Formes du troisième ordre. — Soient A, B, C, P, Q, R
des formes du premier ordre, posons
ABC . PQR = APQR . BG -f- BPQR . CA -h GPQR . AB,
et appelons ABC. PQR le produit régressif ou simplement le produit de ABC par PQR.
a. Il est manifeste que ABC. PQR est une fonction de la forme du troisième ordre PQR; mais on peut démontrer que ABC. PQR est une fonction aussi de la forme ABC : ainsi.
étant données deux formes du troisième ordre a et (3, le produit a(3 de ces deux formes du troisième ordre, l'une par l'autre, se trouve bien défini. Ces produits ont encore toutes les propriétés des produits algébriques, excepté cependant la propriété commutative; on a, par exemple,
7,3=— pa, a(^ + Y) = a^ -f- ay, et, si X est un nombre,
x(a?) = (.ra)P = a(.rP).
b. De la définition même du produit a(3, on déduit que («(3) (a(3) = 0, (a(3)a — G, (a(3)(3=:o, c'est-à-dire que a(3 est une forme du deuxième ordre à invariante nulle et qui appartient aux formes a, (3. Si aj3^o, posita(3 est la droite projeclive intersection des plans a et P; on déduit de là que deux plans projectifs ont toujours au moins une droite projeclive en commun. Si a^o avec (3^o, on aura a|3r=o si plana m plan (3 et réciproquement.
c. Soient un point A et deux vecteurs I, J,
AlJ.to = Aw.IJ -t-Iw.JA + Jw.AI = IJ.
AIJ.w est le bivecteur du triangle AU. D'une manière générale, si a est une forme du troisième ordre, (jw est le bivecteur de o- et l'on a, quel que soit le point 0,
a = 0(aw) H- a,
a étant un trivecteur fonction de 0 et de a.
Exemples. — Si A, B, . . . sont des points, a, 6, ... dea segments non nuls, a, (3, ... des triangles non nuls, on peut dire :
i^"" La position de la forme A.aw est le plan parallèle à a, mené par le point A.
2« La position de la forme A| (aco) est la droite perpendiculaire au plan a, issue du point A.
3" La position de la forme «| (aw) est le plan perpendiculaire au plan a, passant par la droite a.
4^ La condition de parallélisme de deux plans a et (3 est ( aw) ( |[3ct)) = o, ce qui revient à dire que aw est un multiple de (3a); la condition de perpendicularité est (aw) ((3w):=:o. La condition de parallélisme de la droite a avec le plan a est (aco) (aw) 3=0, et la perpendicularité de la droite et du plan est exprimée par («w) | (aco) = o.
5« Si <2w.èco ^o, le vecteur | (aco-^w) est perpendiculaire aux droites a ei b; par conséquent, la droite
(i) Ya \ {aiù . b {x>)\ [h \ {atM .b (ji)\
est la perpendiculaire commune aux droites a et b : les positions des formes
(•2) n[b\(aoi.btû)], b[a \(aii}.boj)]
sont les points communs à la droite (i) et aux droites a et b. Si A, B sont les positions des formes (2), on a
a = A.aoi, b = B.b(ii
et
ab = A.aoi.B.btxi = A(A — B) .aoj.bo}]
mais le vecteur A — B est perpendiculaire au bivecteur boi.b(xi; par suite
mod{ab) = - mod(AB) mod(«w.^w)
ou
Qmod(ab)
(3) mod(AB)
mod(rta).^a))
qui nous donne la plus courte distance entre les points de la droite a et ceux de la droite b, lorsque ces deux droites ne sont pas parallèles.
27. Propriétés générales des produits. — Nous allons grouper ici les propriétés générales des produits progressifs
et régressifs. Soient donc r et 5 deux nombres entiers positifs inférieurs à 4; A,., A,', des formes d'ordre r; A^, A'^ des formes d'ordre 5, on a :
I" Si /'-f-5^4, le produit de A,, par As est progressif et A,. A^ est une forme d'ordre r-h s;
2° Si r-h5>4, le produit de A,, par A^ est régressif et A,.A5 est une forme d'ordre /• -+-5 — 4 ;
3« Si A,.=: A), et A^^ A^, alors A,.A5 = a;. A!y;
4« A,A, = (-i)'-bA,A,;
6« Si a: est un nombre, œ{A,.As) =^ (^A,.)A^. = A,.(^A;ç).
28. Dualité. — Soient /•, s, t des nombres entiers positifs plus petits que 4> et soient, en outre, A,., A^, A^ des formes d'ordres respectifs r, 5, t. On obtient le produit kyks-At par deux multiplications; si ces deux multiplications sont progressives Krks.kt, est alors une forme d'ordre r-\-s->r-t; si une de ces multiplications est progressive et que l'autre soit régressive, A^A^-A^ est alors une forme d'ordre r+s+t — [\; enfin, si les deux multiplications sont régressives, A,.Ai.A^ est une forme d'ordre r + 5 -4- ^ — 8.
Si A, B, . . ., t7, 6, . . ., a, (3, . . . sont respectivement des formes du premier, deuxième et troisième ordre, on peut aisément démontrer les formules suivantes pour les produits de trois facteurs :
