direction verticale du fil, etc.

Si le système est composé de plusieurs poids P,, P,, Pj, P4, dont les hauteurs au-dessus du sol sont Hi, Hj, H3, H4, Ténergie potentielle du système est égale à la somme H.Pi + HiPj+ HaPaH- H4P4. La position d'équilibre stable correspond donc à la forme du système compatible avec les liaisons, pour laquelle cette somme est la plus petite possible. Cette proposition a été énoncée par Torricelli, disciple de Galilée, en 1614, sous une forme un peu différente. On appelle centre de gravité d'un système de corps pesants un point autour duquel les poids sont symétriquement disposés, avec cette convention que Ton peut remplacer un certain poids situé à une certaine distance sur une direction par un poids double placé à une distance deux fois moindre, triple placé à une distance trois fois moindre, etc., sur la même direction. Partant de cette définition, il est facile de prouver que la hauteur h du centre de gravité au-dessus du sol est donnée par la relation:

Pt + P,+ P3+P4

Le dénominateur de cette fraction est constant ; le numérateur est minimum pour l'équilibre. On a donc le fameux

PRINCIPE DBS VITBSSBS VIRTUELLES

principe: « Dans une machine à poids en équilibre, le centre de gravité est le plus bas possible. »

C'est une conséquence immédiate du principe des vitesses virtuelles. Mais on pourrait aussi le prendre comme un postulat presque évident, puisqu'il revient à dire qu'il répugne à la nature des corps graves de monter, et en déduire le principe même du travail virtuel.

Cette voie a été suivie par Lagrange dans sa Mécanique analytique. Il remarque qu on peut ramener toute machine à une machine à poids, au moins pour ce qui est d'un petit mouvement à partir d'un position donnée. Il n'y a qu'à substituer un poids à chacune des forces utiles au moyen de cordons attachés aux points d'application de ces forces passant sur des poulies de renvoi.

Par exemple [fig. 6}, soit A le point d'application d'une force F, AB le petit déplacement, A' la force utile correspondant à ce déplacement. Attachons en A le cordon ABC, qui passe sur la poulie C, et suspendons à ce cordon un poids P == /^. Dans l'équilibre (par hypothèse maintenant) le centre de gravité est au point le plus bas possible, ou, si l'on veut, dans une situation telle qu'il ne descendra pas, quelque petit mouvement qu'on imprime aux pièces de la machine. Or, par définition^ le produit de la distance du centre de gravité au sol par la somme des poids est égal à la somme des produits des poids par leurs distances respectives au sol. La condition précédente revient à dire que, pour un petit mouvement imprimé aux pièces de la machine, celte somme de produits ne varie pas. Mais la variation individuelle de chacun

Fio. 6.

64 PRINCIPE DBS VITRSSBS VIRTUELLES

de ces produits est égale au travail respectif des diverses forces utiles, puisque cette variation mesure le produit de la force utile (égale au poids) par le déplacement de son point d'application (égal au déplacement du poids). La condition revient donc à dire que pour l'équilibre la somme des travaux des forces est nulle : c'est le principe même des vitesses virtuelles. Ainsi, suivant qu'on estimera plus évident le principe ou sa conséquence, on pourra arbitrairement prendre l'un ou l'autre comme fondamental.

Le principe du travail virtuel, nous apprenant sous quelles conditions un système est en équilibre, semble avoir un rôle pratique assez restreint; car généralement les machines ne sont pas faites pour que leurs parties restent immobiles, et elles n'acquièrent d'utilité que par le mouvement de ces parties. Cependant il nous suffit d'une remarque très simple pour étendre considérablement la portée de notre principe.

Supposons que l'on ait trouvé pour une machine toute une série de positions d'équilibre, telles que l'on puisse passer virtuellement, sans discontinuité, de l'une à l'autre. La machine mise dans une de ces positions ne peut pas en sortir, puisque l'équilibre existe par hypothèse. Si donc on peut supposer que virtuellement la machine passe par la suite de ces positions, il est clair qu'elle n'y passera pas réellement. On peut donner comme exemple le cas oh un corps pesant et non soumis à une autre force se déplacerait sur une table horizontale : les positions successives sont d'équilibre. 11 est clair que l'on peut supposer un

pareil mouvement en tant que virtuel, mais qu'en réalité il n'y a pas de raison pour que ce mouvement s'effectue. Autre exemple : une poulie qui porte une corde sans poids à chaque extrémité de laquelle sont suspendus des poids égaux.

