TZ = PU
OÙ P est un point, T et J deux vecteurs unités rectangulaires fonctions de Tare s de la courbe décrite par P; un point quelconque Pi du plan TT sera
et lorsque les nombres x, y sont des fonctions de 5, le point Pi décrit une courbe qu'on appelle trajectoire orthogonale des plans tt, si la tangente en Pi est constamment perpendiculaire au plan tt.
On voit alors aisément que les conditions nécessaires et sufflsantes pour que le point Pi décrive une trajectoire orthogonale des plans tt sont
ds
^1 ds
Mais
d9\ ^j, ^i ds ds
d\ dy
dl
,rf-//» •^ VW A
ds ds
ds
et, en observant que
dl
les conditions (i) deviennent
ds
dv
Jh-o;
ds
dy ds
l52 CHAPITRE III.
Ces équations différentielles déterminent x et j (*) avec deux constantes arbitraires et les trajectoires orthogonales des plans tt forment un système doublement indéterminé.
a. En posant I =iN, J = B, on peut obtenir les trajectoires orthogonales des plans PNB. Dans l'expression
(3) Pi = P -h M(coscpN -+- sincpB),
on doit déterminer les fonctions m et 9 de 5, de sorte que le vecteur -^ soit parallèle au vecteur T; pour cela, égalons à
zéro les coefficients de N et B dans le vecteur -^ (ou, en appliquant les formules (2) avec I = N, J = B, ^=:MCOs<p,
X= wsin9),
du d9 . u sin 9
du . d(a u cos (0 ^sinçH-«^cos^ r"=^'
d'où Ton tire
du^o et rf<p = — ;
et l'on voit que le point Pi décrit une trajectoire orthogonale des plans PNB, lorsque, dans la formule (3), m est une constante et 9= /.—•
La droite PPi décrit la développable osculatrice de l'une des développées (n° 67) de la courbe P et puisque Pi est une trajectoire orthogonale des droites PPj :
Les trajectoires orthogonales des plans normaux à la courbe P sont les développantes des développées de V\ ou bien, sont les courbes qui ont commun avec la courbe V, le lieu des centres des sphères osculatrices [voir note page i45, formule (6)].
(*) Voir la note à la page i2i.
APPLICATIONS. l53
b. On peut encore obtenir les trajectoires orthogonales des plans PBT, en posant I = B, J = T : les équations (2) donnent
dx dy
OU
avec les deux constantes arbitraires a et c; par suite
et, avec les développantes de P, on obtient aisément les courbes décrites par les points Pi {voir n° 66).
G. Pour obtenir les trajectoires orthogonales des plans osculateurs de la courbe P, il suffirait de poser I = ï, J =N; les courbes Pi sont alors telles que le lieu des centres de leurs sphères osculatrices soit la courbe P, et les formules (2) donnent encore
dx y ^fy ^ .
ds ~ ^ ' ds ~ p'
équations différentielles qui permettent toujours d'avoir les expressions de ^ et de y, par exemple, en séries convergentes (*).
