LIGNES ET ENVELOPPES

41. Lignes et enveloppes de droites sur un plan projectif. — Supposons P(0> P{^)y formes non nulles d'un plan projectif, respectivement du premier ordre et du deuxième ordre, définies ainsi que leurs dérivées d'ordre quelconque

dans l'intervalle de variation de t. Si m est un nombre entier non nul, P('"^(^), /?('") (0 sont des formes du plan fixe. En effet, soit a une forme fixe et non nulle du troisième ordre tel que P(^)a = o, p{t)(x=zo pour chaque valeur de t; par suite, P^'"^(^)a = 0 et /?^'"^(^)a =:o, ce qu'il fallait démontrer.

On appelle ligne P l'ensemble des points projectifs, positions des formes P(^), lorsque t varie dans l'intervalle donné.

On appelle enveloppe p l'ensemble des droites projectives, positions des formes p{t), lorsque t varie dans l'intervalle donné.

Ces ensembles sont des éléments projectifs qui peuvent être considérés comme indépendants du nombre t, et de l'intervalle dans lequel il peut varier.

Si K, Ri sont des points de la ligne P et que la droite RRi ait pour limite — lorsque Ri varie sur la ligne P pour tendre vers le point R — une droite bien déterminée r, la droite r est appelée tangente h la ligne P au point R.

Si /•, ri sont des droites de l'enveloppe p et que le point rr^ ait pour limite — lorsque ri varie sur l'enveloppe p pour tendre vers la droite r — un point bien déterminé R, le point R est dit caractéristique de Venveloppe p sur la droite r.

La normale à la ligne P au point R est la perpendiculaire à la tangente au point R (si elle existe), élevée dans le plan de la courbe.

Si pour chaque valeur de t le point P(^) est situé sur une droite fixe r, et que la ligne P ne se réduise pas à un seul point, la droite r est la tangente à la ligne P en tout point de cette ligne

Si pour chaque valeur de t la droite p{t) passe par un point fixe R, et que l'enveloppe p ne se réduise pas à une seule droite , le point R est la caractéristique de l'enveloppe p sur toute droite de cette enveloppe.

Théorème I. — Si, pour une valeur donnée de t, m est le plus petit des nombres entiers non nuls x tels que :

)(^) ^ o, la caractéristique de

ppu) ^ o, la tangente à la ligne P au point P est la droite PP^'"^

pp^

l'enveloppe p sur la droite p est le point /?p^"^'.

Dém. (pour l'énoncé de gauche). — En posant

la formule de Taylor donne

où Q est une forme du premier ordre telle que limQ = o;

d'ailleurs, par hypothèse, PP^^^ = o, pour^=:i, 2, . . ., m — i, et par suite

PPi=3^(PP(-)+PQ);

mais

lim posit PPi = lim posit ( PP('«^ -+- PQ )

= posit lim (PF'«^ -i- PQ) = posit PP("'^

ce qui démontre le théorème.

Le principe de dualité sur le plan fournira le théorème de droite.

Si PP' ^ G, la tangente à la ligne P au point P est la droite PP'.

Si pp' ^ o, la caractéristique de l'enveloppe p sur la droite p est le point /»/>'.

Théorème II.

Si pour chaque valeur de t, PP'P'^o, la hgne P est le lieu des caractéristiques de l'enveloppe

Si pour chaque valeur de t, pp'p"9^ o, l'enveloppe p est l'ensemble des tangentes à la ligne

dont les droites sont tangentes à la dont les points sont les caractérisligne P. I tiques de l'enveloppe p.

Dém. (à gauche). — A cet effet, posons a = PP' ; a est alors une fonction non nulle de t et l'enveloppe a admet pour droites les tangentes à la ligne P ; nous avons

^/=p'P'-HPP"z=pr"

et, par le produit régressif aa', on voit que

aa' = PP'. PP' = PPP". P' - P'PP". P = PP'P". P.

On peut exprimer autrement le théorème 11 de gauche en disant que : Si R est un point de la ligne P et si r est la tangente à cette ligne au point R, le point R est la position limite du point de rencontre de la droite r avec la tangente à la ligne P en un autre point R^ lorsque le point Ri tend à se déplacer sur la ligne P pour venir coïncider avec le point R. On peut donner une interprétation analogue au théorème de droite.

Théorème III.

Si P(0 est une forme non nulle du "premier ordre d'un plan fixe, et P'(0 u^6 forme continue telle que, pour une valeur ?o de t, on ait P(?o)P'(^o) F^ 05 la tangente à la ligne P au point P(?o) est la position limite de la droite P(;i ) P(^2 ), lorsque ti et t^ tendent vers la valeur ^0-

Déni, (à gauche). — On a

Si /?(0 est une forme non nulle du deuxième ordre d'un plan fixe, eip'(t) une forme continue telle que, pour une valeur to de /, on ait p{to)p'(to)^o, la caractéristique de l'enveloppe p sur la droite p{to) est la position limite du point />(^i)/?(^2) lorsque ti et t^ tendent vers la valeur Iq.

positP(?i)P(?2) = posit

et, en appliquant le théorème III du n° 40, il vient

lim posit P(?i) P(;2) = positP(^o) P'(^o),

ce qui démontre le théorème.

Exemples. — i^^ Soit7=/(.r) l'équation cartésienne d'une courbe. On a

où 0 est un point fixe et ï un vecteur unité fixe du plan de la courbe; x étant la variable indépendante, on a

et si /, dans l'intervalle 011 varie œ, a une dérivée finie et déterminée, on doit avoir P' ^ 0 et la tangente au point P est la droite PP'.

FORMES VARIABLES. 8l

Si 9 est l'angle formé par l'axe des ce avec la tangente au point P, ou si 0 r= (I, P') , nous avons

^ . ip' yui

qui donne la signification géométrique ordinaire du nombre/'.

2« Si p =/(?) est l'équation de la courbe en coordonnées polaires,

d'où

P'= (p' -hip)e^9l.

Si nous posons alors 0 — (P — 0, P'), il vient

tangb =

qui est la formule ordinaire de la Géométrie analytique.

3« Soit P(^) une forme du premier ordre, et PP('«) la tangente au point P : la normale sera la droite Pf(PP('"^.a)); si donc P(0 est un point, la normale au point P est la droite PfP^'"^ puisque P^'"^ est un vecteur parallèle à la tangente au point P.

4^ Soit P(^) un point tel que, pour une valeur donnée de t, PP'P"^o et soit A une forme non nulle du premier ordre appartenant au plan de la ligne P, telle, en outre, que le point A ne soit pas situé sur la tangente à la courbe au point P.

Nous dirons que la ligne P a, au point P, sa concavité tournée vers le point A, quand les points de la ligne P, au voisinage du point P, sont du même côté de la tangente en P que le point A. En d'autres termes, la ligne tourne, au point P, sa concavité vers le point A, si l'on peut fixer un nombre £ tel que les triangles

?{t)?'{t)V{t^h), P(/)P'(OA

aient le même sens, quel que soit A, toutefois inférieurs, en valeur absolue, à £.

Dans ces conditions, on peut dire : Au point P la concavité est tou7'née vers le point A quand le nombre

positif.

En effet,