Il semble absolument puéril de chercher ce qui se passerait pour une semblable série de modifications, puisque la nature ne nous en offre guère d'exemples : nous verrons qu'il n'en est rien.

Dans nos hypothèses, quel que soit le petit déplacement de la machine, il lui coi^respond un travail total nul, puisqu'il y a équilibre. Et ce résultat, vrai pour tous les petits déplacements, reste encore évidemment vrai pour une déformation ou un mouvement quelconque, grand ou petit, de la machine. Si arbitrairement nous distinguons les forces qui sont appliquées sur cette machine en forces puissances et en forces résistances, nous pouvons donc conclure que, quel que soit le déplacement, les travaux de ces deux groupes sont égaux en valeur absolue, mais de signes contraires, de manière que leur somme soit nulle.

Ainsi que nous l'avons fait remarquer, si nos hypothèses sont rigoureusement appliquées, les déplacements seront virtuels et ne s'effectueront pas en réalité; mais il nous suffit d'augmenter très peu les forces puissances dont le travail est positif: l'équilibre n'est plus rigoureusement réalisé, mais seulement d'une manière approximative; les vitesses des déplacements ne sont plus nulles, mais seulement très petites; et nous pouvons énoncer ce résultat fondamental, conséquence nécessaire du principe du travail virtuel: « Dans toute machine dont les pièces ?e meuvent toujours très lentement, la somme des travaux des forces correspondant à un déplacement quelconque

TIléORISS h1 LA JlliCANIQUE. 5

est sensiblement nulle ; et, si Ton distingue ces forces en puissances et en résistances, le travail positif des premières est presque égal et tant soit peu supérieur à celui des secondes. »

Plus tard nous pourrons généraliser encore les applications du principe, en supprimant cette restriction que la vitesse des organes de la machine doit toujours rester petite. Nous montrerons que, si les vitesses des organes, vitesses d'ailleurs quelconques, repassent périodiquement par les mêmes valeurs, et si on évalue le travail total des puissances et celui des. résistances entre deux tels passages, on trouve ces travaux numériquement égaux. Sous cette forme, le principe s^applique dans tous les cas à toutes les machines.

Nous allons tirer de là des corollaires d'une importance capitale touchant le rôle des machines. Dans la pratique il se présente des travaux à effectuer, terres à déplacer, fardeaux à élever, etc., travaux que Ton peut évaluer en kilogrammètres. Pour les accomplir nous possédons des puissances, tels que des hommes, des chevaux, etc., et des intermédiaires qui sont des machines ou systèmes qui ninterviennent qu'en créant des forces de liaison. Il résulte du principe que, si nous avons à effectuer un travail déterminé représenté par un certain nombre de kiiogrammètres, le travail que doivent fournir les puissances lui est certainement supérieur et seulement égal dans l'hypothèse la plus favorable.

La puissance d'un agent est donc complètement connue, quand on sait la quantité de travail qu'il peut fournir sans machines : les machines sont incapables d'en créer si peu que ce soit.

Bien plus, nous avons supposé jusqu'à présent que les

machines produisaient seulement des forces de liaison, qui n'interviennent pas dans le principe de travail virtuel. Ce n'est pas complètement exact. Elles introduisent encore des forces dites de frottement, dont le travail ne peut pas être négligé dans l'application du principe; qui par nature augmentent toujours le travail négatif ou résis^ tant, et nécessitent conséquemment une augmentation égale du travail des puissances : il y aurait donc, au point de vue du rendement, avantage à ne pas se servir de machine.

Quel est donc le rôle des machines ? Il est uniquement de permettre de choisir pour le travail de l'agent le mode de dépense le plus convenable.

Car il est évident que, si l'homme peut fournir 205, 000 kilogrammètres par jour, c'est à la condition que son effort soit lent et continu ; s'il cherchait à donner en peu de temps toute cette quantité d*action, ce serait en vain. Mais, s'il a besoin de dépenser ces 205,000 kilogrammètres en un instant, une machine lui donne le moyen d'accumuler ce travail, de l'emmagasiner, et d'en faire ensuite l'emploi dans un temps aussi court qu'il le voudra.

Il n'est pas inutile, en effet, de montrer que la puissance des agents vivants, évaluée en kilogrammètres, dépend essentiellement de la façon dont ils doivent fournir ce travail.

