I. - DÉFINITIONS ET RÈGLES DE CALCUL

1. Tétraèdre. — Nous exprimons que les points A, B, C, D sont situés sur un même plan en écrivant ABCD = o, ou en disant que les points A, B, C, I) sont les sommets d'un tétraèdre nul. On a toujours

AABG = ABAG = ...-= AAAB = . . . = o.

Si A, B, C, D sont des points non situés sur un même plan, (ABCDpr^o), par la notation ABCD nous indiquons alors un nombre réel. La valeur absolue de ABCD est le nombre qui mesure, avec une unité d'ailleurs arbitraire, le volume du tétraèdre dont les sommets sont précisément les points A,B, C, D; le signe de ce nombre est h- ou — selon qu'un observateur placé sur la droite AB, la tête en A et les pieds en B, regardant la droite CD, voit le point D à sa droite ou à sa gauche^ ou bien encore le point C à sa gauche ou à sa droite (*).

(') La considération du sens d'une suite de points A, B, G, D, du sens ou du signe d'un tétraèdre, est due à Môbius. Cette idée ne se trouve point dans les livres d'Euelide.

Quels que soient les points A, B, C, D, le nombre réel ABCD est bien déterminé, une fois fixée l'unité de mesure pour les volumes. On a d'ailleurs, évidemment,

ABCD = ~ BACD rr= ACBD = - ABDC.

On peut donc, dans une expression telle que ABCD, choisir l'ordre dans lequel on désire ranger les lettres, à condition de se rappeler toutefois que chaque échange entre deux lettres consécutives entraîne un changement de signe.

Les définitions que nous venons d'énoncer donnent encore une signification aux expressions

ABCD + AiBiCiD4-...-i-A„B„C„D„, ABCD — EFGH, mABCD,

où m est un nombre. On peut toujours, d'une infinité de façons, déterminer les points P, Q, R, S en sorte que le nombre PQRS soit égal à un nombre donné et, par suite, à une quelconque des expressions citées.

Si ABCD ^ G, nous dirons naturellement que le tétraèdre, dont les sommets sont rangés dans l'ordre A, B, C, D, a le sens direct ou le sens inverse^ selon que le nombre ABCD est positif ou négatif. Pour abréger le langage, nous disons bien que ABCD est un tétraèdre, mais ce mot ne possède pas ici sa signification ordinaire, car l'égalité ABCD = EFGH exprime que les tétraèdres de sommets respectifs A, B, C, D et E, F, G, H ont non seulement même volume, mais encore même sens.

2. Formes géométriques. Égalité des formes. — Nous appellerons formes du premier^ deuxième et troisième ordre des entités telles que

(i) a^iAi +X2A2 -I-. . .-H^rtArt,

(2) .riAiBi -f-.r2A2B-2 -h. . .-h .r,j A,iB,n

(3) .r,AiBiCi-HX2A2B2C2 + . • .-f- -r^A/iB^Cj,

011 les ^1, ... sont des nombres réels et Ai, . . ., B,, . . ., Cl, ... représentent des points.

Dans ces conditions, les égalités symboliques

(i)' a:iAi -H...-H.r„A„ =x\A'i -{-...-+- x',^ A',n ,

(■2)' XiAiBi -h... -\-Xnkn^n = x; A'j B; -^ .-•-+- ^'m KnKn

( 3 )' ^1 Al Bi Cl H- . . . -i- x„ A;i B„ Ci == x\ a; b; g; -I- ... + .v'„, k'„, b'„, c„,

exprimeront que l'on a, quels que soient les points P, Q, R,

<i)" oTiAiPQR +...-H^'„A„PQR =x[A\VQR +. . •+ x;„A;,PQR, <2)" xiAiBiPQ -i-...-f-x„A,,B„PQ =.x'iA'iB'iPQ +• • •+ ^';„a;„B;,,PQ, (3)" XlAlBlGlP^-...-+-^/.A,,B„C„P = ylA;B'lC'lP4-... + a;;,A;„B;,C'„,P.

La dénomination de forme du pi-emier ordre, par exemple, ne définit pas l'expression (i); nous considérons cette entité (i) comme un élément géométrique abstrait, commun à toutes les formes x\ A'i + . . . -t- x'mKny satisfaisant à la condition ( i )', condition qui reçoit une signification précise en vertu de l'égaUté (i)". Les mêmes remarques s'appliquent aux expressions (2) et (3) (1).

