Surface polaire. — Posons a = PNB
et prenons la dérivée (formules de Frenet)
^"^ =TNB — P(^-T-H -bV+ -PNN = TNB4- -PBT,
ds
ou
(.) g = i(P + ?N)BT,
APPLICATIONS. l33
c'est-à-dire que le plan -7- est parallèle au plan rectifiant
en P.
La caractéristique de l'enveloppe a dans le plan a, ou la génératrice de la surface polaire qui correspond au point P, d'X
est la droite oL-r-y ou bien encore, d'après la formule (i), la
droite (P4-pN)B.
Donc :
La génératrice de la surface polaire, qui correspond au point P, passe par le centre de courbure P 4- pN, parallèlement à la hinormale.
Pour déterminer l'arête de rebroussement de la surface
polaire, on peut considérer cette surface comme engendrée
par la droite
<2 = (P + pN)B
et développer, sur le plan PNB, le produit régressif « ^; or
BN
ds 1 \ T ds I T ds
et, si la courbe P est gauche f - ^ o j ,
ds x\ ds ) '
la droite -r- est ainsi parallèle à la normale principale au point P, sa distance à la droite PN est — t-t^? et, par conséquent, le point Pn-pN — T-j^B est commun aux droites a et -j-t c'est-à-dire que V arête de rebroussement de la surface polaire est décrite par le point P-f-pN — t-j-^.
a. Si la courbe P est plane, la surface polaire est un cylindre; la section droite est le lieu des centres de courbure P -H pN de la courbe P.
l34 CHAPITRE III.
b. La sphère de centre P + pN — t^B, qui passe par le
point P, est appelée sphère osculatrice de la courbe P au point P : c'est la position limite de la sphère déterminée par quatre points de la courbe qui tendent vers P. Le cercle de centre P H- pN (centre de courbure ) qui passe par le point P est appelé, par analogie, cercle oscillateur de la courbe P au point P.
c. Nous dirons que la courbe P est une courbe spliérique quand elle est tracée sur une sphère. Pour que la courbe P soit une courbe sphérique, il est nécessaire et suffisant que
do
le point P-hpN — Ty-B soit un point fixe, condition que l'on peut écrire
ou, d'une manière équivalente,
p d / dp\ T ds\ ds J
60. Surface rectifiante. — Posons a = PBT; les formules de Frenet donnent
^=-^P(pTN + xNB).
La droite a-r- est la génératrice de la rectifiante qui cor-
dx respond au point P, situé d'ailleurs dans les plans a, j-? c'està-dire que la surface rectifiante contient la courbe P.
Pour déterminer une forme du deuxième ordre dont la position décrive la surface rectifiante, il suffit alors de détermi-
d% ner le produit régressif des bivecteurs des formes a, — -7-;
ces bivecteurs BT, pTN + rNA sont tels que BT(pTN + TNB) = TNB(pT — tB),
APPLICATIONS. l35
et si a est une forme du deuxième ordre qui engendre la rectifiante, on peut poser
a = P(pT-TB).
Le déterminant
ds ds
s'annule quand - est une constante et, réciproquement, si les
conditions que nous avons imposées à p et t sont satisfaites.
Nous aurons (pT— tB) ^ (pT— tB)=: — ôTB, et puisque la
condition (pT— rB)^(pT — tB) = o, ou è—o, ou ^ = const.,
quel que soit s, exprime que la direction du vecteur pT — tB est constante :
L'hélice est la seule courbe gauche ayant un cylindre pour surface rectifiante.
En développant le produit régressif a^^ sur le plan PBT,
on obtient une forme du premier ordre de la même position
que la forme
x(pT — xB) + 8P,
et, par conséquent.
Si pour toute valeur de s, <5 ^ o, l'arête de rebroussement de la surface rectifiante est décrite par le point P + ^ T — '¥^'
Soit encore 9 l'angle du vecteur T et de la génératrice de la rectifiante, parallèle au vecteur pT — tB, qui passe en P,
on a
tangcp = p
d'où
l36 CHAPITRE III.
et si 4* est l'angle de contingence du vecteur oT — tB,
mod(pT — xB)^(pT — tB) ^^^ "^^ = [mod(pT-.B)P "^^ = F^^'-
En développant la surface rectifiante sur un plan, l'angle o ne change point et ^ devient l'angle que fait avec une droite fixe du plan la transformée de la génératrice; mais les formules (i), (2) donnent é/tj> = dz c?o ou vj^ zp ç := const. Donc :
La courbeV se transforme en une droite en développant la surface rectifiante sur un plan (*). (Théorème de Lancret.)
