COORDONNÉES
31. Théorème I. — Etant données des formes du premier ordre Ai, Aj, A3, A4 telles que AiA2A3A4^o, et des form,es quelconques S, Sy a, respectivement des premier, deuxième et troisième ordre, les nombres x^^ . . . , 074, y^, . . . , y^y 5,, . . . , ^4 tels que
(i) Si = ariAi-+-jr2Aj-i-a:3A3-f- :C4A4,
(2) 5=JlAiA2-Hj2AiA3-f-73AiA4-Hj4A2A3-i-75A3A4-+-j6A4A2,
(3) (T = 3iA2A3Av-f-32A3A4Ai-f-S3A4AiA2-f-34AiA2A3.
sont bien déterminés.
Dém, — L'identité du théorème 1 du n<» 24 donne
A1A2 AsA4.S 4- A2 As A4 S. Al -4-. . .-hSAiA2A3.A4= o;
il suffit de diviser par Ai Aj A3 A4, pour avoir la formule (1), avec
A2A3A4S A^AvSAi
* AiA2A3A4 Al A2 A3 A4
Si maintenant s est le produit de deux formes du premier ordre S, S'
s = SS'= (j^jAj -h. . .) (.r'i Ai-i-. . .)i
ce qui donne une formule analogue à la formule (2) en développant le produit du second membre : en général, s, considéré comme somme de deux produits de formes du premiçr ordre, est réductible à la forme (2). De même, a, considéré comme produit de trois formes du premier ordre, est réductible à la forme (3). Il suffit, à présent, de démontrer que les nombres/, z sont déterminés d'une manière univoque. Considérons, à cet effet,
^=7iAiA2-ï-j; AiA3-i-...;
d'où
(71 — Ji ) Al A2 + (72 — j's ) Al A3 -H . . . = o,
et multiplions par A3 A4, A2 A4, . . .; il vient successivement
Les nombres a:, y, z sont respectivement appelés coordonnées des formes S, 5, c pour les éléments de référence Ai, Aj,
Théorème IL — Si Ai, A2, A3 sont de formes du premier ordre, telles que Ai A2 A3 y^ o, et S, s des formes quelconques du premier et du deuxième ordre complanaires avec A,, Aj, A3, les nombres iCj, ac^, ^3, Ji, y<i, /s, tels que
S = xiAi -h J72A2-I- J^sAs,
<J =JlA2A3-|-j2A3Ai-l-j3AiA2,
sont bien déterminés.
De même :
Théorème III. — Si Ai, Aj sont des formes du premier ordre avec Al As ^ o, quelle que soit la forme S du premier ordre collinéaire avec Ai et A2 les nombres ^1, œ^y tels que
S = Xi A1-+-X2A2)
sont bien déterminés (*).
a. Si
S = .Ti Ai-H. . .-+- .2^4 A V} S' = jt'i Al -h. . .-H jr4A4,
on aura
S -h S' = ( j:i -4- x'i ) Al 4- . . . H- ( j:* H- J^i ) A4 ;
et pour un nombre m
/?2 S = (/W J?i) Al -H . . . -h (/W.r4) A4,
formules qui déterminent les coordonnées des formes S h- S' et m S.
On aurait des résultats analogues pour les formes s 4- s\
( * ) On appelle sjrsième linéaire un ensemble d'éléments pour lesquels sont définis la somme ainsi que le produit par un nombre^ ces opérations ayant les propriétés ordinaires (Algèbre). Nous dirons que les éléments «,, "2' •••> "„ <i'"Q système linéaire sont indépendants quand il est impossible de déterminer des nombres m^, m^, ..., m„ non tous nuls, tels que
Un système linéaire est dit à n dimensions y quand il existe n éléments u^, «2, ...,//„ du système qui soient indépendants et w -h i éléments du système sont toujours dépendants : si u est alors un élément quelconque du système, les nombres m^, /«j, ..., m^, tels que « = wi,«,-|- m^ «2 "*"•••"*" '"n"» sont bien déterminés.
Les théorèmes précédents expriment donc que les formes du premier {et troisième) ordre de V espace sont les éléments d'un système linéaire à quatre dimensions, et que les formes du deuxième ordre de l'espace sont les éléments d'un système linéaire à six dimensions; de même, les formes du premier {et deuxième) ordre d*un plan projectif sont les éléments d'un système linéaire à trois dimensions^ etc.
