COURBES DE M. BERTRAND

69. Nous disons que la courbe P est une courbe de M. Bertrand, s*il existe une courbe P,, différente de P, qui ait mêmes normales principales que celle-ci et nous appellerons alors Pi une des conjuguées de la courbe P.

Si P est une courbe de M. Bertrand et que la courbe Pj soit une des conjuguées de P, les courbes P, Pj sont des trajectoires orthogonales de la surface des normales principales; la distance des points P et Pi doit donc être constante, c'est-

(*) roir la note à la page 121.

à-dire que

Pi-P + mN.

OÙ u est un nombre réel (flxe) non nul.

Si P est une courbe plane, en vertu de Téquation

dVx

ds ~\^ P

lY'

les normales aux points P et Pi coïncideront. Donc :

Toute courbe plane est une courbe de M, Bertrand et ses conjuguées sont engendrées par les points P H- mN, ou u figure une constante arbitraire,