PP(/H)

l'enveloppe ir sur le plan tc est la

droite im^'»^

et ceci se démontre identiquement comme le théorème I du n° 41. En particulier :

Si PP'^o, la tangente à la ligne P au point P est la droite PP'.

Si tctt'^ g, la caractéristique de l'enveloppe tt au plan tt est la droite tttt'.

Théorème II. — Si, pour une valeur donnée de ty m et nsont les plus petits des nombres entiers non nuls x^ y {x </)> i^^s que

pp(x; p(y) ^ o, le plan oscillateur de la ligne P au point P est alors le plan PP('»)p(«).

TC7^(^)7^(j)^ o, le point de rebroussement de l'enveloppe tt sur le plan tt est le point it ^^'"^7:^"^

Dém, (à gauche). — Posons, à cet effet, Pi = P(^ + A) et appliquons la formule Taylor; il vient

flin /l'i—^ II"'

P, = P + /zP' + ...+ ::L-P(a/z) !-...+ ^! ^pm-l)+lL(p(«)4.Q)

où Q est une forme du premier ordre, telle que lim Q =0;

d'ailleurs on a, par hypothèse,

pp(/n)p(j')= o

pour j = /w4-r.

donc

et par suite

PP('«)Pi = —(??('«> P(«^-!-PP(«^Q),

lim posit P Pf'«) Pi = posit PP^'"' P^''^

Mais la droite PP('«) est tangente à la ligne P au point P, et par conséquent lim posit P^'^^P Pi est le plan osculateur au

point P.

Si PP'P"^ o, le plan osculateur de la ligne P au point P est le plan PP'P".

Si T^rJiz"^o, le point de rebroussement de l'enveloppe r. sur le plan i: est le point t^tz-k".

Dans le cas où la ligne P est une ligne droite, le plan osculateur en chacun de ses points est indéterminé; car, si P décrit une ligne droite P = œk-\- y^, où A, B sont des formes constantes et ^, y sont fonctions de /; mais alors

p(/n)^(m)A j^(m)B g^ pp(m)p(«) gg^ tOUJOUrS UUl. On

pourrait en dire autant pour une enveloppe axiale.

Si la ligne P est seulement une ligne plane, le plan osculateur, en chacun des points où la tangenle est déterminée, est le plan même de la courbe. En effet, le plan PP^'^^Pi a une position constante qui n'est autre que celle du plan de la courbe. Conclusions analogues pour une enveloppe conique.

Théorème III.

Si, pour chaque valeur de t, on aPP'P'P'Vo:

La lisne P est une courbe

gauche.

h. Les tangentes à la courbe gauche sont les caractéristiques de l'enveloppe osculatrice de la courbe P.

c. La courbe P est la ligne de rebrousseinent de l'enveloppe osculatrice de la courbe P ( ^ ).

Si, pour chaque valeur de f, on

a TZTi'izW" ^ o :

a. L'enveloppe tt est une enveloppe gauche.

b. Les caractéristiques de l'enveloppe gauche - sont les tangentes à la ligne de rcbroussement de V enveloppe.

C. L'enveloppe - est l'enveloppe osculatrice de la ligne de rcbroussement de l'enveloppe tt.

C) Soit un point P(0- Pour une valeur donnée de ^, imaginons que

Dém. (à gauche). — Si la ligne P est une ligne plane, on a P = xk +/B + ^C, où A, B, C sont des formes constantes et Xyf, z des fonctions de t; alors, quels que soient les nombres m, n, p {m<^n<:p), on doit avoir pp("Op(/op{p) q. et lorsque, pour chaque valeur de t, l'on a WV'V'^o, il en résulte bien la partie a du théorème énoncé.

Posons maintenant a=:PP'P": étant, par hypothèse, PP'P^^o pour chaque valeur de ^, l'enveloppe a est alors l'enveloppe osculatrice de la courbe gauche P; on a

a'=PP'P", a"=PP"P'"H-PP'P'\

p soient les plus petits des nombres entiers et positifs ic, j, z satisfaisant à a;<j)'<zet tels que PPWPcy)P(^) 5z£ o. La formule de Taylor, en posant P,= P(f }- A), donne successivement

