HÉLICE
56. Si le point P décrit une courbe plane, le vecteur B, parallèle à la binormale, est toujours perpendiculaire au plan de
(') Notre but n'est pas d'étudier les points singulaires; avec les restrictions que nous venons d'énoncer, nous excluons, au juste, les points singuliers sur la courbe P.
126 CHAPITRE in.
la courbe et, par conséquent, la droite PB décrit une surface cylindrique dont la courbe P est une section droite; un point quelconque Pi de la surface cylindrique engendrée par la droite PH est donné par la relation Pi = P + i^B. Les nombres 5, w, qui déterminent la position de Pi sur la surface, sont appelés coordonnées de Pi en prenant la courbe P ellemême comme axe coordonné et le point Po (5o = o) pour origine des coordonnées : le nombre s est V abscisse et le nombre u ['ordonnée du point Pi; en particulier, si u est une fonction de 5, le point Pi décrit une courbe sur la surface cylindrique lorsque s varie.
En considérant un système plan de coordonnées cartésiennes rectangulaires, nous pouvons, au point Pi du cylindre, faire correspondre le point du plan dont les coordonnées sont s et u et réciproquement; et le fait qu'une semblable correspondance est établie peut s'exprimer en disant que l'on développe la surface cylindrique sur le plan (').
57. On appelle hélice toute courbe tracée sur un cylindre et coupant sous un angle constant les génératrices de ce cylindre, sauf les cas très particuliers où cet angle est nul ou
égala -; le développement du cylindre sur un plan trans-
ir forme alors une hélice en une droite.
Théorème I. — L'ordonnée d'un point quelconque d'une hélice tracée sur le cylindre PB est proportionnelle à son abscisse; réciproquement, toute courbe tracée sur le cy -
(') Soient 0 un point fixe et \{t) un vecteur unité dont la dérive'e n'est pas nulle; un point quelconque P de la surface conique eng^^ndre'e de la droite 01 est donné par la relation P = 0 -h «I, et si « est une fonction de f, le point P décrit une courbe sur la surface conique lorsque t varie. Si 0, est un point fixe et J un vecteur unité constant d'un plan fixe, en posant
P, = Oj-h«e'?J avec d'^ ■= modc?I [yoir n° 55),
nous représentons le cône 01 sur le plan fixe, et, comme pour le cylindre, nous disons qu'on développe le cône sur le plan, car
modc/P = modJP, = \Jdu--\- {u mod dl y .
lindre PB est une hélice si l'ordonnée d\ui point quelconque est proportionnelle à son abscisse.
Dém. — Nous avons dit que, si u est fonction de 5, le point
P, =P-a-MB
décrit une ligne sur le cylindre; en prenant la dérivée des deux membres de cette équation, dans laquelle B figure un vecteur constant, il vient
as as
Si 9 est l'angle constant sous lequel la courbe Pi coupe les i?énératrices du cylindre
tang<p ou
En supposant, à l'origine, 5 — 0, que le point Pi coïncide avec le point Po, on aura l'équation
u = ^cotcp,
qui montre bien que l'ordonnée (u) est proportionnelle à l'abscisse {s) en tout point de l'hélice décrite par Pj.
Béciproquement, si u z^as {a^ o), le point Pi décrira une courbe qui coupe les génératrices sous un angle dont la cotangente est a, c'est-à-dire le point Pi décrira précisément une hélice.
Remarque. — Soit Pi un point de l'hélice qui coupe sous l'angle constant 9 les génératrices du cylindre PB; on a
(i) • P, = P-t-^cotcpB,
d'où
(2) ^ = T-HcotcpB;
mod(d?i)B modBT d[\\b ~ du ^~
ds du
du = cotif ds.
mais, en appelant s^ l'arc de la courbe Pi,
dsi = modd?i = /i -h col^ cp df et
(3) ds = sincp dsi,
on a 5 — ^^ sincp, qui permet de construire 5,, étant donnés
s et cp.
Théorème II. — En tout point de l'hélice Pj, le rapport entre la courbure et la torsion est constant, et réciproquement si, en chaque point d'une courbe, le rapport de la courbure à la torsion est constant, cette courbe est une hélice.
Dém. — On a, en effet.
c?Pi ^ ds^ ds ds dsi^
et, en vertu des formules (2), (3),
(4) Ti = sincpT -h coscpB;
or, —r^ — — ^ N entrame -— — ^ > et si 0, est le rayon de
' d.s p dsi p ' ' "^
courbure au point Pj,
(5) Pi^-v^; comme N,= N.
Pour le vecteur Bi, on a
Bi = j TiNi = i (sinçT + coscpB)N = sin'f |TN ■+- coscp I BN, d'où
(6) Bj = sin(pB — coscpT.
Or la dérivée de B, par rapport à 5, est
dBi sin<p coscp dsi'' p ^ '
et, tenant compte de la définition de — et de la seconde des formules (5), il vient
sin^ cos^
Pi__
formule qui, comparée à (5), prouve bien que ^— -cot9, c'est-à-dire que le rapport de la courbure à la torsion est constant en tout point Pi de la courbe Pi. Réciproquement, si pour chaque point d'une courbe Pi ,
Pi
— = « {a constant),
les deux premières formules de Frenet donnent
^1 û^Bi dsx ds^ c'est-à-dire
«Ti — Bi = K,
où K est un vecteur constant bien déterminé, de module y/n-a^; on en déduit K|Ti = ^, qui exprime la constance de l'angle (Ti, K) et, par suite, que la courbe Pi est une hélice tracée sur le cylindre décrit par la droite PjK.