Nous dirons de même que l'une de ces formes, ( i ) par exemple, est nulle, et nous écrirons

.Ti Al 4- .ra A2 -h . . . -H x,i kn = o,

lorsque, quels que soient les points P, Q, R, on a

xi AiPQR + X2A2PQR -H. . .-H jc„A,,PQR = o.

Un tétraèdre, une somme de tétraèdres ou une expression comme ^lAiRiCiDi-h. . .-h a;„A„R;iC„D;j est appelée, par analogie, forme du quatrième ordre.

Si A, R, C sont des points, nous écrivons aussi lA, lAR, lARC au lieu de A, AR, ARC; ceci revient simplement à

(*) La définition des entités (1), (2), (3), sous une forme analogue à celle que nous venons d'énoncer, est due à M. Peano {Calcolo geometrico; Torino, Bocca; 1888). Il en résulte qu'une relation simple est établie entre les formes géométriques et les éléments qu'on considère dans la Géométrie d'Euclide, et le calcul abstrait de Grassmann acquiert une valeur concrète, susceptible d'applications géométriques.

admettre que A est une forme du premier ordre (c'est-à-dire que chaque point est une forme du premier ordre), AB une forme du deuxième ordre, ABC une forme du troisième ordre.

3. Points. — Remarquons tout d'abord que si A correspond à un point, on a nécessairement A ^ o.

On exprimera que le point A coïncide avec le point B en écrivant A==B. En effet, la relation A = B équivaut, quels que soient les points P, Q, R, à APQR = BPQR ; alors, chaque plan qui contient A ( APQR = o), contient aussi B (BPQR = o) et, par suite, A est identique à B.

Si A et B sont des points, ^ et / des nombres non nuls, l'égalité ^A=jB entraîne les deux suivantes : x^=^y et A=:B. En effet, si APQR = o, on a aussi BPQR=o, c'estdire A = B, d'où, par conséquent, x = j.

4. Segments. — La définition de l'égalité des formes du deuxième ordre montre que Véquation AB = o correspond d'une manière nécessaire et suffisante à l'égalité A^=B. En effet, AB=:o équivaut à ABPQ = o, quels que soient P et Q; donc les quatre points A, B, P, Q doivent être dans un mémo plan, ce qui exige bien la coïncidence des points A et B.

De même, quels que soient P et Q, les deux tétraèdres ABPQ et BAPQ, de sens inverses, auront même volume; c'est dire que ABPQ = — BAPQ et que Von a toujours, entre deux points A e^ B, la relation AB ^=i — BA.

Si l'on appelle module de AB, « mod AB », le nombre positif ou nul qui mesure la distance des deux points A et B, on aura toujours mod AB = mod BA ainsi que mod AB -= o seulement lorsque les deux points A et B coïncident, ou si A = B.

Théorème I. — x étant un nombre réel non nul, si l'on a AB = ^CD, les quatre points A, B, C, D sont situés sur une même droite et mod AB est égal à mod CD multiplié par la valeur absolue du nombre x.

Dém, -- Si AB = o, on aura CD=o et le théorème est démontré. Si ABp^o, on doit avoir aussi CD=^o, et réciproquement; P, Q étant deux points quelconques, on aura

ABPQ = .^CDPQ, et si le pointP est situé sur la droite AB (*), il sera également situé sur la droite CD, puisque les deux membres seront nuls, et cela quel que soit le point P sur la droite AB, ce qui revient à dire que les quatre points A, B, C, D sont situés sur une même droite. Mais alors si ABPQ ^ o, les tétraèdres ABPQ, ^CDPQ peuvent être considérés comme ayant mêmes hauteurs (la distance du point Q au plan ABP) et pour bases deux triangles équivalents ayant leur sommet P commun et leurs bases sur la droite AB; par conséquent, la distance des deux points A et B est égale à la distance des deux points C et D multipliée par la valeur absolue du nombre a^.

Théorème II. ~ Si A, B, C, D sont des points d'une même droite et si CD yz o, on ne peut déterminer qu'un seul nombre réel X tel que AB = ^CD.

Dém. — Si AB = o, on a ^ = o. Si AB /^ o, soient P et Q deux points tels que ABPQ ^ o; il existe bien alors un nombre réel X, déterminé par l'égalité ABPQ = ^CDPQ. Il résulte d'ailleurs immédiatement, des notions de Géométrie élémentaire, que cette relation ABPQ =a?CDPQ subsiste quels que soient les points P, Q et, par suite (n°2), le nombre x répondant à la question, c'est-à-dire tel que AB = ^CD, est ainsi déterminé d'une façon unique.

