Si

^ = 0-hxl-hyi-^-zK et P' = + ^'I-h/JH-2'K,

on a

modPP'=mod(P — F)

= mod[(x — x')[ -{- (y — y')i -h(z^z')K] = v/(^-^')2h-(7-/)2+(5-2')S

expression qui fournit la distance des points P et P'. f. Les points

P = 0-i-a;I + /lH-3K

sont situés sur la droite ^ parallèle au vecteur P =/?I+^JH-rK,

quand les vecteurs U, P — P' sont parallèles, c'est-à-dire lorsqu'on a

qui n'est autre que Téquation de la droite t. g. Si a est un triangle, on a

a = aOJK -4- 60KI -H cOIJ - û?IJK,

et le point P = -4- ;rl H-yJ -4-^K appartient au plan a

quand

Pa = — {ax + hy ->rCz-\- fi?)OUK = o

ou bien encore quand

ax -H ^/ -t- C3 -h t^ = o,

qui est précisément l'équation du plan a.

Avec ocût) = aJK -h 6KI + cIJ et | (aco) = «I -4- 6J + cK, on voit que les nombres a, 6, c sont proportionnels aux cosinus des angles que fait avec les axes la normale au plan a.

Étant

moda= - mod(aa)) = - mod (aw) = - v/«*-^ ^*-h c^, 2 ' 2 2

le nombre

3Pg mod a

ax -h bf -h cz -h d ^a> -t- 62 -h c*

est la distance, avec un signe, du point P au plan oc. h. Si a est une forme du deuxième ordre, on a

et son invariant est nul lorsque

/?/?'-{- ^^'-H rr'= o.

Les nombres /?, ^, r, /?', ^', r', liés par la relation (i), sont alors les coordonnées de la droite a, coordonnées auxquelles il est aisé de donner une signification géométrique, en ob-

servant que

a(ù = pl-hqj -h rK, | (0«)a) = p'I -h q'J H- r'K.

Si a, ai sont deux formes de deuxième ordre, telles que

aa=Oj aitti = o, aw.ao) 7^ o,

alors (n*» 26, 5" exemple) la plus courte distance entre les points de la droite a et ceux de la droite «i est dohnée par la formule

mod(pp\ -+- qq\ -H rr\ -h/?i /?'-f- qx q'-h r^ r')

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6o CHAPITRE II.