Coulomb fit monter par des ouvriers exercés du bois de chauffage. Pour estimer la. quantité d'action, ih faut multiplier par la hauteur totale parcourue suivant la verticale le poids de l'homme plus le poids de sa charge. L'homme montait six voies de bois par jour à 12 mètres en soixantesix voyages. Il était chargé à chaque voyage de 68 kilogrammes, ce qui portait à 68 -+- 70 = 138 kilogrammes le

fardeau déplacé, en lui supposant un poids de 70 kilogrammes. D'où, en tout, une quantité d'action de 138 X 66 X 12 = 109,000 kilogrammètres, tandis qu'il en peut fournir moyennement 205,000 lorsqu'il monte à vide. Son travail utile est beaucoup plus grand s'il monte le bois à Taide d'un treuil, au lieu de le porter sur ses épaules, à la condition toutefois que la vitesse de son travail ne dépasse pas une certaine limite.

Laissons donc pour l'instant les agents animés, dans lesquels les phénomènes sont trop complexes pour que nous les puissions encore discuter. Les propositions précédentes prouvent que, si nous avons à notre disposition un certain nombre de kilogrammètres à dépenser, nous ne pouvons, quelle que soit la machine employée, recueillir après des transformations quelconques de ce travail, qu'un travail, plus petit, ou égal, si nous négligeons les frottements.

Cette conclusion nous amène nécessairement à considérer le travail comme quelque chose d'existant objectivement, susceptible de prendre des formes diverses, mais équivalentes et échangeables ; nous entrevoyons déjà la possibilité de restituer en quelque sorte à l'énergie potentielle son sens concret. On ne peut créer du travail, ce travail se conserve, au moins avec les restrictions précédentes.

Remarque essentielle: le temps n'intervient pas dans l'estimation du travail. Assurément il peut nous être plus commode de pouvoir dépenser un travail disponible soit tout d'un coup, soit lentement; on a même créé une unité particulière, le cheval-vapeur, qui indique en même temps le nombre de kilogrammètres que l'agent peut efifectuer et le temps nécessaire à cette opération. Mais ce sont là

des renseignements d'un ordre tout différent. La lenteur plus ou moins grande que nous mettons à utiliser un travail ne peut servir de mesure à sa grandeur, pas plus que le nombre d'années qu'un homme mettra à se ruiner, ne sert à évaluer le chiffre actuel de sa fortune.

Tandis que le travail possède une réalité objective, r effort ne représente rien de tel. En tant qu'effort, il ne produit aucun effet durable ; dès qu'il cesse, tout cesse avec lui, et son effet ne survit pas à son action. Si un corps pesant soutenu par une table perdait tout à coup son point, la table cesserait d*ètre pressée dans le même ins^ tant. Ce n'est qu'en tant que l'effort produit des déformations élastiques, par conséquent des déplacements de son poidk d'application et du travail, qu'il produit quelque effet durable. A proprement parler, la quantité d'effort ou de force n'est pas constante dans l'univers, on peut créer de la force.

Lorsqu'un fil est tendu par un poids, les divers éléments de ce fil sont sollicités à se séparer par la traction du poids ; comme ils restent au contact, c'est qu'il s'exerce entre eux une force qui contre-balance l'effet du poids. Plus nombreux sont ces éléments, plus nombreuses sont les forces. Il suffit de prendre des fils de plus en plus longs et d'y suspendre un même poids. La traction qu'exerce ce poids développe entre ces éléments des forces dont le nombre est aussi grand que nous le voulons.

Descartes a le grand mérite d'avoir formulé, le premier, avec une netteté singulière le principe du travail virtuel et d'en avoir tiré la théorie des machines simples. Il expose ses idées dans un petit Traité de mécanique qui mérite une étude approfondie. Ce traité courait déjà manuscrit dès 1638 ; il a été traduit en français et publié seulement en 1668, sous le titre : Explication des machines et engins par Caide desquels on peut avec une petite force lever un fardeau fort pesant.

