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les formes du deuxième ordre représentent les droites, les orientations et les systèmes des forces appliquées à un corps rigide ; les formes du troisième ordre représentent les plans et le plan à Finfîni. Parmi les opérations, les produits progressifs et régressifs donnent les opérations géométriques projecter, couper; le produit interne donne les projections orthogonales et les quantités qu'on désigne, en Mécanique, par les mots ouvrage, moment,,..

Nous donnons dans ce livre, sous la forme coacrète et très simple que nous venons d'exposer, les éléments du calcul géométrique suivant la méthode de Grassmann. Le but que nous nous sommes proposé est de donner aux jeunes étudiants le moyen d'apprendre aisément ce puissant instrument de calcul, et de leur donner, en même temps, le moyen de l'appliquer aux questions de la Géométrie différentielle supérieure.

Nous croyons ce dernier but de notre Ouvrage fort important. En effet, on obtient, dans la Géométrie différentielle ordinaire, des propriétés bien simples avec des développements très compliqués. Celte complication est due, en général, à l'emploi des coordonnées, car avec les coordonnées nous faisons des transformations algébriques sur des nombres pour obtenir, d'après des calculs bien souvent fort compliqués, une petite formule, une invariante, qui est susceptible d'une interprétation géométrique. Le calcul géométrique ne fait point usage des coordonnées; il opère directement sur les éléments géométriques, et chaque formule, qui est par elle-même une invariante, a une signification géométrique bien simple qui conduit très aisément à la représentation graphique de l'élément considéré. On peut donc prévoir une simplification vis-à-vis des méthodes ordinaires. Notre Ouvrage prouve que la simplification est pos-

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sible à regard de la Géométrie différentielle élémentaire, et laisse aux jeunes étudiants un vaste champ de transformations et de recherches pour la Géométrie supérieure.

L'importance du rôle que VAusdehnungslehre a en Géométrie, en Mécanique et en Physique, est bien expliquée par M. V. Schlegel dans son important Ouvrage historique Die Grassmann' sche Ausdehnungslehre.,. (*) auquel nous renvoyons le lecteur. Aujourd'hui la méthode de Grassmann n'a pas besoin d'être recommandée; elle n'a besoin que d'être connue et appliquée par tout le monde : c'est par l'application constante à toutes les parties de la Mathématique qu'on peut comprendre la puissance et la simplicité de la méthode de Grassmann.

Turin, avril 1897.

(*) Zeiischrifi fiir Mathematik und Phjrsik. Leipzig; 1896.