La courbe Pi conjuguée de P est aussi une courbe de

l56 CHAPITRE III.

M. Bertrand. Si donc l'on observe que -r^ = r, -y- == -, P = Pi — mN et que 9 est l'angle de T avec Ti aussi bien que

de Ti avec T, la courbure — et la torsion — de la courbe P,

pi '^1

sont liées par les formules analogues aux formules (2), (3),

, ,, U l II \ .

(2) I = -cos9; — = sincp,

Pl P ^' Ti P '

», sino coso sincp

"pï ^ ~ ~^'

ou bien encore celles que l'on peut en déduire par le cbangement de u en — u^ selon que Ni^— N ou Ni = N. Pour déterminer complètement le signe u dans les formules (2)', (3)', observons que le vecteur B, parallèle au vecteur

! "*■ \ p/ "^ est donné par la relation

Bi ==!= (coscpB — sincpT).

selon que Ni — ±N; la dérivée

û?Bi i /coscp sincp \ ~dsl ~ v\~x~ P / '

donne, en vertu de (3),

^1^ sincp dsi uv

et, par suite,

— = ~ [seconde formule (2)'],

Ti MP

en ayant égard à la deuxième formule de Frenet.

Il est donc. bien démontré que les formules (2)', (3)' subsistent pour p, et Ti avec Ni = — N.