« L'invention de tous ces engins, dit Descartes, n'est fondée que sur un seul principe, qui est que la même force (lisez travail), qui peut lever un poids, par exemple, de 100 livres à la hauteur de 2 pieds, en peut aussi lever un de 200 livres à la hauteur d'un pied ou de 400 à la hauteur d'un demi-pied, et ainsi des autres, si tant est qu'elle lui soit appliquée... Car c'est le même de lever 100 livres à la hauteur d'un pied et de rechef encore 100 à la hauteur d'un pied, que d'en lever 200 à la hauteur d'un pied» et le même aussi que d'en lever 100 à la hauteur de 2 pieds. » Ceci posé, il remarque que toutes les machines se peuvent rapporter à la poulie, au plan incliné, au coin, au tour ou à la roue, à la vis et au levier, et il passe ea revue successivement ces engins qu'on appelle communément simples.

La POULIE. — « Soit [fig. 7) ABC une corde passée autour de la poulie D, à laquelle poulie soit attaché le poids E... Faisons après cela que A, l'un des bouts de cette corde.

élant attaché ferme à quelque clou, Tautre C soit soutenu par un homme. Il est évident que cet homme en C n^aura besoin, pour soutenir le poids E, si ce poids pèse 200 livres, que de la force qu'il faut pour soutenir iOO livres. Enfin, posons que cet homme qui est vers C tire la corde pour faire hausser le poids E.

Il est évident que, s'il y emploie la force (lisez travail) qu'il faut pour lever i 00 livres à la hauteur de 2 pieds, il fera hausser le poids E, qui en pèse 200, de la hauteur d'un pied.

Il y a toutefois une chose qui empêche que ce calcul ne soit exact, à savoir la pesanteur de la poulie et la difficulté qu'on peut avoir à faire couler la corde et à la porter ; mais cela est fort peu à la comparaison de ce qu'on lève et ne peut être estimé qu'à peu près... On doit aussi remarquer qu'il faut toujours un peu plus de force pour lever un poids que pour le soutenir. »

ton

Fio. 7.

Le PLAN INCLINÉ. — « Si, n'ayant qu'assez de force pour lever 100 livres, on veut néanmoins lever le corps F, qui en ^ pèse 200, à la hau-

teur de la ligne AD, il ne faut (Jig. 8) que le tirer ou rouler le long du plan incliné CA, que je suppose

Fin ft

deux fois aussi long que la ligne AB ; car par ce moyen, pour faire parvenir au point A, on y emploiera la force (lisez travail) qu'il faut

pour faire monter 100 livres deux fois aussi haut. Et d'autant qu*on aura fait ce plan CA plus incliné, d'autant aura-t-on besoin de moins de force pour lever le poids par son moyen.

Mais il y a encore à rabattre de ce calcul la difficulté qu'il y aurait à mouvoir le corps F le long du plan AC, si ce plan était couché sur la ligne BC, dont je suppose toutes les parties également distantes du centre de la terre. Cet empêchement est d'autant moins considérable que le plan est dur, plus égal et plus poli. »

Le coin, — « La puissance du coin ABCD [fig. 9) s'entend

d'elle-même en suite de ce qui vient d'être dit du plan incliné ; car la force dont on frappe dessus agit comme pour le faire mouvoir suivant la ligne BD, et le bois ou autre corps qu'il fend ne s'entr'ouvre ou bien le fardeau qu'il soulève ne se hausse que selon la ligne AC : de façon que la force dont on pousse ou frappe ce coin doit avoir même proportion à la résistance de ce bois ou de ce fardeau que la ligne AC à la ligne AD. »

Fig. 9.

La ROLE. — « On voit aussi fort clairement que la force dont on tourne la roue A ou les chevilles B qui font mouvoir le tour ou cylindre C, {fig, 10) sur lequel se roule une corde à laquelle le poids D qu'on veut lever est attaché, doit avoir la même proportion

Ûo

Fig. 10.

avec ce poids que la circonférence de ce cylindre avec la circonférence du cercle que décrit celte force, ou, ce qui eèi le même, que le diamètre de Tun avec le diamètre de l'autre. »

La vis. — « Lorsqu'on sait la puissance du tour et du plan incliné, celle de la vis est aisée à connaître et à calculer ; car elle n'est composée que d'un plan fort incliné qui tournoie sur un cylindre ; et, si ce plan est tellement incliné que le cylindre doive faire, par exemple, dix tours pour s'avancer de la longueur d'un pied dans l'écrou, et que la grandeur de la circonférence du cercle que décrit la force qui le tourne soit de dix pieds, à cause que dix fois dix font cent, un homme seul pourra presser aussi fort avec cette vis que cent pourraient faire sans elle, pourvu seulement qu'on en rabatte la force qu'il faut pour la tourner. »