Théorème III. — En tout point Pi d'une hélice tracée sur le cylindre PB, la binonnale est normale au cylindre en Pi et réciproquement, si en chaque point d'une courbe Pi du cylindre PB la binormale est normale au cylindre en Pj, cette courbe Pj est une hélice.
Dém. — Si la courbe Pi est une hélice du cylindre PB, la normale Pi Ni au point Pi est parallèle au vecteur N, c'està-dire perpendiculaire au plan tangent au cylindre en Pj.
Réciproquement, si en chaque point Pi d'une courbe Pi tracée sur le cylindre, le vecteur Ni est parallèle à la normale au cylindre en Pi, il sera perpendiculaire à B, c'est-à-dire
Ni I B =: G, ou — Ni I B = G, ou, en vertu de la première for- B = g; maiS:^(Ti|B) = ^ B, donc
ClSi (ISi
mule de Frenet, -r^ dsi
l3o CHAPITRE III.
Ti I B = consl., c'est-à-dire que le vecteur T, fait précisément un angle constant avec le vecteur B, ou bien encore que la courbe Pi est une hélice puisqu'elle coupe les génératrices du cylindre sous un angle constant.
58. L'hélice considérée est dite ordinaire ou circulaire quand le cylindre sur lequel elle est tracée est de révolution.
Théorème. — L'hélice ordinaire est la seule courbe gauche à courbure et à torsion constantes (Théorème de Puiseux).
Dém. — Si le point P décrit un cercle, p est constant et les formules (5), (7) du numéro précédent montrent bien que l'hélice ordinaire est une courbe gauche dont la courbure et la torsion sont constantes.
Réciproquement, si pi et t^ sont constants pour une
courbe Pi, le rapport ^ sera également constant et le point P,
décrit une hélice; la formule (5) donne alors p = const., c'est-à-dire {voir n" 52 c) que le point P décrit un cercle, et l'hélice Pi est une hélice ordinaire.
a. Soient 0 un point fixe, I un vecteur unité fixe d'un plan donné et r un nombre constant. Si P = 0-t-re'^I, la droite PB décrit un cylindre de révolution ayant pour axe la droite OB, pour section droite un cercle de centre 0 et de rayon r. Étant 5 = r0, le point
Pi==O-f-re'0l + recot(pB
décrit une hélice ordinaire.
Les points Pi(o), Pi (271) (où Q est la variable indépendanle) sont situés sur la génératrice du cylindre qui passe au point Pi(o), et leur distance est appelée pas de l'hélice; or nous avons
Pi(o) = 0-f-H,
Vi{%iz) = 0 -\- r\ -\- iT.r ç,oio'Q,
et
modPi(o)Pi(27r) =ih2-n:rcotcp,
APPLICATIONS. l3l
selon que cp < - ou 9 > -• Le nombre zt r 0019 est dit pas réduit et on l'obtient en divisant le pas par 271.
b. La dérivée de Pi par rapport à B
P'j = rei^il^ r cotcpB
donne une construction fort simple de la tangente au point P^ en faisant usage du pas réduit lii r cot9.
c. La droite PiP^ décrit une surface développable qu'on appelle hélicoïde développable ordinaire; si a est un nombre constant,
P2=Pi-HaP;
décrit une courbe tracée sur la surface hélicoïdale PiP'i et, étant d sa distance à la droite OB, on a
- mod(OB).6Z = modPaOB, ou ^ = -imodPaOB.
Mais
P2OB = PiOB + aV\ OB = rOB(e'9l) + «rOB(e^9n),
donc
d = irsj i^ a'^.
Le point P2 décrit par conséquent une courbe tracée sur un cylindre de révolution d'axe OB et pour lequel le rayon de la section droite est rsj v + a^ On a
V\ = V\ + aV\',
mais P'J B = r cot 9, V\ | B = o, par suite
P2 |B = rcotcp,
c'est-à-dire que le point P2 décrit une hélice.
Le pas de l'hélice du point P2 est le module du vecteur ^2(271) — P2(o) et, puisque
j32 chapitre III.
on a
P2(27r)-P2(o) = Pi(27r)-Pi(o),
ce qui prouve l'égalité de pas des hélices décrites par P^ et Pg.
d. Si l'on pose Q = 0 -}- («2 + r0cot(p)B, la droite QPj décrit un hélicoïde gauche ordinaire dont la droite OB est la ligne de striction; il est à plan directeur si <2 = o, et à cône directeur si a^o.
D'autre part, Pi— Q = re^'^I — aB ou modQPi = v/a'^+ a% et le point Pg = Q + 6 ( Pj — Q ), où è est un nombre constant, décrit une hélice tracée sur un cylindre d'axe OB et dont le pas est égal à celui de l'hélice décrite par le point Pj.
