PP'O

5« Soient, dans un plan, Pi(^), P2(0 deux points tels que, pour chaque valeur de t,

Pi P2 ^ o, p; ^ o, P'2 ^ o et

PlP2P'l?^PlP2P'2;

la position de la forme /? = P^ Pj décrit une enveloppe dont la caractéristique est décrite par la position de la forme du premier ordre

PP'=: Pi P2 ( p; P2 + Pi P2 ) - Pi P2 P2 .Pi - Pi P2 p; .P2 ;

donc la caractéristique de l'enveloppe/? sur la droite p est le barjcentre des points Pi, Pg, qui ont pour masses les distances avec un signe déterminé, des points P2 + P2, Pj + P'^ à la droite P^ P2.

Si, par exemple,

Pi = 0 + d, P2= O-f-/^^— /2/I,

alors la droite Pi P2 enveloppe un astéroïde; les distances des points Pi + V\ et P2 4- P2 à la droite Pi P2 sont

et —

1, si (i^ — f^' par suite, les masses des points Pi, P2 sont

^2 et rt2^2^

et la caractéristique P de l'enveloppe Pi P2 sur la droite Pi P2 est le pied de la perpendiculaire issue du point P, 4- P2 — 0 à la droite PiPg.

42. Courbes gauches et enveloppes de plans. — Soient P(Oj 7^(0 des formes non nulles, respectivement du premier et troisième ordre, définies ainsi que leurs dérivées dans un intervalle donné.

On appelle ligne P l'ensemble des points projectifs, positions des formes P(0 lorsque t varie dans l'intervalle donné.

Si pour toute valeur de t les points de la ligne P sont situés sur une môme droite ou sur un plan fixes, nous dirons alors que la ligne P est, respectivement, une ligne droite ou une ligne plane.

S'il est impossible de déterminer un intervalle, compris dans celui où varie ?, relativement auquel la ligne P soit une ligne droite ou une ligne plane, nous dirons alors que la ligne P est une courbe gauche.

Si R, Ri sont des points projectifs de la ligne P et que la droite qui joint R et Ui ait pour limite, lorsque Ri varie sur la ligne P et tend vers R, une droite bien déterminée, cette droite est dite tangente à la ligne P au point R.

On appelle enveloppe tt l'ensemble des plans projectifs, positions des formes 7r(^) lorsque t varie dans l'intervalle donné.

Si pour toute valeur de t les plans de l'enveloppe ir passent par une même droite ou par un point fixes, nous dirons alors que l'enveloppe Tt est, respectivement, une enveloppe axiale ou une enveloppe conique.

S'il est impossible de déterminer un intervalle, compris dans celui où varie t, relativement auquel l'enveloppe ir soit une enveloppe axiale ou une enveloppe conique, nous dirons alors que l'enveloppe u est une enveloppe gauche.

Si p, p, sont des plans projectifs de l'enveloppe tt et que la droite commune à p et pi ait pour limite, lorsque pi varie sur l'enveloppe tz et tend vers p, une droite bien déterminée, cette droite est dite caractéristique de l'enveloppe tt dans le plan p.

Si l'enveloppe tt est une enveloppe axiale et ne se réduit pas à un plan unique, la caractéristique sur p est la droite par laquelle passent tous les plans de l'enveloppe tt; cette droite peut être appelée aœe de l'enveloppe. Si cette enveloppe tt est une enveloppe conique, la caractéristique sur p, si, d'ailleurs, elle existe, passe par le point commun à tous les plans de l'enveloppe tt; ce point peut être appelé sommet de l'enveloppe.

Si R, Ri sont des points projectifs de la ligne P et si la droite projective r est la tangente en R à la ligne P, tandis que le plan qui

Si p, pi sont des plans projectifs de l'enveloppe tî et si la droite projective r est la caractéristique sur p de l'enveloppe tt, tandis que le

passe par r et Ri ait pour limite, lorsque Ri en variant sur P tend vers R, un plan bien déterminé, ce plan est alors appelé plan oscillateur de la ligne P au point R.

Appelons enfin enveloppe osculatrice de la ligne P l'enveloppe dont les plans sont osculateurs pour la lie:ne P.

point commun à r et pi ait pour limite, lorsque pi en variant sur l'enveloppe ir tende vers p, un point bien déterminé, ce point est appelé point de rehroussement de l'enveloppe 71 au plan p.

Appelons ligne de rehroussement de l'enveloppe iz la ligne dont les points sont de rebroussement pour l'enveloppe tt.

Théorème I. — Si, pour une valeur de t, m est le plus petit des nombres entiers non nuls x tels que :

^^(^) ^ Q^ la caractéristique de

pp(jr; ^ o, la tangente à la ligne P au point P est la droite