I. - DÉRIVÉES

33. Définitions. — Comme, en Analyse, nous indiquons par f{t) une forme géométrique /, fonction d'une variable numérique ty nous supposerons toujours, sans le répéter dans chaque cas particulier, que/(^) est une fonction bien définie dans l'intervalle considéré.

Soit donc f{t) une forme du premier ordre, une forme du deuxième ordre à invariant nul, ou une forme du troisième ordre : avec la restriction que cette forme f{t) ne s'annule pour aucune valeur de t dans l'intervalle de variation pour ^ posit/(^) est un point, une droite ou un plan projectif, fonction de t.

Quand il n'y aura pas d'équivoque possible, nous écrirons simplement/ au lieu de/(0, et posit/, au lieu de posit/(^).

34. Limite d'une forme.— Soit/(^) une forme géométrique et ^o un nombre quelconque, fini ou infini; considérons une forme fixe/o de même ordre que/: lorsque t tend vers la valeur t^ nous dirons que /o est la limite de /(O» et nous écrirons

lim/(0=/o, ou lim/ = /o, ou Iim/ = /o;

quand on a toujours, quels que soient les points P. Q, R, lim/(OPQH =/oPQR,

FOKMES VARIABLES. 6l

lim/(OPQ=/oPQ,

lim/(OP=/oP,

suivant que f{t.) est une forme du premier, du deuxième ou du troisième ordre. Il reste implicitement entendu que les variations de t ne doivent s'effectuer que dans un intervalle tel que la fonction/ reste constamment <ie/?/ize^ et la connaissance de la limite d'une forme est ainsi ramenée à celle de la limite d'un nombre variable, ce qui nous conduit à supposer connue la théorie des limites pour les fonctions numériques.

Exemple. — Dans un plan donné considérons un point fixe 0, un vecteur I et les points Aj, A2, A3, . . ., dont la suite est déterminée par la loi suivante

= Ai

+ ^'(Ai-

voit aisément

que

= Ai

il,

d'où

La connaissance des développements en séries de sin^ et cos^ permet alors d'écrire

limA2« = 0 -H (cosi -f- i sini)I = 0 4- CI,

ce qui prouve que le point variable k^m ou A„ (fonction du nombre entier /i), a pour position limite, lorsque n croît indéfiniment, un certain point A dont la distance au point 0 est modl, telle que le vecteur I fasse, avec le vecteur A — 0, l'angle d'un radiant. Cette suite A,, Aj, ... permet donc de construire, par approximation, l'angle d'un radiant.

35. Supposons maintenant que A(f),B(0 soient des formes qui, pour t^rzi^, ont des limites bien déterminées (*).

a. Si A, B sont des formes du même ordre nous aurons lim(A 4- B) = limA + limB [car (A + B)PQR = APQR -+- BPQRJ.

b. Si X est un nombre, fonction lui-même de la variable numérique ^, et que lim^r soit bien déterminée, alors

lim(.rA) = (lima:)(limA); avec la restriction que ce nombre x ne s'annule pour aucune

(') Suivant l'acception moderne delà notion de limite (G. Peano, Rivista di Matematica. vol. II), lim/(r) est un ensemble de nombres [lorsque /(<) est

une fonction numérique]; si cet ensemble ne contient qu'un seul élément nous

disons que lira /(f) est bien déterminé; ce qui concorde avec la signification

/ = r, ordinaire de limite. [Pour la limite d'un ensemble variable, -voir C. Burali- FoRTl, Sul limite di una classe variabile [Atti Ace. Se. Torino, vol. XXX), Sur quelques propriétés 'des ensembles d'ensembles [Mathem. Ann., B.47)]. La condition que « A{t), B(f) aient une limite bien détermine'e » est nécessaire. La proposition d, par exemple, exprime que la limite d'un produit est le produit des limites : ainsi, en posant A = rl, B = (--i-sin-|J,

où I, J sont, par exemple, des vecteurs, AB = ( i + ^ sin - j IJ ; on voit donc

que limAB = IJ, tandis que lim A = 0 et que limB n'a aucune signification. t = o t—o t=o

valeur considérée de /, même à la limite, on aura

,. A limA

lim- =

X limx

c. Les coordonnées de limA sont les limites des coordonnées de A; en effet, si, par exemple, A = .3? Al + yA2 où œ, y sont des nombres fonctions de t, et Ai, Aa des formes constantes, on a

limA = lim(j:Ai) -+- lim(jA2) = (lima:) Ai-i- (limj)A2.