PP,= ^ (??(-)+ QJ,

PP(-)P^= ^ (PP(-)P(")+ QJ,

PP(-)P(«)P^= ^(PP(-)P(")P(P)+QJ,

où Q,, Q2, Q3 sont des formes du premier ordre soumises à la condition lim Q,= lim 0^= limQ3= 0. En supposant que h soit l'infiniment petit principal, on voit que les distances du point P, au point P, à la tangente au point P et au plan osculateur en ce point P, ont respectivement pour ordre infinitésimal m, «, />; voilà une interpre'tation géométrique des nombres w, n, p qui donnent 'l'espèce de la singularité au point P. Nous ne voulons pas ici étudier plus en

détail les points singuliers des courbes. Voici un exemple : variant tp de

-» le point

P z= 0 4- cos^ 9 1 -H sin 9 cos 9 J + sin 9 K

décrit une fenêtre de Viviani, sur la surface sphérique de centre 0 avec l'unité

pour rayon; on a

P'P"P'"=cos9,

et le seul point P [ - ) = 0 -t- K est un point singulier de la courbe. Dans le point 0 + K, la tangente est la droite (0 + K) J et le plan osculateur est le plan (0 + K)J(2l — K); on a une singularité, car P'( - j est parallèle au

vecteur P"'(^)-

OQ CHAPITRE II.

et, pour les produits régressifs aa', aa'a",

aa'=: PP'P".PP'P'"= P"PP'P"'.PP'= PP'P'P '.PP', aoi'a"= PP'P"P"'.PP'.(PP"P"'+PP'P'') = — (PPT"P'")2.P,

d'où Ton décrit les égalités

positaa'= positPP', positaa'a"= posit P,

qui démontrent les parties b, c du théorème.

Théorème IV.

Si P(0 e^^ w/ze forme du premier ordre etP'{t) une forme continue telle que, pour une valeur to de t, P(?o)P'(?o) 9^ o, la tangente à la ligne P au point P(^o) est la position limite de la droite V{ti)?{ti)^ lorsque ti, t^ tendent vers la valeur to.

Si 71 ( ? ) est une forme du troisième ordre et 7z'{t) une forme continue telle que, pour une valeur to de t, 'K{to)Ti'{to) 9^ o, la caractéristique de l'enveloppe tz sur le plan 7r(?o) est la position limite de la droite 7r(?i) 71(^2), lorsque ?i, t.2 tendent vers la valeur to.

Ceci se démontre comme le théorème du n° 41.

Théorème V.

Si V{t) est une forme du premier ordre déterminée ainsi que F(0 et P"(0> et si P"(0 est, en outre, fonction continue tel que, pour une valeur to de t,

V{to)V'{to)V"{to)^o,

le plan osculateur à la ligne P au point P(^o) est la position limite du plan

lorsque ?i, t^^ t^ tendent vers la valeur to.

Si n(?) est une forme du troisième ordre déterminée ainsi que U'{t) et n"(0, et si T\" {t) est, en outre, fonction continue tel que, pour une valeur to de ?,

le point de rebroussement de V enveloppe n dans le plan n(fo) est la position limite du point

lorsque ^i, t^, t^ tendent vers la valeur to.

Dém, (à gauche). — On a mais

ce qui démontre le théorème.

a. On appelle plan normal à la ligne P au point P le plan qui passe par le point P perpendiculairement à la tangente au point P; on appelle encore plan rectifiant au point P de la ligne P le plan mené par la tangente au point P perpendiculairement au plan osculateur en ce point. Si, par exemple, le plan pp('«)p(«) est osculateur au point P, les plans P|(PP('").w) et PP^'") | (PP('«)P('^). co) seront respectivement normal et rectifiant en ce point.

On appelle normale principale de la ligne P au point P la droite commune aux plans osculateurs et normal en ce point ; binormale, l'intersection des plans normal et rectifiant. Si le plan pp('«)p(«) est osculateur au point P, en supposant que P(0 est un point, P^'") et Pc^^ sont des vecteurs et les plans P I P^'"^ ppc'") I p('^o p(«) sont respectivement les plans normal et rectifiant au point P : la binormale est la droite P|P(m)p(n) est la normale principale (PiP("0).pp('«)p(«).

b. Soient 0, 1, J, K les éléments de référence d'un système coordonné cartésien; si nous posons

p = 0 + xl+jj +sK,

que Xf /, z soient des fonctions de ^, le point P décrit une

courbe. Si pp(/«)p(«) est le plan osculateur au point P, alors

en posant

Q = 0 -f XI + YJ + ZK,

on voit que le point Q est un point de la droite PP^'"^ quand les vecteurs Q— P, P^'"^ sont parallèles, et que Q est un point du plan pp(/«)p(«), lorsque les vecteurs Q — P, P^'"', P("^ sont complanaires. Il en résulte que l'équation de la tan-

go CHAPITRE II.

gente au point P est

X^n) yi/n)

ot celle du plan osculateur

zUn)

zin)

Dans le cas de coordonnées rectangulaires, le plan

pp(m) I pCm) p(«)

(plan rectifiant) a pour équation

^(m) yim) 2,^m)

y Un) r^Un)

2,Un) x^fn)

xi m) jUn)

zUi) x^u)

X^n) yUl)

et le plan normal est enfin

(' X — X) X^tn) + ( Y j) j(m) ) (Z 2 ) s{/«) = o.