Le levier. — Descartes ne se contente pas de la théorie élémentaire du levier, il en étudie le détail. En supposant que le levier n'a ni poids ni épaisseur et se réduit à une ligne, l'application du principe montre que les poids doivent être en raison inverse des bras de levier, de sorte que, si l'on forme les produits de chaque poids par le bras correspondant, on obtienne le même résultat: nous reviendrons plus loin sur cette proposition. « Il serait utile, conclut Descartes, pour ceux qui se mêlent d'inventer de nouvelles machines, qu'ils ne sussent rien de plus en cette matière que ce que je viens d'en écrire, car ils no seraient pas en danger de se tromper en leur compte, comme ils font souvent en supposant d'autres principes. Au reste, on peut appliquer les engins ici expliqués en une infinité

74 PRlNaPB DBS VITESSES VIRTUELLES

de diverses façons et il y a une infinité d^autres choses h considérer dans les mécaniques, dont je ne dis rien à cause que mes trois feuillets sont remplis et que vous n'en avez pas demandé davantage. »

Avant Descartes le principe des vitesses virtuelles ou .du travail virtuel avait été énoncé, pour la première fois^ par Galilée sous une forme qui a prêté dans la suite à bien des malentendus. Le principe du travail consiste, dans Tapplication, à multiplier chaque force utile, Fi, F^, etc., par le déplacement S^s^ de son point d'application, et à additionner tous ces produits : s'il y a équilibre, cette somme est nulle,. Ffii + Fi^i -f- ... = 0. Or tous ces déplacements sont liés les uns aux autres et s'effectuent dans le même temps très petit 6.

Il est évident que, si l'on a Ffii + Fjo,H- ... = o, on a encore :

Gomme on appelle vitesse du mobile le quotient de l'espace parcouru par le temps employé à le parcourir^ les quotients :

•-> — etc.,

sont les vitesses respectives t?„ t;,, etc., des points d'application des forces Fi, Fi. On a donc pour l'équilibre FiVi -+- Fi^i -+- ... =0. D'où le nouvel énoncé du prin-

cipe du travail virtuel, mathématiquement équivalent au précédent: « Si, à partir d'une position d'équilibre, on donne une petite déformation au système, les points d'ap* plication des forces prennent des vitesses t7i, Vt^ etc., et la somme des produits de ces vitesses par la partie utile des forces correspondantes est nulle. » Dans le cas de deux forces on a :

Les forces utiles sont en raison inverse de la vitesse des déplacements de leurs points d'application : c'est l'énoncé de Galilée. Et, pour peu qu'on examine les conditions de l'équilibre dans le levier et les autres machines simples, on reconnaît aisément que cette règle est parfaitement exacte.

Mais, si mathématiquement les deux énoncés sont équivalents, celui de Descartes est infiniment préférable. Quand avec Descartes on écrit que pour Téquilibre les travaux des résistances et des puissances correspondant à un petit déplacement sont égaux en valeur absolue et de signe contraire, on est tout naturellement conduit à prendre ces travaux comme mesurant la puissance des agents moteurs et des agents résistants, à donner à ces travaux une existence objective et à les considérer ensuite indépendamment de cette équation d'équilibre où ils entrent.

Si, au contraire, avec Galilée, on écrit que pour l'équilibre il faut, non plus évaluer les travaux des puissances et des résistances correspondant à un petit déplacement et écrire qu'ils sont égaux en valeur absolue, mais écrire cette égalité pour les quotients de ces travaux par le

temps nécessaire au petit déplacement, bien que cela revienne mathématiquement au même, ne sera-t-on pas tenté de considérer comme mesure de la puissance de l'agent moteur ou résistant, non pas le travail qu'il peut effectuer, mais le quotient de ce travail par le temps. De sorte qu'un agent n'est plus caractérisé par un certain nombre de kilogrammètres, indépendamment de toute autre considération ; mais encore par ce fait qu'il peut dépenser ces kilogrammètres en un certain temps. Cette manière de compter peut avoir pratiquement son utilité : c'est ainsi qu'on estime la puissance des machines en chevaux-vapeur par le nombre de fois 75 kilogrammètres qu'elles peuvent dépenser par seconde ; et, en ce sens, il est légitime de donner une certaine importance au quotient du travail par le temps. Mais ce serait une erreur grossière, si on considérait ce quotient comme existant objectivement, comme ayant une réalité en dehors des équations où il entre.