d. lim(AB) = (limA)(limB).

e. Si A est un vecteur (ou un bivecteur, ou un trivecteur), alors limA est un vecteur (ou un bivecteur, ou un trivecteur), car Aw = o, et lim(Aw) = (limA) co = o, ce qui démontre le théorème.

f. Si A est vecteur d'un plan donné, alors

lim(/A) = i(limA).

De même, si A est un vecteur ou un bivecteur, on a

lim(|A) = |(limA).

g. Si modA a été défini, on aura

lim(modA) = mod(limA).

36. Limite d'un élément projectif. — Soit f{t) une forme géométrique, telle que dans l'intervalle de variation pour ^, l'élément projectif posit/(^) soit bien défini et que, pour t^ ^0) la fonction f{t) ait une limite déterminée non nulle : nous poserons

lim [posit/(0] = positriim/(?)1;

ce qui revient à dire que la limite de la position de / est la position de la limite de /.

Pour les formes A(^), a{t), a{t) respectivement des pre-

mier, deuxième et troisième ordres, admettant, au reste, les mêmes propriétés que f{t), nous poserons

limA = Ao, lima = rto, lima = ao;

en ces hypothèses, on a les propositions suivantes :

a. Si A et Aq ne sont pas des vecteurs, la limite de la distance entre le point A et le point Aq est zéro. Soit, en effet, d cette distance, on a

A Ao

d = mod , .

Aw AqW

limAAo = AoAo= o, lim(Ato.Aoa)) = (Aow)',

et, par conséquent,

limrf = o.

b. Si un point A de la droite a a une limite déterminée (*), cette limite ne peut être qu'un point de la droite «o» car de Aa=:o résulte

lim(Art) = Ao«o= o.

c. Si la droite a^ n'est pas entièrement à l'infini et que A,, à distance finie et situé sur la droite «, ait une limite déterminée, la distance du point A à la droite a^ tend vers zéro. Car, si d est précisément cette dislance, on a

(modao)|^= mod(Aao);

mais

lim(Arto) = (limA)ao= o (prop. b),

et, par suite,

\\md = o.

d. Si un point ou une droite du plan a a une limite déterminée, cette limite est un point ou une droite du plan «o-

e. Si plan ao n'est pas le plan de l'infini et que A, à dis-

(') Voir la note à la page 62, pour les conditions restrictives que nous im posons aux propositions a, b^

tance finie clans le plan a, ait une limite déterminée; la distance du point A au plan «o ^ pour limite zéro.

37. Dérivées. ~ Soit f{t) une forme géométrique; si, pour h = G, la fonction

a une limite déterminée, nous poserons

pour appeler, suivant le langage de l'Analyse, "^^ la dérivée de la forme f{t).

Nous indiquerons encore 1 expression '' f ou -y- )j avec

les notations -^ f{t), f'{t).

En écrivant

df{t) = f'{t)dt

au lieu de

on peut dire également que df{t) est le différentiel de/(0; ainsi le différentiel de f{t) est le produit de la dérivée de /(O par le nombre infinitésimal dt,

La dérivée de la dérivée est encore appelée dérivée seconde, la dérivée de la dérivée seconde s'appellera dérivée troisième et ainsi de suite; on pose

dt^ ~ df^^ ~ ^ ~ dt'

d"' f d'^ df^"'-'^^ ^ / iL f = fin) = ^

dt"^ dt"' '^ -^ dt

Supposons maintenant que A(^), B{t) soient des formes B.-F. 5

géométriques ayant des dérivées pour toute valeur de t co^isidérée.

a (*). Si A, B sont des formes de même ordre, on a ^(A4-B) = ^A + ^B ou (A + B)' = A'+B'.

b. Si X est un nombre réel fonction de t, on a

d{xA.) = {dx)k + x{dk), et, pour un nombre constant m,

d{mk) = m{dX).

c. «?(AB) = {dk)B -H A(<iB), mais il n'est, en général, pas permis de changer l'ordre des facteurs; plus généralement pour n entier, différent de zéro, on peut écrire

(AB)(«)=: A(«^B4-A^A(«-l)B'+^^^^=^A(«-2)B"^-...

