Produit progressif. — Posons, par exemple

(ariAi-t-X2A2)(7iBiC,4-jK.2B2C2-f-j-3B3C3) := ^ijiAiBiCi + ^ijsAiBoCa-f-^ijsAiBsCa -!- x^ji A2 Bi Cl -4- ^2 j2 A2 Bo C2 -f- ^2 J3 A2 B3 C3 ;

nous avons opéré, en un mot, comme si

XiAi-+-^2A2, JlBiCi-!-j2B2G2-i-j3B3C3

étaient des polynômes, et effectué la multiplication en respectant l'ordre des grandes lettres.

Il est aisé de généraliser cette règle pour effectuer le produit de deux ou plusieurs formes, avec la seule restriction que la somme de leur ordre ne surpasse point 4; le produit ainsi défini est dit produit progressif , ou simplement produit, lorsqu'il n'y a pas d'équivoque possible. Le segment AB est ainsi le produit du point A par le point B, le triangle ABC est le produit du point A par le segment BC, du segment AB par le point C, ou enfin le double produit du point A par le point B et par le point C. Il en serait de même, bien entendu, pour le tétraèdre ABCD.

Il résulte aisément de ces définitions que les règles de calcul algébrique s'appliquent aux produits des formes [si A = B, onaAC = BC, (A-i-B)G — ACh- BC, mAB =z:^ (mA)B], hormis cependant celles qui dépendent d'une propriété commutative; dans ce cas, on doit avoir recours à la règle suivante : si A et B sont deux formes d'ordres respectifs r et 5, avec la condition /• + 5 5 4» on a

c'est-à-dire que, dans un produit de formes, on peut à volonté permuter entre eux deux facteurs consécutifs d'ordres r et s en a3^ant la précaution de multiplier le produit par (—j)'"*; les formules AB =— BA, ABC = — BAC ne sont que des cas particuliers de cette règle.