Pour les autres systèmes linéaires de formes géométriques, voir G. Burâli- FoRTl) // metodo del Grassmann nella Geometria proiettiva, 1. c.
ms'y a -{-(j'y m(j. On peut encore aisément obtenir les coordonnées du produit progressif ou régressif de deux formes.
b. Si
Si
xiiAi XjiAi
^31 Al ^4lAi
OTuAj
«^uA4,
OÙ Al, ..., A4 sont des formes du premier ou troisième ordre et les X des nombres, alors on a
Si S2S3S4 =
Xii ^12 J7i3 Xi4
X41 .r42 J^ttZ «^44
En effet, un terme du produit Sj S2 Sj S4 est
J7ll .7722 J^33«^44 Al A2 A3 A4,
et Ton peut obtenir tous les termes en permutant les seconds indices des ^ii^j2^i3^i4 en donnant au terme ainsi obtenu le signe 4- ou le signe — , selon que le nombre des inversions d'indices consécutifs est ou non un nombre pair; et cette loi n'est autre que la loi de formation des termes du déterminant de la formule (i) (^).
En voici un exemple : Soient A, B, C les sommets d'un triangle; A', B', C les points de rencontre, avec les côtés opposés, des bissectrices internes des angles A, B, C; posons a =: modBC, b =: modCA, c = modAB. Dans ces conditions, le point A' est la position du produit régressif
{*) Pour la théorie des déterminants déduite des opérations de Grassmann^ voir E. GarvallO; Théorie des déterminants {Nouu. Ann.; 1898).
la masse de celle forme esl
ABC ABC . nn ^ -^ ^ oc oc
el, par conséquenl,
on a, de même,
^Ch--^A, c-{- a c '■\- a
el, par conséquenl,
b-hc
ABC
abc
ABC
qui fournil Taire du Iriangle A'B'C en fonclion des nombres or, b, c el de Taire du triangle ABC.
32. Prenons acluellemenl pour élémenls de référence un poinl el Irois vecleurs unités non complanaires I, J, K; si S est une forme du premier ordre, on aura
S = /wO-+-.rI-4-jJ-i-2K;
et, puisque Sa)=m, on voit que m est la masse de la forme S; on aura donc, pour un poinl quelconque P,
p = 0-f-xI-4-7J-+-2K,
(») Par cette formule, on déduit que la bissectrice interne de l'angle A décompose le côté opposé en parties proportionnelles aux côtés AB, AC. Réciproquement, cette propriété donne la formule
et les nombres œ, /, z sont les coordonnées cartésiennes du point P, en prenant pour origine le point 0, et pour axes les droites 01, OJ, OK; de même, si U est un vecteur, on aura, comme nous Tavons déjà vu.
Dans ce qui va suivre, nous conviendrons que les vecteurs I, J, K sont deux à deux perpendiculaires, et que le trivecteur IJK est positif, ce qui revient, en d'autres termes, à supposer que les vecteurs I, J, K satisfont aux conditions
I2=JÎ=K2=I,
J|K = o, Kl 1 = 0, I|J = o, I = |JK, J = |KÏ, K = |IJ.
Les propriétés que nous allons énoncer prouvent comment la Géométrie analytique cartésienne peut se déduire bien aisément de la théorie générale des formes (*).
a. Si U=::rI-hyI + 2K, on a U^— a?^-hy^- h>3% et le module du vecteur U est le nombre \Jx^ -h j^ H- -s^ .
b. Si U =z :rl 4- jJ 4- ^K, on a U 1 1 =1 ^, et, par suite,
cos(U, !) = -— =^=, cos(U,J)= ^
v/jc2 -i- r^ -f- z^ /r2T/2 i- -.2
En un mot, les coordonnées du vecteur U sont proportionnelles au cosinus des angles que fait U avec I, J, K, et
cosHU, I) -t- co8î(U, J) -\- cos2(U, K) = I.
G. Si U = ^I -hjJ + ^K, U'=^'I -hyjH--s'K, la condition de parallélisme de U avec U' est
UU'=o
(*) On peut, pour les autres systèmes de coordonnées, consulter : C. Burali- FoRTl, // metodo del Grassmann ne fia Geornetria proiettiva (loc. cit.); mais il est bon d'observer que, dans le développement de la méthode de Grassmann, les coordonnées choisies n'ont aucune importance, et que les théorèmes du n® 31 ou bien du n<> 24 sont seuls nécessaires.
OU
JK-f-
Kl-h
IJ = o,
ou bien encore
que nous convenons d'écrire sous la forme