On objectera que nous supposons bien gratuitement des erreurs ; mais l'histoire corrobore nos craintes et même ce n'est pas encore à ces conséquences qu'on s'est arrêté dans l'interprétation de l'énoncé de Galilée ; on est allé plus loin jusqu'à l'extrême limite de l'absurde.

Après avoir été tenté de donner au produit d'une force par une vitesse une réalité objective, on a fait un pas de plus. Comme les forces que l'on a pratiquement à envisager sont des poids et que ces poids sont, au moins en * un même lieu, proportionnels aux quantités de matière ou aux masses, on a finalement confondu la force et la masse, et on est arrivé, vers la fm du xvii'' siècle, à considérer le produit d'une masse par une vitesse, ce que nous appellerons quantité de mouvement, comme caractérisant

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES 77 l

la puissance d'un agent. De sorte qu'en définitive, de la quantité que Descartes avait proposée comme mesurant la puissance d'un agent, de ce produit de deux facteurs, force et déplacement, qu'est le travail, il n'est plus rien resté ; la force est devenue une masse, le déplacement une vitesse.

Cette interprétation est assez extraordinaire pour qu'il soit utile d'en prouver la vérité par quelques citations. On lit dans V Histoire de P ancienne Académie pour 1703 un extrait par Fontenelle d'un mémoire d'Amontons sur le rôle des machines.

Amontons i*eproche aux machinistes de ne pas savoir calculer avec assez d'exactitude les temps que mettent les diverses puissances à se mouvoir ; il croit bon de les déterminer et il en donne le tableau ci-dessous :

Deux porte-chaises chargés ont fait en 80' :

Un porte-faix chargé en 139' :

Un homme de pied allant le pas en 120"^ :

Un cheval tirant une charrette chargée de 1 ,500 ) o^ livres en 112"' : l g

Deux chevaux qui tiraient au train ordinaire un carrosse sur le pavé en 62', etc. :

Après avoir énuméré toute une série de cas où, à proprement parler, il n'y a aucun travail accompli que l'usure des muscles et les forces de frottement vaincues, puisque les déplacements se font sur des plans horizontaux, il cite ce seul et unique cas où véritablement intervient le travail mesurable :

Un homme du poids de 133 livres a monté à la hauteur de 10 toises 2 pieds dans un escalier en trente-quatre secondes et était entièrement hors d'haleine et hoi*s d'étal de continuer. Expérience qui est encore un contresens, puisque ce n'est évidemment pas le travail dépensé qui

-Tsrr^ •

essouffle Thomme, mais simplement la rapidité de son

allure. »

Amontons ne voyait pas que, si on peut équilibrer directement 100 livres et 25, à la condition que leurs mouvements soient ainsi liés que les déplacements verticaux des 100 livxes soient quatre fois plus petits que les déplacements verticaux des 25, on ne peut rien en conclure sur les quantités de mouvement imprimées isolément en un certain temps aux deux masses. Il confondait un problème de statique, où les mouvements sont supposés toujours assez lents pour qu'on puisse négliger les vitesses et les quantités de mouvement, et un problème de dynamique très étranger à la question. Si nous avons cru devoir insister sur de pareilles erreurs, c*est que des idées très analogues seront opposées à Leibnitz et considérées pendant quelque temps comme une réfutation sans réplique de ses découvertes.

On peut maintenant comprendre pourquoi Descartes a toujours refusé d'adhérer au principe de Galilée. Pour bien mettre en évidence les raisons et la sagacité du grand philosophe, nous n'avons rien de mieux à faire que de citer quelques fragments de ses lettres.

