COURBES DE M. BERTRAND

69. Nous disons que la courbe P est une courbe de M. Bertrand, s'il existe une courbe Pi, différente de P, qui ait mêmes normales principales que celle-ci et nous appellerons alors Pi une des conjuguées de la courbe P.

Si P est une courbe de M. Bertrand et que la courbe Pi soit une des conjuguées de P, les courbes P, Pi sont des trajectoires orthogonales de la surface des normales principales; la distance des points P et Pi doit donc être constante, c'est-

( ' ) Voir la note à la page 121.

l54 CHAPITRE III.

à-dire que

(i) P, = P4-mN,

où u est un nombre réel (fixe) non nul. Si P est une courbe plane, en vertu de l'équation

les normales aux points P et P, coïncideront. Donc :

Toute courbe plane est une courbe de M. Bertrand et ses conjuguées sont engendrées par les points P -f- «<N, où u figure une constante arbitraire.

70. Nous allons supposer désormais que la courbe P, gauche, soit une courbe de M. Bertrand et que P, soit une des conjuguées de P. Le vecteur T,, parallèle à la tangente en Pi, est parallèle au plan PTB, ce qui nous permet de poser

Ti= cos<pT -4- sinoH,

r/T en désignant par o une fonction de s telle que —p- (vecteur

parallèle à Ni) soit un vecteur parallèle au vecieur N. On a donc

^Ti /coso sinoX-. do .

—r- = ■ — - H N4- -r^(cosoB — smoT),

ds \ p z J ds ^ ' ' "

et l'équation -^N = o ne saurait avoir lieu, quel que soit 5,

que si cp, angle des vecteurs T et Ti, est une constante. Par conséquent:

Le plan osculateur au point P d'une courbe de M. Bertrand fait un angle constant avec le plan osculateur au point correspondant d'une courbe conjuguée de P.

APPLICATIONS. l55

La formule (i) donne, d'ailleurs,

et si nous posons

on voit que t'est un nombre non nul, que la constante 9, telle que 71 > 9 > 0, satisfaisant à l'équation

(2) I = ç'coscp, -= — psincp,

est bien déterminée; puisque vr^o q\ sin9 7^o, les formules (2) entraînent

siiKf coso sincp p 1 II

qui exprime une relation à coefficients constants entre la courbure et la torsion en tout point de la courbe P, condition nécessaire pour que la courbe considérée soit une courbe de M. Bertrand. Réciproquement, si la condition (3) est vérifiée, le point Pi = P-i- wN décrit effectivement une courbe qui a mêmes normales que la courbe P. Donc :

Pour que la courbe gauche P soit une courbe de M. Bertrand, il faut et il suffit que, en chaque point de P, la courbure et la torsion soient liées par une relation linéaire à coefficients constants de la forme

sincp coscp sincp p X w

(t: > 9 > o et u^o). En admettant que cette condition soit remplie, le point Pir=P4-wN décrit une conjuguée de la courbe P e^ cp est V angle que fait le plan osculateur en P avec le plan osculateur au point correspondant Pj de la courbe conjuguée,