CHUTE DES GRAVES

Puisqu'un mouvement varié est celui pour lequel la vitesse n'est pas constante, celle-ci subit pendant chaque

petit intervalle de temps une petite variation approximativement proportionnelle à la durée de ce petit intei*valle. On dit que le mouvement est uniformément varié lorsque cette proportionnalité a lieu pour un intervalle de temps quelconque ; en d'î^utres termes, lorsque la vitesse varie proportionnellement au temps. Soit alors g l'accélération, c'est-à-dire la quantité dont varie la vitesse pendant chaque seconde, soit v^ la vitesse à l'origine des temps, c'est-à-dire au moment où le pendule de l'horloge qui mesure le temps commence sa première oscillation, on a généralement y = î)o ± gt^ formule qui donne la vitesse à un instant quelconque. Le mouvement est accéléré si la vitesse augmente : il faut prendre le signe + ; retardé, si la vitesse diminue : il faut prendre le signe — . Remarquons que rien ne suppose une vïtews forme particulière à la trajectoire, elle peut être droite ou courbe.

Peut-on déterminer l'espace total parcouru, si

l'on connaît la vitesse à ^ ^ , *'2 temps

chaque instant? Pour ^^^' ^^•

résoudre cette question, nous allons représenter la vitesse en fonction du temps par les procédés de la géométrie analytique inventés par Descartes. Prenons deux droites rectangulaires que nous appellerons axes de coordonnées 0/, Oo{fig. 14).

L'horizontale s'appelle axe des abscisses; la verticale, axe des ordonnées. Convenons de porter sur l'axe des temps, à partir du point 0, des longueurs comprenant par

YITESSB ET AGCéLéKATION

exemple autant de millimètres quUl s'est écoulé de secondes depuis Torigine dès temps, et sur Taxe des vitesses des longueurs d'autant de millimètres que la vitesse renferme d'unités. Par les points A et t'i menons des droites parallèles aux axes ; le point  ainsi obtenu nous apprend qu'au temps ti la vitesse est Vi.

Les vitesses sont donc figurées en fonction des temps par une courbe. Dans le cas du mouvement uniforme, pour lequel la vitesse est constante, cette courbe se réduit à une droite parallèle à Taxe des temps. Pour le temps /a, par exemple, la vitesse est figurée par la droite fjB. Or l'espace parcouru dans le mouvement uniforme est le produit de la vitesse par la durée du mouvement, c'est-à-dire entre les temps ti et /,, par la différence 0/a — 0/| multipliée par la vitesse /,A ou /jB; l'espace parcouru est donc mesuré en mètres par le même nombre que l'aire du rectangle ABtiti en millimètres carrés. Le théorème est général: il est clair d'abord que, si la vitesse variait brusquement, puis restait constante pendant un certain temps pour varier de nouveau brusquement, la courbe figurative des vitesses serait analogue {fig. 15) à la courbe ABBiCCiDD,E, et l'espace parcouru serait bien représenté par l'aire MABB1...EN. On démontre rigoureusement par le calcul intégral que le même résultat subsiste si la courbe est continue. D'où ce théorème fort important : On peut toujours trouver l'espace parcouru par un mobile dont on connaît à chaque instant la vilesse; et

Vite8S6

temps

Fio. 15.

CHUTE DBS GRAVES

Vitesse

temps

le problème revient à trouver l'aire enveloppée par une courbe que l'on peut construire.

Appliquons ce théorème au cas particulier du mouvement uniformément varié {fig. 16). A l'origine l'ordonnée est To ; de plus, la courbe représentative des vitesses est une droite inclinée sur l'axe des temps, dirigée vers le haut ou le bas, suivant que le mouvement est accéléré ou retardé : car les accroissements de vitesse AB, AiBj doivent être proportionnels aux temps Oa, OâfiOU, si l'on veut, ^oA, v^k^. Ceci posé, pour trouver le chemin parcouru pendant le temps / = 0«, il faut évaluer l'aire 0»oBa = aire du triangle VoAB + aire du rectangle Qi\ka, L'aire du triangle

t>oAB = -^ — r • Or, t?oA représente le temps /; AB, c'est

l'accroissement de la vitesse dans le temps /, soit gt dans nos notations ; l'aire du triangle est donc —-• L'aire du rectangle Ot'oAflest égale au produit de la droite 0^0= î^o» qui mesure la vitesse initiale, par la longueur Oa qui est le

temps /, soit vj. L'espace e total parcouru a donc enfm

\ pour expression e = vJ-^-^g^^ formule bien connue. En

particulier, on déduit de cette loi générale les propositions suivantes :

L — Si le corps part du repos y^ = 0, ^ = ^ ^/*, les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des