-4- ^^i^^-P^A"B(«-2^ + /zA'B(«-i^ + AB(«\ 2!

d. La dérivée d'une forme constante est nulle; réciproquement, A(^) est constante dans un intervalle, quand sa dérivée est nulle pour toute valeur de t comprise dans l'intervalle considéré.

e. La dérivée d'un point est un vecteur; car, si A est un point, on a Aw = 1, d'oii A'co = o, c'est-à-dire que A' est un vecteur.

f. La dérivée d'un vecteur est un vecteur, et, par conséquent, la dérivée d'un bivecteur ou d'un trivecteur est un bivecteur ou un trivecteur {voir prop. c).

Soient A un vecteur d'un plan donné et cp un nombre réel, fonction de t :

c?(e^"?A) = 6^9 dk + ie^^kdo'^

C) Les règles de dérivation, que nous donnons aux propositions a-d, sont analogues à celles du Calcul différentiel.

en particulier,

d{iA) = i{dA).

Dans le cas où A est un vecteur constant, on a

d{e^^A) = iei^kd^,

et d{e^^k) est un vecteur perpendiculaire au vecteur e^?A. De même, si A est un vecteur ou un bivecteur, on aura

^(iA) = |(^A).

g. Si A est un vecteur à module constant non nul, la dérivée de A est un vecteur nul ou perpendiculaire au vecteur A,

puisque

A 1 A= const.,

d'où

A1A/-hA'|A = 2A|A'=o.

h. Si A est un vecteur qui ne s'annule jamais dans l'intervalle de la variation de t^ la condition nécessaire et suffisante pour que la direction de A soit constante, est précisément k{dk) =0 ou, plus simplement, AA'=o pour toutes les va-

leurs de t. En effet, si l'on pose B — — -r-r, on a également

A = (modA)B,

d'où

A' = (mod AyB 4- ( mod A )B'

AA'=(modA)2BB'.

Or, modA^o par hypothèse, et la condition nécessaire et suffisante pour que AA' = o est bien BB' = o; mais, puisque B est un vecteur unité, la condition BB':=o (prop. g) équivaut à B' = 0 ou B = const., c'est-à-dire à positA = const.

Dans la même hypothèse que précédemment, la condition nécessaire et suffisante pour que le vecteur A soit parallèle à un plan fixe est AA'A"i=o pour toutes les valeurs de t.

Si A était un bivecteur non nul, AA'=o (produit régressif) serait la condition nécessaire et suffisante pour que A soit parallèle à un plan fixe, tandis que AA'A"=o serait la con-

dition nécessaire et suffisante pour que A soit parallèle à une droite fixe.

k. Si A est un vecteur non nul

(mod A)'

en effet,

et, par suite,

et sur un plan

mod A (modA)2 = AIA, (mod A) (mod A )' = A | A',

^"""^^y=Jd-A'^''

ce qui démontre la proposition énoncée, puisque mod A^o.

Exemples. — i" Soit A(0 "^ point tel que A'(0 .^o, pour toutes les valeurs de t; nous démontrerons (§ 2) que la droite AA' est précisément la tangente au point A à la courbe décrite par ce point.

Si donc, dans un plan donné, un point P décrit un cercle dont le centre est en 0, (P — 0) «(P — 0) = const. : on peut d'autre part, considérer P comme une fonction d'une variable numérique ^, en sorte que

(P — 0)JP'+P'i(P — 0) = 2(P-0)/P' = o,

expression qui prouve que la tangente est normale au rayon au point de contact. On trouve encore le même résultat en posant P = Oh- re'^I.

