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et réquation -—N = ne saurait avoir lieu, quel que soit 5,

que si cp, angle des vecteurs T et Ti, est une constante. Par conséquent :

Le plan osculateur au point P d'une courbe de M, Bertrand fait un angle constant avec le plan osculateur au point cor-respondant d'une courbe conjuguée de P.

APPLICATIONS. l55

La formule (i) donne, d'ailleurs,

ds \ p

et si nous posons

. = mod-^=^(i--j +(-j,

on voit que i^esl un nombre non nul, que la constante 9, telle que TU > 9 > o, satisfaisant à Téquation

{%) I = ccos^p, -= — ^sincp,

est bien déterminée; puisque (^7^0 et sin9 7^o, les formules (2) entraînent

.«. sincp coscp __ sin9

qui exprime une relation à coefficients constants entre la courbure et la torsion en tout point de la courbe P, condition nécessaire pour que la courbe considérée soit une courbe de M. Bertrand. Réciproquement, si la condition (3) est vérifiée, le point P,zziP-f- aN décrit effectivement une courbe qui a mêmes normales que la courbe P. Donc :

Pour que la courbe gauche P soit une courbe de M, Bertrand, il faut et il suffit que, en chaque point de P, la courbure et la torsion soient liées par une relation linéaire à coefficients constants de la forme

sincp coscp sin© p T a

(tt >• 9 >> o et £/.^o). En admettant que cette condition soit remplie, le point Pii=P-4-aN décrit une conjuguée de la c ourbe V et^ est V angle que fait le plan osculateur en P avec le plan osculateur au point correspondant Pi de la courbe conjuguée.