En 1638, il écrit au Père Mersenne : « Pour ceux qui disent que je devais considérer la vitesse, comme Galilée, plutôt que l'espace pour rendre raison des machines, je crois, entre nous, que ce sont des gens qui n'en parlent que par fantaisie, sans entendre rien à cette matière; et, bien qu'il soit évident qu'il faut plus de force pour lever un corps plus vite que pour le lever lentement, c'est toutefois une pure imagination que de dire que la force doit être justement double pour doubler la vitesse. » Et plus tard, en 1642 : « La raison qui fait que je reprends ceux

qui se servent de la vitesse pour expliquer la force du levier «t autres semblables n'est pas que je nie que la même proportion de vitesse ne s'y rencontre toujours, mais pour ce que cette vitesse ne comprend pas la raison pour laquelle la force augmente ou diminue, comme fait la quantité de l'espace. »

Si on prend garde à la nnmère dont Descartes résont le problème actuel et si on la met en opposition avec la méthode de Galilée, il n'est pas douteux qu'on se rangera <lu côté du premier et. malgré l'opinion de Montucla et de plusieurs autres, on ne s'étonnera pas qu'il ait pu écrire au Père Mersenne qu'il a vu les ouvrages de Galilée, mais qu'il n'y a rien trouvé dont il désirât être l'auteur.

Nous ne comprenons pas comment Lagrange, dans sa Mécanique analytique^ trouve que le principe de Descartes est moins général que celui de Galilée. Car ils sont analytiquement équivalents ; celui de Descartes est métaphysiquement exact et d'une généralisation facile au cas où l'équilibre n'existe plus, tandis que celui de Galilée conduit, dans ce cas, aux erreurs qu'on a vues. Enfin et surtout. Descartes posait implicitement le principe de la conservation du travail et se montrait le digne précurseur de Leibnitz ; car on ne saurait le rendre responsable des opinions de cartésiens trop zélés.

C'est Leibnitz qui rétablit les choses en état et remit dans son vrai jour la notion de travail ; il estime la puissance d'un agent par la hauteur à laquelle il peut élever un poids donné ; considère cette puissance comme ne pouvant être créée; s'appuie, pour le montrer, sur l'impossibilité du mouvement perpétuel, et dégage le travail des idées de vitesse ou de temps. « En effet, dit-il, le tems ne sert de rien à cette estime. »

Les Bernouillî développèrent les idées de Descartes et de Leibnitz. Daniel Bernouilli s^occupa même particulièrement de la machine humaine; mais, généralisant trop les conséquences du principe que nous discutons, il émit l'opinion que, si la quantité totale de travail dépensé reste constante, il en résultera toujours pour Thommeun même degré de fatigue. C'était aller trop loin et supposer,' ce que nous avons vu n'être pas, que l'homme peut fournir un certain nombre invariable de kilogrammètres indépendant des conditions dans lesquelles il dépense le travail. EnHn, Carnot reprit la théorie des machines dans un merveilleux petit livre intitulé : Principes de C équilibre et du mouvement^ publié d'abord en 1783 et réédité en 1803. La question y est traitée avec justesse et profondeur. Depuis on n'a rien changé aux principes de cette théorie.

Le principe des vitesses virtuelles n'est pas le seul qui ait été proposé comme base de la slatique ; on en peut déduire deux autres aussi généraux, qui ont donc la même valeur analytique, qui sont équivalents dans la pratique, mais qui le cèdent en signification métaphysique. Ce sont les principes du levier et de la composition des forces. Bien que nous ne nous proposions pas de faire une histoire de la mécanique, mais seulement une histoire du développement des notions fondamentales qu'on y rencontre, nous ne pouvons pas les passer sous silence, non pas tant à cause de leur importance actuelle que parce que, sous une forme très générale, celle des quan-

PRINCIPE DBS VITESSES VIRTUELLES 8i

tîtés vectorielles, nous aurons l^occasion de les retrouver plus loin.

L e princip e du levier consiste en ceci : qu'un levier droit et horizontal est en équilibre s'il est chargé de deux poids qui sont en raison inverse de leurs distances au point d^appui. Il nous suffirait de démontrer cette propriété dans ce cas particulier, car on pourrait facilement l'étendre ensuite au cas de forces quelconques et de leviers angulaires; il est aussi simple d'en fournir une démonstration générale.

Le principe s'énonce alors ainsi : Des forces quelconques appliquées à un corps se font équilibre autour d'un axe fixe, si les sommes des moments de celles qui tendent à faire tourner le corps dans un sens et da celles quitendentà le faire tourner dans l'autre sont égales. On appelle moment d'une force par rapport à un point le produit de la force par la perpendiculaire abaissée du point sur la direction de cette force. En effet, pour appliquer le principe des vitesses virtuelles, formons le produit des forces utiles par les déplacements des points d'applica- ^'®' **• tion de ces forces. Soit C [fig. 11) le point d'application d'une force, Taxe de rotation, un petit mouvement amène le point C en Cj, le travail est CCi X CFi, si la force est représentée en grandeur et direction par la droite CF. Or, pour un même angle de rotation, GGi est proportionnel à la distance OC du point d'application à l'axe. D'ailleurs, comme CC» est un petit arc de circonférence dont OC est le rayon, Tangle OCCi est droit; les deux angles BCCi et COB sont égaux comme ayant leurs côtés perpendiculaires.