2« Le point P = 0 h- rcpl + ril — re-^^i\ {voir n*^ 17) décrit une cycloïde; nous avons alors

^ = P' = rI-re-'?I do

iP' = ril — re-^9il = M — P.

Donc la normale en un point P d'une cycloïde est la droite qui joint le point P au point de contact de la circonférence mobile avec la droite fixe.

3« Soient, dans un plan, un point fixe 0 {fig- 3) et un point P(0; représentons par Q(^) le pied de la perpendicu-

Fiar. 3.

laire menée de 0 à la droite PP'; le point Q décrit une podaire du lieu de P : cela étant, on a

mais

(Q- P')^"(Q - 0) + (Q - V)iQ'= o;

par suite,

Q'iïQ — 0) + (Q-P)iQ'=:o ou (q- ^~^) ^'Q'=0'

ce qui démontre que la normale, au point Q de la courbe décrite par Q, passe par le milieu du segment OP.

Fig. 4.

4*" Avec les mêmes points, 0 fixe et P(0 {fig- 4)? consi-

yO CHAPITRE II.

dérons le point P,(0 — 0 -+- rp37^(P — 0), dans l'expression duquel a figure un nombre réel positif : Pj engendre alors la courbe inverse de celle décrite par P, dans la transformation par rayons vecteurs réciproques dont le cercle d'inversion a pour centre 0 et pour rayon a. On a

(P-0)(Pi-0)=o, (P 0)î(Pi-0)=:«S ou, en dérivant,

p'(Pi-0) = p;(P-0), p'/(Pi-o)= — p;f(p-0);

et, divisant ces deux égalités membre à membre, il vient

tang(P',P-0)=-tang(P;,P-0),

ce qui prouve que les tangentes aux points P et Pj et la perpendiculaire à la droite OP, menée par le milieu de PP,, concourent en un même point.

5^ Soient, dans un plan, P(0 et Q(^) deux points tels que, pour chaque valeur de ^, la droite PQ. soit parallèle à une droite fixe; m et n deux nombres réels tels que m-\-n^o;

en posant

„ mP-f-rtQ m-^ n on aura

( m -i- « )2 RR' = m2 PP' h- «» QQ' -h mn PQ' -+- mn QP'.

O'ailleurs, si le vecteur P — Q a une direction constante, on peut écrire

(P - Q)(P' — Q') = o, d'où PP' -^ QQ' = PQ'-f- QP',

et, par suite,

(m + /<)2RR' = m(m -+- /^) PP'-+- /i(m -h /O QQ',

OU enfin

Ainsi : les tangentes aux points P, Q, R à leurs courbes respectives passent en un même point.

6" Si P(0 est un point et que la variable t figure le temps, P' elP" seront respectivement la vitesse et l'accélération du point P représentées en grandeur, direction et sens; si m est la masse (constante) du point P supposé libre, mV" figure la force en grandeur, direction et sens, tandis que le produit interne mV" \ d^ fournit le travail élémentaire de la force; d'autre part, le produit interne P'|P'=(P')2 est le

carré de la vitesse, et -m{VY sera la force vive. Or, nous

avons d - m(P')- =:mP"| dV, et cette formule exprime que

l'accroissement de la force vive est égal au travail élémentaire.

Dans le cas d'une force centrale, l'accélération P'' passe par un point fixe 0, c'est-à-dire que OPP"=:o; cependant (OPP0'==OPP" d'où OPP'=const., ce qui montre que le mouvement, sous l'action d'une force centrale, est toujours un mouvement plan. Si nous posons a— (P— 0,P'), ç^=modP^ et si d est la distance du point 0 à la droite PP', nous avons alors

f/=[mod(P — 0)]sina, OPP'= -[pmod(P — 0)] sina,

d'où

vd= 2 0PP'=const.,

ce qui démontre la propriété bien connue : dans le mouvement résultant de Vaction d'une force centrale, le produit de la grandeur de la vitesse par la distance du centre à la tangente au point variable est constant.