Remarques, — Dans ces conditions, nous indiquerons par

AB le signe ^ (rapport de AB à CD) le nombre x tel que

AB AB = ^CD; si -Tjr 7^0, nous dirons que la forme AB a, relativement à la forme CD, le sens direct ou le sens inverse,

AB suivant que le nombre ^p: est positif ou négatif.

Si AB — CD avec AB ^o, alors : i° les points A, B, C, D

( ' ) Nous disons, pour abréger, « droite AB » au lieu de « droite qui joint les points A et B », « plan ABC », au lieu de « plan qui passe par les points A, B, G ». Au § 3 de ce Chapitre, nous donnerons une signification un peu différente à ces expressions.

sont situés sur une môme droite; 2° la distance des deux points A et B est égale à la distance des deux points C et D; 3° les formes AB, CD ont le même sens. Ainsi, la forme AB est un élément géométrique abstrait, fonction de la droite illimitée qui joint les points A et B, de la distance de ces deux points et du sens de la forme AB. Nous dirons que la forme AB est un segment, expression qui n'aura pas ici sa signification habituelle de droite limitée.

Si AB yioy CD 7^0, la droite AB étant parallèle à la droite CD et la droite AC parallèle àBD, nous dirons que les formes AB et ^CD sont parallèles et ont ou non le même sens, selon que œ, supposé réel et difierent de zéro, sera positif ou négatif.

5. Triangles. — Soient A, B, C, D, E, F des points ; l'égalité de deux formes du troisième ordre montre facilement que l'égalité ABC:=o exige les points A, B, C en ligne droite. De même on a ABC r=: — BAC = — ACB. On appelle module de ABC, « modABC », le nombre positif ou nul qui mesure l'aire du triangle de sommets A, B, C, en sorte que modABC = G si ABC = o et modABC = modBAC == mod ACB.

Théorème I. — Si Von a ABC = ^DEF, x étant un nombre réel non nul, les points A, B, C, D, E, F sont situés dans un même plan et modABC est égal à modDEF, multiplié par la valeur absolue du nombre x.

Théorème II. — Si A, B, C, D, E, F sont des points d'un même plan et si DEF ^ o, on peut alors déterminer un seul nombre réel x tel que ABC = ^DEF.

Ces deux théorèmes se démontrent comme les théorèmes I et II du n° 4.

Remarques. — Dans les hypothèses du théorème précédent, nous indiquerons encore par le signe ^yr-p (rapport de ABC à DEF), le nombre x tel que ABC =^DEF. Si ^ ^o, nous pouvons dire que la forme ABC a, relativement à la forme

DEF, le seiîs direct ou le sens inverse, selon que le nombre ARC

— ^ est positif ou négatif.

Si ABC = DEF et ABC ^ o : i° les points A, B, C, D, E, F sont situés sur un même plan; 2° l'aire du triangle dont les sommets sont A, B, C est égale à l'aire du triangle de sommets D, E, F; 3« les formes ABC, DEF ont le même sens. Comme précédemment, la forme ABC est un élément géométrique abstrait, fonction du plan des points A, B, C de l'aire du triangle dont les sommets sont A, B, C, et du sens de la forme ABC. Nous dirons que la forme ABC est un triangle, en attribuant à ce mot une signification spéciale.

Si ABC^o, DEF^o, que le plan ABC soit parallèle au plan DEF, et les droites AD, BE, CF parallèles entre elles, les formes ABC, ^DEF seront dites parallèles, et de même sens ou non suivant que x, réel et non nul, sera positif ou négatif.

En supposant ABC ^o, un observateur debout sur le plan ABC, est placé soit dans la région des points P tels que PiVBC soit un nombre positif, ou bien dans celle des points P tels que PABC soit un nombre négatif; si l'observateur est, par exemple, dans la première de ces régions, et s'il parcourt le périmètre du triangle ABC de A en B, B en C et de C en A, il aura à sa droite l'aire du triangle ABC; toujours situé dans la même région, s'il parcourt le périmètre d'un triangle DEF ou même plan dans le sens D, E, F, il aura l'aire à sa droite ou

DFF

à sa gauche suivant que -^ est positif ou négatif. De cette

manière, on peut fort aisément reconnaître si deux triangles d'un même plan ont mêmes sens ou des sens contraires.