Ceci posé, pour un même angle de rotation le travail est proportionnel au produit OC X Fi; je dis qu'il est aussi proportionnel au produit OB X F, c'est-à-dire au moment de la force. Car échanger ces produits l'un pour l'autre revient, à cause de l'égalité des angles BOC, BCC,, à remplacer OC par OB qui est plus petit dans un certain rapport, et F, par F qui est plus grand dans le môme rapport, d'où compensation.

Donc le travail d'une forre qui tend à faire tourner le corps autour d'un axe, auquel nous l'avons supposé perpendiculaire, est proportionnel à son moment. Donc enfin, pour que le travail total des forces soit nul, il faut qu'il y ait autant de moments d'un côté que de l'autre, ce qui est le principe du levier.

Ce principe a été découvert par Archimède et utilisé par Galilée pour trouver la force nécessaire à maintenir un corps pesant sur un plan incliné. Roberval en a fait la base de la mécanique.

L'autre principe fondamental est celui de la composition des forces. 11 apprend à remplacer des forces par d'autres forces, de telle manière que, les unes se faisant équilibre, les autres se fassent encore équilibre. Soient plusieurs forces F,, Fj etc., qui font équilibre à une force F; remplaçons-les par une seule F qui fasse équilibre à la même force F ; F' est appelée la résultante des forces F,, F2, etc.

Il est donc équivalent de dire que le principe de la composition des forces nous apprend à trouver leur résultante. Si le problème est résolu pour deux forces, il le sera pour un nombre quelconque, puisqu'il suffira de composer la première force avec la seconde, la résultante avec la troisième, et ainsi de suite jusqu'à l'épuisement des forces à composer.

PRINCIPE DBS VITBSSB8 VIRTUELLES

Fio. 12.

Nous allons démontrer, à partir du principe des vitesses virtuelles, que deux forces appliquées au même point et représentées par deux droites, Fi et Pj ont une résultante représentée en grandeur et direction (/$^. 12) par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces comme côtés.

Soit F une force qui ferait équilibre à Fi et Fj-, d'après le principe des vitesses virtuelles, pour un petit mouvement quelconque on aurait Travail de Fi + Travail de F, + Travail de F = o. Si F' peut remplacer Fi et F^, on doit avoir équilibre entre F et F, d'où Travail F + Travail de F = o. D'où, enfin, en comparant les deux équations Travail de Fi -f- Travail de Fa = Travail de F'. Il suffit, d'ailleurs, de supposer

le petit mouvemept dans le plan des forces, parce que tout mouvement OC [fig. 13) oblique au plan peut être considéré comme formé d'un mouvement 0D| normaLau plan et auquel correspond un travail nul des forces, et d'un mouvement OD parallèle au plan. Soit donc OD le déplacement du point d'application, projetons les trois forces Fi, F, et F', sur la direction du déplacement, les forces effectives sont 0«, 06, Oc ; les travaux correspondants sont Oa X OD, 06 X OD, OcX OD ; et il nous suffit de prouver que :

Oa X OD + 06 X OD = Oc X OD,

ou, ce qui revient au même, Oa + 06 = Oc ; ce qui est évident, puisque Oa = ef= bc. La ligne F' représente donc bien

Fio. 13.

en grandeur et en direction la résultante des forcés Fi et F^. Stevin trouva que trois forces se font équilibre lorsqu'on peut en faire un triangle ; mais il donne de cette règle, au fond identique à la précédente, une démonstration bizarre et peu concluante. C'est seulement en 1687, dans les Principes mathématiques^ de Newton, et le projet de la Nouvelle mécanique^ de Varignon, que le principe de la composition est pris pour base de toute la statique. A vrai dire, ces deux principes du levier et de la composition des forces se complètent l'un l'autre, et nous les retrouverons plus loin en parlant des quantités vectorielles ; il nous suffisait ici de montrer qu'ils se déduisent immédiatement et très simplement du principe fondamental du travail virtuel.