7® Soient Fi, Fa les foyers d'une ellipse ou d'une hyperbole, et P un point de la courbe :

mod(P — Fi) dz mod (P — Fg) = const.;

on peut considérer P comme fonction d'une variable numérique t, et, en prenant la dérivée (prop. k), on a

r p-Fi ^ p-

[mod(P — Fi) ~ modCP — F

72 CHAPITRE ir.

qui exprime que la tangente en P est l'une des bissectrices des angles formés par les deux droites PFj, PFg. Pour un ovale de Cassini, nous aurions

mod(P — Fi)mod(P — Fa) = const., d'où

[modCP — F2 ) l^^\. , +mod (P — Fi ) ^~^\. , 1 ^P' = o,

qui fournit une construction très simple de la normale en P. Le lecteur n'aura aucune difficulté à résoudre une foule de questions par la méthode que nous venons d'exposer.

38. Formes moyennes . — Si ^^ est un ensemble de nombres réels, nous disons que le nombre ^ est moyen parmi les nombres de u quand ^ sera égal au plus petit de la limite supérieure des u et égal au plus grand de la limite inférieure des u.

Soient U un ensemble de formes du premier ordre et a une forme du troisième ordre; par la notation Ua nous désignerons l'ensemble des nombres qui sont le produit de chaque forme de U par la forme a; convenons également de dire que la forme du premier ordre X est moyenne parmi les formes de l'ensemble U, lorsque, quelle que soit la forme a, le nombre Xa est moyen parmi les nombres de l'ensemble Ua. Nous définirons d'une manière toute semblable les formes des deuxième et troisième ordre, moyens parmi les formes du deuxième ou troisième ordre d'un ensemble donné.

a. Si Al, A2, ..., A^ sont des formes de même ordre et mi, ma, . . ., m„ des nombres positifs, la forme

miAi-i- W2A2 + . . . + m„A,i

est moyenne parmi les formes Ai, A2, . . ., A„. En effet, supposons que ^1, ^2> • • •> ^n soient des nombres tels que

alors on aurait

(/72lH-/722-+-. . .-h IJlfi) a^ny "il^l-^ f^h^i ■+- • • •

par suite, le nombre —^—^ = serait bien

moyen parmi les nombres ^i, œ^, . . ., ^,i.

b. Si I et J sont des vecteurs et que K soit une forme du premier ordre moyen parmi les vecteurs I, J, alors K est un vecteur, et les vecteurs I, J, K sont complanaires (ou IJK=o). Nous savons, en effet, que Kw est moyen parmi Ico et Jw, et, puisque Ico = Joj =^o, on aura Kw = o, c'est-à-dire que K est un vecteur; d'ailleurs, si a est un triangle, le nombre Ka est moyen parmi les nombres la et Ja; et siIa = Ja = o, soit que 1, J sont parallèles au plan a, Ka = o et K est aussi parallèle au plan a.

c. Si Al, . . . , A„ sont des points, une l'orme moyenne parmi Al, . . ., A„ a pour position un point qui appartient au plus petit cbamp convexe renfermant les points Ai, . . ., A„.

39. Formule de Taylor. — Théorème I. — Si f{t) est une forme géométrique qui, pour une valeur de t, ait les dérivées jusqu'à la /i'^'"^, on aura pour cette valeur de t

fit + h)=f{t) + hf'{t)^^^J\t)+...

où F est une forme de même ordre que f, fonction de h {et de la valeur considérée de t), satisfaisant en outre à limF = o.

Dém, — Soient, par exemple, une forme du premier ordre f{t) et une forme du troisième ordre a; posons

9(0 est une fonction numérique de t ayant les dérivées

jusqu'à la /i'^™^ [car (^^''^{t)=f^"^{t) a]; pour cette fonction la formule de Taylor (^) donne

(2) cp(^ + /o=cp(0 + ^'?'(0 + --.+ ^[?^'^KO + Fi],

où Fi est un nombre fonction de h tel que limFi= o. Rem-

h=zO

plaçons dans la formule (2) (^{t) par/(^)a et posons Fi = Fa, il vient la formule (i) où F satisfait bien à limF = o.

