Surface des normales principales. — Si nous posons
a = PN,
il vient
^=TN + P^=-ipT-ipB-4-TN, ds ds p z
et, par suite,
^^ = o.TNP^=-HprNB as as ds 1
La surface des normales principales d'une courbe gauche est une surface gauche réglée et réciproquement.
Le plan tangent de la surface des normales au point P est le planP ^ = plan PTN; par conséquent :
Le plan osculateur en V à la courbe P est tangent à la surface des normales au point P, ou, en d'autres termes, la développable osculatrice de la courbe P et la surface des normales principales se raccordent tout le long de la courbe P.
(•) En effet, si le point P décrit nne ligne plane, le point P,= P-raT décrira une ligne droite qoand le vecteur <fP, fait un angle constant 6, avec un vecteur fixe I du plan (n* 52, b et n" 50); or si 6 est l'angle que fait T avec 1 et a Fangle de T avec </P,, la condition <f6, = o équivaut à db ==:</».
De même, puisque le plan tangent à la surface des normales au centre de courbure P 4- pN est
(P + pN)^= plan PNB:
La surface des normales et la surface polaire se raccordent suivant le lieu du centre de courbure de la courbe P.
Le plan as\Tnptotique pour la génératrice a n'est autre que le plan a. ^w; or
ds p -z
donc
da
ds
p(-tn-^nbV
le bivecteur de la forme flr.^-w est ainsi -TN NB, dont
ds p T
l'index est le vecteur -B — ^ T, parallèle au vecteur pT — rB. Par conséquent :
Le plan asrmptotique pour la génératrice de la surf ace des normales qui passe en P est perpendiculaire à la génératrice de la surface rectifiante gui passe par le même point P.
Comme le point central de la génératrice a est
ri/ da y\da
si l'on développe le produit progressif et régressif
il vient :
La ligne de striction de la surface des normales peut être considérée comme décrite par le point P 4 N, pour lequel
X^^K/ ~^~^7i ^^^ l'expression de la courbure normale.
i38 CHAPITRE m. Si nous posons P, = P h N, on a
ds
(i?)'-ïe'-^).
ou bien encore
ds \dsp/ X
ds '
donc {voir n° 46, d) :
Le paramètre de distribution de la génératrice PN est le
nombre —