Théorème IL — Si f {t) est une forme géométrique ayant n dérivées successives dans Vintervalle de t à t -\- h, on peut écrire

ou F est une forme de même ordre que f, moyenne parmi les formes f^^^^t) qu'on obtient en faisant varier t de t à t ^ h.

Dém. — Soient, par exemple, une forme du premier ordre f{t) et une forme du troisième ordre a; posons encore

Alors 9(^) est une fonction numérique de t qui, dans l'intervalle de ^ à ^ -t- A, a les dérivées jusqu'à la /i'^™^, et la formule de Taylor, avec le reste de Lagrange, donne

où <E> est un nombre moyen parmi les valeurs de ©^'"^(0 ou de/('^)(^)a. En conséquence, le nombre Fa est moyen parmi les nombres /(''^(^) a, quelle que soit la forme du troisième ordre a, c'est-à-dire que F est une forme moyenne parmi les

formes /(«^(O.

(') Voir Lezloni di Analisi infinitésimale del Prof. G. Peano, Torino, SgS, e Calcolo geometrico, 1. c.

40. Formes continues.— Soit /(O une forme géométrique; nous disons que f{t) est continue dans l'intervalle de variation pour t lorsque, quel que soit le nombre ^o de cet intervalle, on a

lim/(0 =/(/o) ou lim/(?o + /') =/(^o).

Soient, par exemple, ^i, t^ deux valeurs de t dans l'intervalle considéré, et 9(^1,^2) une forme ou un nombre fonction de ti et dé t^; si nous faisons tendre t^ et t^ vers une même valeur t de l'intervalle, et cela d'une manière quelconque, sans imaginer, par exemple, que l'on ait ^1= t^ et que la fonction ^ ^' ^^ ait une limite déterminée, nous indiquons cette limite par la notation

lim ^^hlJÛ

OU, plus simplement.

Nous définirions d'une manière entièrement analogue

lim

Théorème I. — Si f{t) est une forme à dériçée bien déterminée dans l'intervalle de variation pour t, f{t) est une fonction continue,

Dém. — Le théorème de Taylor nous apprend que

f{t + h)=fU) + h[f\t)-^Yl

où F est une forme telle que lim F — o. Par conséquent

lim fit -^ h) = fit),

ce qui démontre le théorème.

Théorème II. — Si fit) est une forme géométrique telle que la forme dérivée f it) soit une fonction continue dans

l'intervalle de variation pour t, on a

Dém. — Si, dans la formule deTaylor (théorème II), nous posons n==:iy t^rzt^, h^:z t^ — ^1, il vient

h — tx

Mais/' est supposée fonction continue, c'est-à-dire que

limF=/'(0,

car F est forme moyenne parmi les valeurs de/'(0-

Théorème III. — Si f{t) est une forme du premier ordre, ou du deuxième ordre à invariant nul, ou du troisième ordre, et si, dans Vintervalle de variation de t^f {t) est une fonction continue, on a

Dém. — Nous savons que

fAhlÛhl r/.^/(^2)-/(fl).

h — f 1 f 2 — Il

mais

ce qu'il fallait démontrer.

Théorème IV. — Si f{t) est une forme du premier ou troisième ordre, que f et f" soient des formes déterminées et f"{t) elle-même continue, pour les valeurs de t considérées, on aura

Dém, — Soient ^i, t^, h des valeurs de t telles que

h>ti> h.

Posons

fi=Ah), /2=/(^2), fs==f{h).

La formule de Taylor nous donne

où /'1,2> /1.3 sont de formes moyennes entre les formes f"{t) lorsque t varie de t^ à t^ ou de t^ à ^3. De plus, lorsque /est une forme du premier ou du troisième ordre, nous savons que 71/2/3= /i(/2 — /i) (/a— /i) et, par suite, que

/1/2/3 ^r Â-fi fz-f^

{h — ti){h — ti) -^^ h — ^i h — ti

Comparée aux formules (i), cette dernière devient

D'ailleurs ^3 > ^1 > ^2, et le dernier facteur du second membre de l'équation (2), est une forme moyenne entre /i,2 et/i 3. A la limite, en vertu du théorème III et de l'hypothèse de continuité pour la forme f"{t), on a bien le théorème IV.